Вища Математика для Економістів

Обчислимо значення визначника у кожній стаціонарній точці та використаємо достатні умови.

Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

Для відшукання найбільшого та найменшого значень функції в замкненій області D, що позначаються відповідно

max f (x,y), min f (x,y), необхідно знайти екстремальні значення

D D

функції в точках, що лежать всередині області D та на її границі, та обрати з них найбільше та найменше.

Приклади 14. 1) Знайти найбільше та найменше значення функції z x 2y(4 x y) у трикутнику, обмеженому лініями х=0, у=0,

х+у=6.

Знайдемо стаціонарні точки даної функції, використовуючи необхідні умови екстремуму:

3x 2y 8,

x 2y 4.

262

Таким чином, стаціонарною точкою буде М1(2,1). Значення функції в цій точці z(2,1) 4.

Тепер проведемо дослідження на границі області D. На прямій х+у=6 змінна у=6-х, функція z набуває вигляду

z x 2(6 x) (4 x x 6) 2x 2(x 6), x [0,6].

Знайдемо найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку x [0,6] . Для цього скористаємось необхідною умовою

екстремуму функції однієї змінної: z 6x 2 24x 0 . Після розв’язання цього рівняння знайдемо х1=0, х2=4. Знайдемо значення функції в цих точках та на кінцях відрізку: z(0)=0, z(4)=-64, z(6)=0.

На прямій у=0 маємо z=0.

Отже, задана функція z має найбільше значення в точці М1(2,1) всередині області, найменше значення – в точці М2(4,2) на границі

2)Знайти найбільше та найменше значення функції z x 2 y2

вкрузі (x 2)2 (y 2)2 9 .

z 2y; в силу необхідних умов екстремуму знаходимо х=0, у=0.

y

Нескладно бачити, що в точці (0,0) функція z x 2 y2 має

найменше значення z=0, причому вказана точка є внутрішньою точкою області D.

Дослідимо на умовний екстремум функцію z x 2 y2 , якщо х

(x 2)2 (y 2)2 9.

Ця система має два розв’язки: х=у=522 , 53 та z=25; x=y= 22 , 13 та z=1. Значить, найбільшого значення функція

263

Метод найменших квадратів

На практиці ми часто стикаємось із задачею про згладжування експериментальних залежностей.

Нехай залежність між двома змінними х та у виражається у вигляді таблиці. Кожному значенню змінної х відповідає деяке значення змінної у. Це можуть бути результати експериментів або спостережень, статистичної обробки даних і т. ін.

залежність між змінними х та у, тобто по можливості точно відобразити загальну тенденцію залежності у від х, виключивши при цьому випадкові відхилення, пов’язані з неточністю вимірів або статистичних спостережень. Таку залежність намагаються представити у вигляді функції y f (x) .

Розв’язування цієї задачі можна розбити на два етапи. На першому етапі слід встановити вид залежності y f (x) , тобто вирішити, буде вона лінійною, квадратичною, логарифмічною чи якою-небудь іншою. На другому етапі визначають невідомі параметри функції.

Згідно найбільш поширеному й теоретично обґрунтованому методу найменших квадратів як невідомі параметри функції f (x)

вибирають такі значення, щоб сума квадратів відхилень теоретичних значень f (xi ), знайдених за формулою y f (x) від відповідних даних

yi , тобто

n

Sf (xi ) yi 2

i1

була мінімальною.

Нехай як функція y f (x) взята лінійна функція y=ax+b, тоді

задача зводиться до відшукання таких значень параметрів a і b, при яких функція

приймає найменше значення. Відзначимо, що S=S(a,b) є функція двох змінних a і b, а xi, yi – постійні числа, знайдені експериментально.

264

Таким чином, для відшукання прямої, що найкращим чином узгоджена з дослідними даними, достатньо розв’язати систему

Після алгебраїчних перетворень ця система матиме вигляд:

n n

x a nb y .

i ii 1 i 1

Ця система називається системою нормальних рівнянь.

Розв’язок системи дає найкращі значення шуканих параметрів. Приклад 15. Ціна на нафту х (грош. од.) та індекс акцій

нафтових компаній у (ум. од.) задані таблицею

Припускаючи, що між змінними х та у існує лінійна залежність, знайти формулу виду y=ax+b, використовуючи метод найменших квадратів.

n

xi2 . Проміжні обчислення оформимо у вигляді допоміжної таблиці.

i 1

Система нормальних рівнянь має вигляд

1988,52a 110,13b 59847,06,

Розв’язок цієї системи a=15,317, b=266,86 дає шукану залежність: у=15,317х+266,86. Таким чином, із збільшенням ціни на

265

нафти на 1 грош. од. індекс акцій нафтових компаній у середньому зростає на 15,32 од.

266

Знайти вказані диференціали:

Знайти відповідні похідні складних функцій:

267

65.Знайти похідну функції z x 2 y2 в точці М(1;1) у напрямку

вектора l, що утворює кут 600 з додатним напрямком осі Ох.

66.Знайти похідну функції z x 2 xy y2 в точці М(1;1) у напрямку вектора l=6і+8j.

67.Знайти похідну функції u xy2z 3 в точці М(3;2;1) у напрямку вектора MN, де N(5;4;2).

напрямку вектора r=2i+4j+4k.

70. Знайти похідну функції z ln(x 2 y2 ) в точці М(3;4) у напрямку

268

101.Знайти екстремум функції z=xy при умові, що х та у пов’язані рівнянням 2x 3y 5 0.

102.Знайти екстремум функції z x 2 y2 при умові, що х та у

пов’язані рівнянням x4 y3 1.

103. Знайти екстремум функції z 6 4x 3y при умові, що х та у

пов’язані рівнянням x 2 y2 1.

104.Знайти екстремум функції z xy при умові, що х та у пов’язані рівнянням x y 1.

105.Знайти екстремум функції z x 2y при умові, що х та у

пов’язані рівнянням x 2 y2 5.

269

півколі одиничного радіусу з центром у початку координат і розташованому у правій напівплощині.

114. Знайти найбільше та найменше значення функції z x y на трикутнику з вершинами в точках (0;0), (0;1) та (1;0).

115.У площині трикутника з вершинами А (0;1), В (3;4), С (5;2) знайти точку, сума квадратів відстаней від якої до вершин трикутника є найменшою.

116.Річні видатки підприємства можуть бути виражені функцією

найменшими? Розрахувати коефіцієнти еластичності при х=1, у=1.

117. Річний видаток підприємства (амортизація, відсотки на капітал, вклади на поновлення, ремонт і витрати виробництва) може бути

значення чинників х, у, за яких річний видаток буде найменшим. Розрахувати коефіцієнти еластичності при х=1, у=1.

а) a 20, b 12, C 72, C1 4, C2 16;

270

б) a 10, b 9, C 72, C1 28, C2 7.

118. Фірма вирішила щомісяця асигнувати 100 тис.грн. на виробництво деякої продукції. Нехай середня заробітна платня по фірмі складає 2000 грн., а вартість одиниці сировини дорівнює 1000 грн. Треба визначити, яку кількість робітників k і яку кількість сировини С необхідно мати фірмі для отримання найбільшого обсягу продукції Q, якщо відомо, що обсяг прямо пропорційний кількості робітників і кількості сировини з коефіцієнтом пропорційності, котрий дорівнює 5.

119. У наведеній таблиці є дані про випуск хутрової продукції на фабриці за 7 років. Знайти параметри функції y=ax+b, що виражає динаміку зростання за кожний рік. Використати метод найменших квадратів.