Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

572

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 5519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Маємо:

sin5x

. Позначимо t=5x. При x 0

маємо: t 0.

sint

Застосовуючи формулу (8), отримаємо 5

5 .

sin3x

Приклад 12. Обчислити lim

x sin 4x

Позначимо y= -x. Тоді при x , y 0. Маємо:

sin 3x=sin 3( -y)=sin (3 -3y)=sin 3y.

sin 4x=sin 4( -y)=sin (4 -4y)=-sin 4y.

lim

sin 3x

lim

sin 3y

lim

sin 3y

lim

x sin 4x

y 0 sin 4y

y 0 3y

y 0 sin 4y

Приклад 13. Знайти lim

arcsin x

x 0

Позначимо arcsin x=t. Тоді x=sin t і при x 0 t 0.

arcsin x

Приклад 14.

sint

2x sin x

4x sin

cos

2x cos

lim

x 0 1 cos x

x 0

2sin

2 x

x 0

sin

lim

4cos

lim4cos

x 0

sin

x 0

Приклад 15.

lim

cos3x cos x

lim

2sin2x sin x

lim

2sin x cos2 x

2 2x

sin2 2x

sin2x

cos2 2x

2sin x cos2 x

lim

lim( cos x) 1.

2sin x cos x

Приклад

16.

Знайти:

1) lim

x 2 4

;

2) lim

x 2

;

x 1 x

2 x 2

x 2 x 2 x 2

3) lim

x 2 4

x x 2 x 2

182

1. Застосовуючи теорему 1 про границю різниці та добутку, знаходимо границю знаменника: lim(x 2 x 2) 1 1 2 2 .

							x 1
	Границя знаменника не дорівнює нулю, тому, за теоремою 1
про				границю				частки,	отримаємо:
	x	2	4	lim(x 2 4)		3	3
	x		4	x 1		3	3
lim								.
lim				lim(x 2		2		.
x 1 x 2		x 2		lim(x 2	x 2)	2	2

2.Тут чисельник і знаменник прямують до нуля, тобто має місце невизначеність виду 0/0. Теорему про границю частки безпосередньо не можна застосувати. Для “розкриття невизначеності” перетворимо дану функцію. Розділивши чисельник і знаменник на x-

2, отримаємо при x 2 рівність:

x 2 4		x 2	.
x 2 x	2	x 1

Оскільки lim(x 1) 0 , то, за теоремою про границю частки,

x 2

знайдемо

	x 2	4			x 2	lim(x 2)	4
lim				lim		x 2		.
			2			lim(x 1)	3
x 2 x 2 x				x 2 x 1

x 2

3. Чисельник і знаменник при x є нескінченно великими функціями. Тому теорема про границю частки безпосередньо не може застосовуватись. Розділимо чисельник і знаменник на x2 і до отриманої функції застосуємо теорему про границю частки:

x 2 4

x 2

x 2 x 2

x 2

Приклад 17.

lim

4x2 3x 18

lim

(x 3)(x2 x 6)

5x2 3x 9

2x 3)

x 3 x3

x 3 (x 3)(x2

x 6

(x 3)(x 2)

x 2

lim

2x 3

x 1

x 3 x2

x 3

(x 3)(x 1)

x 3

183

Приклад 18. Знайти lim 3 x 1 2 .

x 9

Тут чисельник і знаменник прямують до нуля: 3x 1 2 0 ,

x 9 0 , тобто маємо невизначеність виду 0 . 0

Перетворимо дану функцію, помноживши чисельник і знаменник на неповний квадрат суми виразу 3x 1 2 , отримаємо

3 x 1 2									x 9
	x 2
			(x			3			2		3
						3			2		3
				9)				(x 1)			2 x 1 4

		1									1	1	.


	3 (x 1)2 23				x 1		4			4 4 4 12

Приклад 19.

x 13

x 1

x 13

x 1

lim

x 13

x 1

lim

3 x2 9

x 3

x 13

x 1

lim

3x 9

lim

3(x 3)

x 3

x 13

x 1

3 x2

x 3

x 13

x 1

(x 3)(x 3)

lim

(x 3)2

x 3

x 13

x 1

x 3

Приклад 20.

