Вища Математика для Економістів

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (M ) gradz

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

	ln1 x 2 y 2							ln1	2			ln1 2		1		( 2 )
										0				1 2		( 2 )
										0				1 2
lim							lim				lim		lim					0.
lim							lim				lim		lim		1			0.
y 0		x	2	y	2		0			0	0		0		1
x 0			2		2		0				0		0
	Функція					z f (x,y)			називається неперервною в точці								x0 ,y0 ,

якщо вона: 1) визначена в точці x0 ,y0 ; 2) має скінчену границю при

x x0 ,

y y0 ; 3) якщо ця границя дорівнює значенню функції в

точці x0 ,y0 , тобто

f (x,y) f x0,y0 .

lim

x x0

y y0

§2. Частинні похідні та повний диференціал

Частинною похідною від функції

z f (x,y)

за незалежною

змінною х називається скінчена границя

lim

f (x x,y) f (x,y)

f x (x,y),

x 0

обчислена при постійному у.

функції z f (x,y)

Частинною

похідною

від

за незалежною

змінною у називається скінчена границя

lim

f (x,y y) f (x,y)

fy (x,y),

y 0

обчислена при постійному х.

Для частинних похідних справедливі звичайні правила та

формули диференціювання.

Приклади 4. Знайти частинні похідні функцій:

а) z x lny

; б) z x y .

а)

Розглядаючи

як

постійну

величину,

отримаємо

Розглядаючи х

lny y

lny

як постійну,

знайдемо

x(lny)

б) При фіксованому у маємо степеневу функцію від х. Таким

чином,

y 1

. При

фіксованому х функція є

показниковою

ln x .

відносно у, zy

252

Приклад 5. Обсяг витрат продажу нового продукту z залежить від часу х та витрат у підприємства на рекламу. Якщо х вимірювати

тижнями, а у у гривнях, тоді ця залежність матиме вигляд z 200 5 e 0,002y 1 e x .

Знайти	z	,	z	та вказати економічний зміст цих похідних

	x		y

при х=1 і у=400.

Маємо

z 200 5 e 0,002y 1 e x x 200 5 e 0,002y e x ,

z 200 1 e x 5 e 0,002y y 0,41 e x e 0,002y .

При х=1 і у=400 отримаємо


z			x 1	200 5 e 0,8 e 1	335 ,
x
		y 400
	z		x 1	0,41 e 1 e 0,8	0,11.

	y
			y 400

Частинна похідна zx характеризує швидкість зміни обсягу продажу нового продукту за тиждень, коли витрати на рекламу не змінюються.

Частинна похідна zy характеризує швидкість зміни обсягу

продукту при зміні суми витрат на рекламу і постійному х. За один тиждень при витратах на рекламу 400 гривень швидкість зростання обсягу продажу продукту буде 0,11.

Повним приростом функції z f (x,y)	в	точці	М(х,у)
називається різниця z f (x x,y y) f (x,y),	де	x	і y -

довільні прирости аргументів.

Повним диференціалом функції z f (x,y) називається сума

добутків частинних похідних цієї функції та приростів відповідних незалежних змінних, тобто

dz zx x zy y .

Формулу диференціала можна записати у вигляді dz zx dx zydy

або dz z dx z dy .

x y

Функція z f (x,y) називається диференційовною в точці (х,у), якщо її повний приріст може бути представлений у вигляді

253

z dz x y ,
де dz – диференціал функції, ( x, y),	( x, y) - нескінченно

малі при x 0, y 0 .
При	досить	малих	значеннях		x 2 y2	для

диференційованої функції z f (x,y) справедливі наближені рівності

z dz; f (x x,y y) f (x,y) dz .

Ці формули застосовують для наближених обчислень приростів функції або наближених значень функції в деякій точці.

Приклад 6. z arctg x y . Знайти dz. x y

Знайдемо частинні похідні:

z					1					2y					y					,
								2	2				x		2			2		,
x						x y			(x y)				x			y
		1				x y


				x y
	z				1					2x						x			.
								2			2	x		2		y	2		.
	y									(x y)		x				y
			1				x y


					x y

Значить, dz

xdy ydx

x 2 y 2

Приклад 7. Обчислити наближено (0,98)3,03 .

Шукане число можна розглядати як значення функції z x y

при x x 0,98,

y y 3,03 ,

де х=1, у=3,

x 0,02, y 0,03 .

Знайдемо значення z при х=1,

у=3; маємо

z (1)3

1.Знаходимо

приріст функції:

z dz

y yx y 1 x x y ln x y

3 13 1

( 0,02) 13 ln1 0,03 0,06.

Значить, (0,98)3,03

1 0,06 0,94 .

§3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків

Частинними

похідними

другого

порядку

від

функції

z f (x,y) називаються частинні

похідні від

її

частинних

похідних

першого порядку.

Позначення частинних похідних другого порядку:

254

(x,y);

x 2

f xx

x x

(x,y);

y x

fyx

x y

y x

f (x,y);

f (x,y).