23x 1

35x 1

23x 1

35x 1

lim

sin7x

x 0 sin7x 2x

x 0

sin7x

3ln2 5ln3

ln(8 15)

7 2

Приклад 21. Знайти

2 x 5

lim 1

x 5

2 2

1 e

184

Приклад 22.

lim

ex e

y x 1

lim

ey 1 e

y 0

x 1 sin x2 1

y 0 sin (y 1)2

e ey 1

ey 1 ~ y

lim

sin(y2 2y) ~ y2

y 0 sin y2

y 0 y

lim

y 0 y 2

Приклад 23.

x 1

y x 1

2y 2

2 y 2

lim

x 1

y 0

x 1

y 0

y 2

lim

e2y 1 ~

lim

lim(2e2 )y 2

4e4.

y 0

§3. Застосування границь в економічних розрахунках

Складні відсотки

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за фіксовані однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т. ін.). Час - дискретна змінна. В деяких випадках - у доведеннях та розрахунках, пов’язаних з неперервними процесами, виникає необхідність у застосуванні неперервних відсотків. Розглянемо формулу складних відсотків:

S=P(1+i)n.

(16)

Тут P - початкова сума, i - ставка відсотка (у вигляді десяткового дробу), S - сума, що утворилась до кінця терміну позики в кінці n-го року. Зростання за складними відсотками являє собою процес, що розвивається за геометричною прогресією. Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка слугувала базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків. У фінансовій практиці часто стикаються із задачею, оберненою до визначення нарощеної суми: за заданою сумою S, яку слід сплатити через деякий час n, необхідно визначити суму отриманої позики P. У цьому випадку говорять, що сума S дисконтується, а відсотки у

185

вигляді різниці S-P називаються дисконтом. Величину P, знайдену дисконтуванням S, називають сучасною, або приведеною, величиною S. Маємо:


P	S	lim P lim		S	0 .
P	(1 i)n	lim P lim			0 .
	(1 i)n	n	n (1 i)n

Таким чином, при дуже великих термінах платежу сучасна величина останнього буде вкрай незначною.

У практичних фінансово-кредитних операціях неперервні процеси нарощення грошових сум, тобто нарощення за нескінченно малі проміжки часу, застосовуються рідко. Суттєво більше значення неперервне нарощення має у кількісному фінансово-економічному аналізі складних виробничих та господарських об’єктів та явищ, наприклад, при виборі та обґрунтуванні інвестиційних рішень. Необхідність у застосуванні неперервних нарощень (або неперервних відсотків) визначається перш за все тим, що багато економічних явищ за своєю природою неперервні, тому аналітичне описання у вигляді неперервних процесів більш адекватне, ніж на основі дискретних. Узагальнимо формулу складних відсотків для випадку, коли відсотки нараховуються m разів на рік:

S=P(1+i/m)mn.

Нарощена сума при дискретних процесах знаходиться за цією формулою, тут m - число періодів нарахування в році, i - річна або номінальна ставка. Чим більше m, тим менше проміжки часу між моментами нарахування відсотків. У границі при m маємо:

S lim P(1 i m)mn P lim((1 i m)m )n .

Оскільки lim(1 i m)m ei , то S Pein .

При неперервному нарощенні відсотків застосовують особливий вид процентної ставки - силу росту, яка характеризує відносний приріст нарощеної суми у нескінченно малому проміжку часу. При неперервній капіталізації відсотків нарощена сума дорівнює скінченій величині, що залежить від початкової суми, терміну нарощення та номінальної ставки відсотка. Для того, щоб відрізняти ставки неперервних відсотків від ставки дискретних

відсотків, позначимо першу через , тоді S Pe n .

Сила росту являє собою номінальну ставку відсотка при m . Множник нарощення розраховується за допомогою обчислювальної техніки або за таблицями функції.

186

Потоки платежів. Фінансова рента

Контракти, угоди, комерційні та виробничо-господарські операції часто припускають не окремі разові платежі, а велику кількість розподілених у часі виплат та надходжень. Окремі елементи такого ряду, а інколи й сам ряд платежів у цілому, називається потоком платежів. Члени потоку платежів можуть бути як додатними (надходження), так і від’ємними (виплати) величинами. Потік платежів, всі члени якого додатні величини, а часові інтервали між двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою. Ренти діляться на річні та р-термінові, де р характеризує число виплат протягом року. Це дискретні ренти. У фінансово-економічній практиці зустрічаються і з послідовностями платежів, які відбуваються так часто, що практично їх можна розглядати як неперервні. Такі платежі описуються неперервними рентами.