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього та вищих порядків, наприклад:

	2z		3z
					(x,y);
		2
	x		x	3 f xxx
x

	2z		3z
							(x,y)	і т.д.
		2		2
	x		x		y	f xxy
y

Так звані „змішані” похідні, що відрізняються одна від одної лише послідовністю диференціювання, рівні між собою, якщо вони

неперервні, наприклад 2z 2z .

x y y x

Диференціалом другого порядку від функції z f (x,y)

називається диференціал від її повного диференціала, тобто d2z d(dz).

Аналогічно визначаються диференціали третього та вищих порядків: d3z d(d2z); взагалі dn z d(dn 1z).

Якщо х та у – незалежні змінні і функція z f (x,y) має неперервні частинні похідні, то диференціали вищих порядків обчислюються за формулами

dxdy

;

x 2

x y

dx dy 3

dxdy

x 3

x 2 y

x y2

Взагалі, має місце символічна формула

d z

яка формально розкривається за біноміальним законом.

Приклад 8. z y ln x . Знайти

x y

Знайдемо частинні похідні:

;

ln x . Диференціюючи

x x

повторно, отримаємо

(ln x)

;

x 2

x y

x x

y x

Приклади 9. а)

z sin x siny. Знайти d2z.

255

cos x sin y,

sin x cos y;

sin x siny;

cos x cos y;

x 2

x y

d 2z sin x sin ydx 2

2 cos x cos ydxdy sin x sinydy2.

б) z x 2y. Знайти d 3z .

2xy,

2y,

x 2

x 3

y 2

y 3

x y2

x 2 y

d3z

0 dx 3 3 2dx 2dy

3 0 dxdy2

0 dy3

6dx 2 dy.

Диференціювання складних функцій

Нехай z f (x,y) , де x (t),

y (t)

і функції

f (x,y), (t),

(t)

диференційовні.

Тоді

похідна

складної

функції z f (t), (t)

обчислюється за формулою

y dt

Якщо z f (x,y) ,

де y (x),

то повну похідну від z по х можна

знайти за формулою

Якщо ж z f (x,y) , де x ( , ),

y ( , ),

то частинні похідні

виражаються так:

Приклади 10. а) z e x2 y2

dz . dt

Маємо

dz z dx z dy e x2 y2


dt x dt		y	dt
2ae x2 y2	(y cos t		x sint).

Якщо виразимо х та у через

, де x a cos t,

y a sin t . Знайти

2x( a sint) e x2 y2 2y(a cost)

t, отримаємо

256

2aea2

(a sint cos t a cos t sint) 0.

б) z ln x 2

y2 ,

де y e x . Знайти

Маємо

. Використовуючи формулу повної похідної,

x 2 y2

знайдемо

dz z

z dy

2ye x

2(x ye x )

x 2 y2

dx x

y dx

x 2

Диференціювання неявних функцій

Похідна неявної функції у=у(х), заданої за допомогою рівняння F(x,y)=0, де F(x,y) – диференційовна функція змінних х та у, може бути обчислена за формулою

y F x за умови F 0.F y y

Похідні вищих порядків неявної функції можна знайти шляхом послідовного диференціювання вказаної формули, розглядаючи при цьому у як функцію від х.

Аналогічно, частинні похідні неявної функції двох змінних z (x,y), заданої за допомогою рівняння F(x,y,z)=0, де F(x,y,z) –

диференційовна функція змінних x, y та z, можуть бути знайдені за формулами

F x

F y

за умови

F z

Приклад 11. z 3 3xyz a 3 . Знайти

Тут F(x,y, z) z 3

3xyz a 3. Знаходимо

3yz,

3xz,

3z 2 3xy. Тоді

3yz

;

3xz

3z 2 3xy

z 2 xy

3z 2 3xy

z 2 xy

257

Похідна функції за напрямком. Градієнт функції

Похідною функції

z f (x,y)

в точці М(х,у)

за напрямком

вектора l

називається границя

MM1

f (M1 ) f (M )

lim

, де

x 2

y2 .

|MM1| 0

|MM1 |

Якщо функція f (x,y)

диференційовна, то похідна за даним

напрямком обчислюється за формулою

cos

sin ,

де - кут, утворений вектором l та віссю Ох.

У випадку функції трьох змінних u f (x,y,z) похідна за даним напрямком визначається аналогічно. Відповідна формула має вигляд

cos

cos ,

де cos ,

cos ,

cos

- направляючі косинуси вектора l.

Градієнтом функції

z f (x,y) в

точці М(х,у) називається

вектор з початком у точці М, що має своїми координатами частинні похідні функції z:

Градієнт вказує напрямок найшвидшого зростання функції в

даній точці. Похідна

в напрямку

градієнта має найбільше

значення:

|gradz |

l найб .

У випадку функції u=f(x, y, z) градієнт функції дорівнює

	u		u		u
f (M ) gradu		(M ),		(M ),

	x		y		z	(M ) .

§4. Екстремум функції багатьох змінних

Екстремум функції

Функція z f (x,y) має максимум (мінімум) в точці М0(х0,у0), якщо для будь-якої іншої точки М(х,у) з деякого околу точки М0(х0,у0)

258

виконується нерівність f (x0 ,y0 ) f (x,y) (відповідно нерівність

f (x0 ,y0 ) f (x,y)).