Приклад 24. Нехай в конці кожного року протягом чотирьох років до банку вноситься по 1 млн. грош. од., відсотки нараховуються в кінці року, ставка - 5% річних. У цьому випадку перший внесок перетвориться до кінця терміну ренти на величину 106 1,053, оскільки відповідна сума була на рахунку протягом 3 років, другий внесок збільшиться до 106 1,052, оскільки був на рахунку 2 роки. Останній внесок відсотків не приносить. Таким чином, в кінці терміну ренти внески з нарахованими на них відсотками являють собою ряд чисел: 106 1,053; 106 1,052; 106 1,05; 106. Нарощена до кінця терміну ренти величина буде дорівнювати сумі членів цього ряду. Узагальнимо сказане, виведемо відповідну формулу для нарощеної суми річної ренти. Позначимо: S - нарощена сума ренти, R - розмір члена ренти, i - ставка відсотка (десятковий дріб), n - термін ренти (число років). Члени ренти будуть приносити відсотки протягом n-1, n-2, ..., 2, 1 і 0 років, а нарощена величина членів ренти складе

R(1+i)n-1, R(1+i)n-2, ..., R(1+i), R.

Перепишемо цей ряд у зворотному порядку. Він представляє собою геометричну прогресію зі знаменником (1+i) та першим членом R. Знайдемо суму членів прогресії. Отримаємо:

S R ((1 i)n 1) ((1	i) 1) R ((1 i)n		1) i .
Позначимо Sni ((1 i)n	1) i	і будемо	називати його

коефіцієнтом нарощення ренти. Якщо ж відсотки нараховуються m разів на рік, то S R ((1 im)mn 1)((1 im)m 1), де i - номінальна ставка відсотка.

187

Величина

ani (1 (1 i) n ) i

називається

коефіцієнтом

приведення ренти. Коефіцієнт приведення ренти при n показує, у скільки разів сучасна величина ренти більше її члена:

limani	lim(1 (1 i) n ) i 1 i .
n	n

Приклад 25. Під вічною рентою розуміють послідовність платежів, число членів якої не обмежено - вона виплачується протягом нескінченого числа років. Вічна рента не є чистою абстракцією - на практиці це деякі види облігаційних позик, оцінка здатності пенсійних фондів відповідати по своїх зобов’язаннях. Виходячи з суті вічної ренти, можна вважати, що її нарощена сума дорівнює нескінченно великій величині, що легко довести за формулою:

R ((1 i)n 1)i при n .

Коефіцієнт приведення для вічної ренти ani 1i , звідки A=R/i, тобто сучасна величина залежить лише від величини члена ренти та прийнятої ставки відсотка.

Завдання для самостійної роботи

Довести, користуючись означенням, що lim xn

3 n

2n2

1. xn

, a

4 2n

3n2

Знайти границі послідовностей.

n4 1 2n2 5

3. lim

3n 5 2

3n2

lim

n3 1 n3 3

n 1 n 3 1 n 3

n 2

3 n3 1

n2 1

lim

5. lim

4 n3 n

33 n6 1

7. lim n n2 1

9. lim n 1 ! n !. n n 1 ! n !

3n2

n2 2 2

11. lim n n2 4

n2 1 .

8. lim 8 4n 35n 1 .

10. lim 1 13 ... 13n . n 1 12 ... 1 2n

		2n	2	3	7n2 4
12.

	lim				.
		2n	2	5
	n

188

Знайти границі функцій:

13.	lim	x 2 6x 8			.
			8x 12
	x 2 x 2
15.	lim	x 2	5x 6	.
			x 2 9
	x 3

17. lim sin(a 2h ) 2sin(a h) sina
h 0	h 2

19.lim tgx tgx0 .

xx0 x x0

21.	lim		cos x		.
21.	lim				.
	x	2 2x
23.	lim			(2x 3 4x 5)(x 2 x 1)						.
23.	lim								x 1)	.
	x (x 2)(x 4 2x 3 7x 2								x 1)
25.	lim			4 x x 2			2	.
25.	lim			x 1				.
	x 1			x 1
27.	lim			x		.
27.	lim					.
	x 0	3 1 x 1

29.lim 1 cos 5x . x 0 1 cos 3x


31.	lim	ln(1 mx)				.
31.	lim					.
	x 0			x

33.			x	2	ax b		x	2
33.	lim		x		ax b		x		cx d .
	x

35.lim 3x 1 3x .

37.lim 8x 7x .

x 6x 5x

		1 x x 2 1 x x 2
14.	lim							.
					x 2 x
	x 0
16.	lim	x 3		6x 2 11x 6			.
				x 2 3x 2
	x 1
. 18. lim		tgmx			.

	x 0 sinnx
20.	lim		sin x cos x			.

	x 4			4x
22.	lim	2x 4 3x2 5x 6					.
				3 3x2 7x 1
	x x

24.lim x 2 7x 10 . x 2 x 2 8x 12

26.

lim

1 x sin x 1

x 0

x 2

28. lim

1 x x 2 7 2x x 2

x 2

30.

lim

tgx sinx

z 0

x 3

32.lim 2x 3 .

x2x 3

34.lim sin x 1 sin x .

36.lim1 5x .

x 1 e x

38. lim sin 2x . x 0 ln(1 x)

189

39.lim 5x 1.

x 0 x

41.lim sin x .

x0 |x |

43. lim sin 3x sin x .

x 0

ln(x 1)

45.lim sin x.

47. limt ta 1, t 0.

		3	x
49.	lim 1		.
49.	lim 1	x	.
	x	x

51.lim 5x 4x .

x 0 x 2 x

53.lim ln(1 3x).

x 0 x

55. lim ln(x 2) ln2 .

x 0 x

57.lim(2 cos x)cos ec2x .

x 1(x 2)

59. lim . x 2 2

61.	lim	sin2	3x	.

	x 0 ln2(1 2x)

63.lim ln(1 x 3x 2 2x 3 ) .

x1 ln(1 3x 4x 2 x 3 )

65. lim	sin(e x 1 1)	.
	ln x
x 1

40.lim 4x 1.

x1 x 1

42. lim t sint . t 0 t sint

44.lim 101(x 5).

x5 0

46.lim x5 1.

x1 x 4 1


	x2		1	x2 1
48.	lim			.
48.	lim		2	.
	x	x	2
		x
50.		1			6
	lim					.
	lim					.
	x 3 x		3 x		2 9

52.lim x x 1.

x1 x ln x

54.	lim		x 4 5x 3 7			.
					1
	x 2x5 3x 4
56.		x 8		x
	lim			.

	x x 2
58.		x a x c
	lim			.

	x x b

60.lim 1 2x 1. x 0 tg3x

62.	lim	e2x	1	.

x 0 ln(1 4x)

64. lim lncos x . x 0 ln(1 x 2 )

5(1 x)3 1

66.lim .

x0 (1 x)3 (1 x)2 1

190

		(5x 1)(4x 1)							3
		(5x 1)(4x 1)							3				8 3x 2
67.	lim		.		68. lim													.
67.	lim		.		68. lim													.
	x 0 (3x 1)(6x 1)							x 0 4 16 5x 2
						1 (x 2)			1
69.	Знайти точки розриву функції y					2			1				.
69.	Знайти точки розриву функції y					1 (x 2)							.
					2				1
70.	Знайти точки розриву функції y					1								.
70.	Знайти точки розриву функції y					(x 1)(x 5)								.
						(x 1)(x 5)
	Який характер розриву функції y				1								в точці х=1?
71.
71.							1 e1 x
72.	Який характер розриву функції y							sin x		в точці х=0?
72.	Який характер розриву функції y							x		в точці х=0?
								x				1
						tgxarctg						1
73.	Знайти точки розриву функції y					tgxarctg						x 3			.
												x 3

								x(x 5)
74.	Знайти точки розриву функції y					x 3 6x 2							11x 6				.
74.	Знайти точки розриву функції y							x 2 3x 2									.
								x 2 3x 2
75.	Знайти точки розриву функції y								x 1								.
75.	Знайти точки розриву функції y					x 3 6x 2							11x 6				.
						x 3 6x 2							11x 6
76.	Знайти точки розриву функції y				1								.
76.	Знайти точки розриву функції y												.
						x 2 x 1								1
77.	Дослідити на неперервність функцію y													1					на відрізку:
77.	Дослідити на неперервність функцію y										(x 1)(x 6)								на відрізку:
1) 2,5 ; 2) 4,10 ; 3) 0,7 .											(x 1)(x 6)
1) 2,5 ; 2) 4,10 ; 3) 0,7 .
78.	Дослідити на		неперервність	функцію									y						1		на
78.	Дослідити на		неперервність	функцію									y			x 4 26x 2					на
відрізку: 1) 6,10 ; 2)			2,2 ; 3) 6,6 .													x 4 26x 2				25
відрізку: 1) 6,10 ; 2)			2,2 ; 3) 6,6 .

79.Знайти суму грошових нагромаджень від 5000 грош. од. з урахуванням простих відсотків через п’ять років при відсотковій ставці 2%, 3% річних. Обчислити відповідний приріст функції нагромадження за 5 років в обох випадках.

80.Розв’язати попередню задачу з урахуванням складних відсотків. Порівняти результати.

81.Сума 800 тис. грош. од. інвестується на 3 роки під складні відсотки за ставкою 80% річних. Знайти нарощену суму за цей термін.

82.Вклад 100000грош. од. вкладено під складні відсотки терміном на

3роки. Обчислити кінцеву суму, якщо відсотки нараховуються наприкінці кожного кварталу за нормою im 0,064 0,015 .

191

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 5519 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб185Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб3Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб572Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб18Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб20Волхвы.doc