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом. Точка М0, в якій функція має екстремум, називається точкою екстремуму.

Необхідна умова екстремуму. Якщо диференційовна функція z f (x,y) досягає екстремуму в точці М0(х0,у0), то її частинні

похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто

f (x0 ,y0 )	0,	f (x0 ,y0 )	0.

x		y

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються

критичними або стаціонарними точками. Не всяка стаціонарна точка є точкою екстремуму.

Достатня умова екстремуму. Нехай функція z f (x,y) : а)

визначена в

деякому

околі

стаціонарної точки М0(х0,у0), в якій

f (x0 ,y0 )

0; б)

має в цій точці неперервні частинні

2 f (x

)

2 f (x

)

2 f (x

)

похідні другого порядку

x 2

x y

Тоді, якщо AC B 2 0 , то в точці М0(х0,у0) функція z f (x,y)

має

екстремум, причому якщо A 0

- максимум, якщо A 0 - мінімум. У

випадку AC B 2 0

функція z f (x,y) екстремуму не має. Якщо

AC B 2 0 , то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.

Приклад 12. Знайти екстремуми функції z 2(x y)(1 xy) . (1 x 2 )(1 y2 )

Знаходимо частинні похідні першого порядку:

z	2(1 x 2 )			z	2(1 y2 )
			,				.
	(1 x	2 2			(1 y	2 2
x		)		y		)

Знайдемо стаціонарні умовою екстремуму:

2(1 x 2 )

(1 x 2 )2

2(1 y2 )

(1 y2 )2

точки,		скориставшись необхідною
0,	1	x 2	0,

або 1		y2	0.
0,

Ця система має чотири розв’язки: (1,1), (1,-1), (-1,1) та (-1,-1).

Знайдемо частинні похідні другого порядку:

259

y y

(x,y) 0.

, B

0, C

(1 x

2 2

x y

2 2

)

обчислюємо їх значення в кожній стаціонарній точці і перевіряємо в ній виконання достатньої умови екстремуму.

У	точці	(1,1)	А=-2,	В=0,		С=-2.		Оскільки
AC B 2	( 2)2	0 4 0 і	A 2 0 , то		точка		(1,1)	є	точкою
максимуму.			А=-2,	В=0,		С=2.
У	точці	(1,-1)						Оскільки
AC B 2	( 2) 2 0 4 0 ,		то	точка	(1,-1)		не	є	точкою
екстремуму.			А=2,	В=0,		С=-2.
У	точці	(-1,1)						Оскільки
AC B 2	2 ( 2) 0 4 0 ,		то	точка	(-1,1)		не	є	точкою
екстремуму.			А=2,	В=0,		С=2.
У	точці	(-1,-1)						Оскільки
AC B 2	22 0 4 0 і A 2 0 , то точка					(-1,-1)		є	точкою
мінімуму.							zmax z(1,1) 2,
Знайдемо		екстремуми		функції
zmax z( 1, 1) 2.
		Умовний екстремум
Умовним		екстремумом функції			z f (x,y) називається

екстремум цієї функції, який досягається за умови, що змінні х та у пов’язані рівнянням (x,y) 0 (рівняння зв’язку).

Відшукання умовного екстремуму можна звести до дослідження на звичайний екстремум так званої функції Лагранжа L(x,y, ) f (x,y) (x,y) , де - невизначений постійний множник

(множник Лагранжа).

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа мають вигляд

L		f
	x	x


	L	f

	y

Розв’язуючи цю систему стаціонарної точки М0(х0,у0, 0 ).


			0,

	x

			0,

рівнянь, знаходимо координати

260

В кожній стаціонарній точці необхідно перевірити виконання

достатньої умови екстремуму: якщо в точці М0(х0,у0, 0 )

визначник

		1
		1	x	y
(M	0 )				0 ,
(M	0 )	x	Lxx	Lxy	0 ,

		y	Lxy	Lyy
тоді точка М0(х0,у0, 0 ) є точкою максимуму і zmax						f (M 0 ) f (x0 ,y0 ), а
якщо (M 0 ) 0 , тоді точка			М0(х0,у0, 0 )		є точкою мінімуму і
zmin f (M 0 ) f (x0 ,y0 ).

Приклад 13. Знайти екстремум функції z=xy при умові, що х

та у пов’язані рівнянням x 2 y2 2.

Розглянемо

функцію

Лагранжа

L xy (x 2

2).

Маємо

y 2 x,

x 2 y.

системи

рівнянь

(необхідні

умови

екстремуму)

y 2 x 0,

x 2 y 0,

знаходимо x 2y

x 2 y2 2 0

x 2 y2 0.

2 0

М1(-1,-1),

М2(-1,1),

М3(1,-1),

Отже, стаціонарними точками будуть

М4(1,1).

Для перевірки достатніх умов екстремуму знайдемо відповідні

частинні похідні

(x,y)

2x;

(x,y) 2y;

(x,y, ) 2

;

Lxx

(x,y, ) 2

;

(x,y, ) 1 і запишемо визначник

Lyy

Lxy

(M )

12xy 4

261

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 5526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб3Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc