Вища Математика для Економістів
.pdfО.Ляшенко, Т.Кравець, Н.Слушаєнко, О.Горбунов, В.Шпирко
ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
Підручник За редакцією О.І.Ляшенко, О.І.Черняка
Київ
2007
ЗМІСТ |
|
Передмова |
8 |
Розділ І. Елементи аналітичної геометрії |
11 |
§1. Метод координат Декарта. Пряма на площині. |
11 |
Елементи векторної алгебри на площині |
15 |
§2. Площина та пряма у просторі. Площина у просторі |
19 |
§3. Криві другого порядку на площині. Загальне рівняння |
|
кривої другого порядку. |
23 |
Основні криві другого порядку та їх канонічні рівняння |
23 |
Перетворення системи координат |
24 |
Зведення кривої другого порядку до канонічного |
25 |
вигляду |
|
Завдання для самостійної роботи |
26 |
Варіанти індивідуальних завдань |
32 |
Розділ ІІ. Матриці та визначники. |
45 |
§1. Матриці та дії над ними. |
45 |
Поняття матриці. |
45 |
Види матриць |
45 |
Операції над матрицями |
46 |
§2. Визначники квадратних матриць. |
48 |
Метод пониження порядку визначника |
50 |
Властивості визначників |
51 |
§3. Обернена матриця. |
53 |
§4. Ранг матриці. |
55 |
Метод елементарних перетворень знаходження рангу та |
|
базисного мінора |
55 |
Завдання для самостійної роботи |
59 |
Варіанти індивідуальних завдань |
62 |
Розділ ІІІ. Системи лінійних рівнянь |
64 |
§1. Поняття системи лінійних рівнянь (СЛР) та її геометрична |
|
інтерпретація |
64 |
Основні поняття теорії систем лінійних рівнянь (СЛР) |
64 |
Геометрична інтерпретація СЛР двох рівнянь з двома |
|
невідомими |
66 |
§2. Квадратні невироджені системи рівнянь. |
67 |
Метод оберненої матриці. Матричні рівняння |
68 |
Метод Крамера |
69 |
§3. Розв’язок системи лінійних рівнянь за допомогою метода |
|
послідовного виключення невідомих. |
70 |
Метод Гауса послідовного виключення невідомих |
71 |
Метод Жордана-Гауса повного виключення невідомих |
75 |
§4. Елементи векторної алгебри. |
77 |
3
Поняття n-вимірного вектора. Лінійна залежність |
77 |
|||
векторів |
|
|
|
79 |
Базис векторного простору, розклад вектора за базисом |
||||
Зв’язок рангу матриці з рангом набору векторів |
81 |
|||
Дослідження множини розв’язків СЛР за допомогою |
82 |
|||
рангів |
|
|
|
|
§5. Власні вектори та власні значення квадратних матриць. |
83 |
|||
Знаходження власних значень та власних векторів |
83 |
|||
§6. Лінійні економіко-математичні моделі. |
|
84 |
||
Модель |
Леонтьєва |
багатогалузевої |
економіки |
|
(міжгалузевий баланс) |
|
|
84 |
|
Лінійна модель обміну (модель міжнародної торгівлі) |
87 |
|||
Завдання для самостійної роботи |
|
|
89 |
|
Варіанти індивідуальних завдань |
|
95 |
||
Розділ ІV. Додаткові розділи алгебри |
|
100 |
||
§1. Векторні простори. |
|
|
100 |
|
Підпростори векторних просторів |
|
106 |
||
Афінний простір |
|
|
107 |
|
§2. Ранг матриці. |
|
|
|
110 |
Системи лінійних рівнянь |
|
|
113 |
|
§3. Лінійні перетворення у векторному просторі. |
|
119 |
||
Власні значення і власні вектори лінійних перетворень |
122 |
|||
§4. Евклідів простір. |
|
|
127 |
|
Ортогональні перетворення |
|
132 |
||
§5. Квадратичні форми і додатно визначені матриці. |
|
138 |
||
Завдання для самостійної роботи |
|
|
145 |
|
Відповіді |
|
|
|
150 |
Варіанти індивідуальних завдань |
|
153 |
||
Розділ V. Границі та неперервність |
|
171 |
||
§1. Границя послідовності. |
|
|
171 |
|
§2. Границя функції. |
|
|
176 |
|
§3. Застосування границь в економічних розрахунках. |
185 |
|||
Складні відсотки |
|
|
185 |
|
Потоки платежів. Фінансова рента. |
|
187 |
||
Завдання для самостійної роботи |
|
|
188 |
|
Відповіді |
|
|
|
192 |
Варіанти індивідуальних завдань |
|
194 |
||
Розділ VI. Диференціальне числення функцій однієї |
208 |
|||
змінної |
|
|
|
|
§1. Похідна. |
|
|
|
208 |
Правила диференціювання |
|
208 |
||
Похідна параметрично заданої функції |
|
210 |
||
Похідна неявно заданої функції |
|
210 |
||
4
Логарифмічне диференціювання |
210 |
Геометричний сенс похідної |
211 |
§2. Диференціал функції. |
212 |
§3. Похідні та диференціали вищих порядків. |
213 |
§4. Застосування похідних до дослідження функцій та |
|
побудови графіків, знаходження границь. |
214 |
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя |
214 |
Монотонність функції. Екстремум |
215 |
Опуклість функції. Точки перегину |
216 |
Асимптоти графіка функції |
217 |
Загальна схема дослідження функції та побудови |
217 |
графіка |
|
§5. Задачі, що зводяться до поняття похідної. |
220 |
Задача про продуктивність праці |
220 |
Максимізація прибутку |
221 |
Граничний аналіз |
221 |
Еластичність функції |
222 |
Застосування похідної в економічній теорії |
225 |
Завдання для самостійної роботи |
227 |
Відповіді |
233 |
Варіанти індивідуальних завдань |
237 |
Розділ VII. Диференціальне числення функцій багатьох |
250 |
змінних |
|
§1. Основні поняття. |
250 |
§2. Частинні похідні та повний диференціал. |
252 |
§3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. |
254 |
Диференціювання складних функцій |
256 |
Диференціювання неявних функцій |
257 |
Похідна функції за напрямком. Градієнт функції |
258 |
§4. Екстремум функції багатьох змінних. |
258 |
Екстремум функції |
258 |
Умовний екстремум |
260 |
Найбільше та найменше значення функції в замкненій |
262 |
області |
|
Метод найменших квадратів |
264 |
Завдання для самостійної роботи |
266 |
Відповіді |
271 |
Варіанти індивідуальних завдань |
275 |
Розділ VIII. Невизначений інтеграл |
282 |
§1. Первісна функція та невизначений інтеграл. Основні |
282 |
поняття. |
|
§2. Методи інтегрування. |
287 |
Метод заміни змінної |
287 |
5
Інтегрування частинами |
293 |
Інтегрування раціональних дробів |
296 |
Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій |
309 |
Інтегрування тригонометричних функцій |
316 |
§3. Застосування невизначених інтегралів в економіці. |
327 |
Загальні витрати, граничні витрати, середні витрати |
327 |
Загальний доход, граничний доход, середній доход |
327 |
Нарощування капіталу |
328 |
Завдання для самостійної роботи |
330 |
Відповіді |
335 |
Варіанти індивідуальних завдань |
339 |
Розділ IX. Визначений інтеграл |
345 |
§1. Обчислення визначеного інтеграла. |
345 |
§2. Невласні інтеграли. |
351 |
§3. Застосування визначених інтегралів. |
356 |
Обчислення площі плоскої фігури |
356 |
Обчислення довжини дуги плоскої кривої |
358 |
Обчислення об’єму тіла |
359 |
Обчислення площі поверхні обертання |
362 |
§4. Застосування визначених інтегралів в економіці. |
362 |
Додатковий загальний доход |
362 |
Споживче активне сальдо |
363 |
Завдання для самостійної роботи |
370 |
Відповіді |
379 |
Варіанти індивідуальних завдань |
381 |
Розділ X. Звичайні диференціальні рівняння |
400 |
§1. Звичайні диференціальні рівняння. Загальні поняття та |
|
означення теорії диференціальних рівнянь першого порядку. |
400 |
§2. Найпростіші диференціальні рівняння. |
402 |
Рівняння з відокремлюваними змінними |
402 |
Однорідні диференціальні рівняння |
404 |
Лінійні диференціальні рівняння |
407 |
Рівняння у повних диференціалах |
411 |
§3. Загальні поняття та означення теорії диференціальних |
|
рівнянь вищих порядків. |
415 |
Диференціальні рівняння вищих порядків, що |
|
допускають зниження порядку |
417 |
§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. |
420 |
§5. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. |
426 |
Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків зі |
|
сталими коефіцієнтами |
427 |
§6. Фазові портрети диференціальних рівнянь першого |
433 |
порядку. |
|
6
§7. Системи звичайних диференціальних рівнянь. |
|
436 |
|||
Фазові |
портрети |
лінійних |
однорідних |
систем |
|
диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами |
442 |
||||
§8. Економічні задачі, що зводяться до диференціальних |
455 |
||||
рівнянь. |
|
|
|
|
|
Завдання для самостійної роботи |
|
|
463 |
||
Відповіді |
|
|
|
|
469 |
Варіанти індивідуальних завдань |
|
|
473 |
||
Розділ XI. Ряди |
|
|
|
|
493 |
§1. Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність та |
|
||||
сума ряду. |
|
|
|
|
493 |
Збіжність залишку. необхідна умова збіжності. |
|
494 |
|||
Дії з рядами |
|
|
|
495 |
|
§2. Ряди з додатними членами |
|
|
495 |
||
Достатні ознаки збіжності додатних рядів. Теореми |
495 |
||||
порівняння. |
|
|
|
|
|
Гармонійний ряд |
|
|
|
495 |
|
Ознаки Даламбера, Коші, Маклорена-Коші |
|
497 |
|||
§3. Знакозмінні ряди. |
|
|
|
499 |
|
§4. Функціональні ряди. |
|
|
|
500 |
|
Область збіжності |
|
|
|
500 |
|
Правильна і рівномірна збіжність |
|
|
502 |
||
§5. Степеневі ряди. |
|
|
|
504 |
|
Інтервал збіжності |
|
|
|
504 |
|
Властивості степеневих рядів |
|
|
505 |
||
Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора |
507 |
||||
Застосування степеневих рядів у наближених 510 |
|||||
обчисленнях |
|
|
|
|
|
Розвинення деяких елементарних функцій у ряд |
511 |
||||
Маклорена |
|
|
|
|
|
Наближене обчислення визначених інтегралів |
|
516 |
|||
Наближений розв’язок диференціальних рівнянь |
|
517 |
|||
§6. Ряди Фур’є. |
|
|
|
|
519 |
Тригонометрична система функцій |
|
|
519 |
||
Ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є |
|
|
520 |
||
Розвинення функції в ряд Фур’є |
|
|
520 |
||
Неповні ряди Фур’є |
|
|
|
521 |
|
Ряд Фур’є для функції з довільним періодом |
|
523 |
|||
Завдання для самостійної роботи |
|
|
524 |
||
Відповіді |
|
|
|
|
526 |
Варіанти індивідуальних завдань |
|
|
527 |
||
Список використаної літератури |
|
|
543 |
||
7
ПЕРЕДМОВА
Угосподарчій практиці людини математика використовується
змоменту свого зародження. Протягом тисячоліть арифметика та геометрія використовувались для різноманітних вимірів та обчислень. Подальший розвиток математики довгий час визначався в основному потребами природничих та технічних наук, а також внутрішньою логікою розвитку математики.
Математичне моделювання процесів та явищ стало застосовуватись ще у давнину і поступово захоплювало все нові і нові сфери наукових знань: технічне конструювання, будівництво і архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки, зокрема, економіку, соціологію, політологію.
Коли ми говоримо про застосування математики в економіці і соціології, то маємо на увазі не просто проведення різного роду економічних та соціологічних розрахунків, а використання математики для вивчення економічних та соціологічних закономірностей, отримання нових теоретичних висновків, відшукання найкращих соціально-економічних рішень.
Головні переваги математики як засобу наукового пізнання розкриваються при побудові математичних моделей, що заміняють певною мірою досліджувані об’єкти. Натурні економічні та соціологічні експерименти дуже дорогі, часто небезпечні, або зовсім не можуть бути реалізовані. Математичні моделі, що за допомогою математичних співвідношень відображають основні властивості соціологічних та економічних процесів та явищ, є ефективним інструментом дослідження складних соціально-економічних проблем.
Намагання використати математику як інструмент дослідження притаманне ще засновниками економічної науки. Так, Уїльям Петті (англійський економіст, засновник класичної політичної економії, (1623-1687)) у передмові до своєї відомої книги „Політична арифметика” писав, що його спосіб дослідження „незвичайний, бо замість того, щоб вживати слова лише у вищому та найвищому ступені та користуватись умоглядними аргументами, я ступив не шлях вираження своїх думок на мові чисел, ваг і мір, що я вже давно збирався піти цим шляхом, щоб показати приклад політичної арифметики”.
Перша у світі модель народного господарства була створена Федориком Кене (французький вчений-економіст (1694-1774)). Навіть у наш час його „Економічна таблиця” стала основою для побудови та розвитку багатьох математичних моделей суспільного відтворення. Так, всесвітньо відома міжгалузева модель „витрати-випуск” (input-
8
output) В.Леонтьєва (1906-1999, лауреат Нобелівської премії 1973 р.) є подальшим логічним кроком від економічної таблиці Ф.Кене.
Проникнення математики в економічну науку пов’язане з переборенням значних труднощів. Головні причини цього лежать у природі економічних процесів, яким притаманні масовість, динамічність, стохастичність, а також у специфіці економічної науки. Більшість об’єктів, що вивчаються економічною наукою, можуть бути охарактеризовані кібернетичним поняттям „складна система”. І як раз складні об’єкти найбільш цікаві для моделювання. Саме тут моделювання може дати результати, які неможливо отримати іншими способами досліджень.
Першим кроком до пізнання суті економічних процесів з точки зору математики та математичного моделювання є вивчення курсу „Вища математика для економістів”.
Підручник “Вища математика для економістів” включає такі розділи вищої математики, вивчення яких дає математичний апарат, який найбільш активно застосовується для розв’язання прикладних економічних та управлінських задач. Це аналітична геометрія, лінійна алгебра та математичний аналіз.
Знання аналітичної геометрії необхідне сучасному економісту, щоб грамотно тлумачити економічну інформацію, яка представлена у вигляді різноманітних графіків - це криві та поверхні байдужості, криві споживчого бюджету, інвестиційного попиту, криві Філліпса, Лаффера, Лоренца і т. ін.; виводити інтерполяційні формули за методом найменших квадратів; знаходити найкращий план виробництва при заданих ресурсах.
У розділах, що відносяться до лінійної алгебри, основна увага приділяється матрицям, визначникам та системам лінійних рівнянь, оскільки в економічних дослідженнях широко використовуються різноманітні матричні моделі - міжгалузевого балансу, у планових розрахунках, при розрахунках фонду заробітної плати і т. ін. Лінійні моделі, що зводяться до систем алгебраїчних лінійних рівнянь або нерівностей, з досить високою точністю відповідають явищам, які вони описують; за їх допомогою розв’язується багато управлінських задач.
Математичний аналіз дає ряд фундаментальних понять, якими оперує економіст, - це функція, границя, похідна, інтеграл, диференціальне рівняння. Наприклад, друга чудова границя застосовується при розв’язанні задач про зростання банківського вкладу за законом складних відсотків; використання поняття
9
похідної приводить до такої спеціальної дисципліни, як граничний аналіз в економіці і т. ін.
Структурно даний підручник складається з 11 розділів. У розділі І наведені основні відомості з аналітичної геометрії. Розділи ІІIV присвячені лінійній алгебрі, причому слід зазначити, що розділ IV не є обов’язковим для вивчення студентами всіх економічних спеціальностей. Він призначений для більш глибокого вивчення курсу лінійної алгебри студентами спеціальності „Економічна кібернетика”. У розділах V-XI розглядаються питання математичного аналізу.
Відмінною рисою даного підручника є наявність великої кількості завдань для самостійного розв’язання, а також варіантів індивідуальних завдань. На жаль, в сучасній математичній літературі для економістів або мало теоретичних відомостей, або мало задач для розв’язання. Ми намагались в одній книзі об’єднати все необхідне для вивчення курсу.
На початку кожного параграфа наводяться короткі відомості з теорії, які носять довідковий характер. Основна увага приділяється практичному освоєнню студентами матеріалу, що вивчається. Для досягнення цієї мети наводиться велика кількість вправ. Їх виконання буде сприяти виробленню навиків раціонального розв’язання типових прикладів та задач, а також задач економічного та виробничого змісту, що розвивають навики застосування вивченого математичного інструментарію. В кінці кожного розділу наведені варіанти індивідуальних завдань, які можна застосовувати як при проведенні контрольних робіт в кінці вивчення певного розділу, так і для перевірки знань студентів протягом вивчення теми.
У кінці підручника наводиться список літератури, в який увійшли всі джерела, що використовувались тою чи іншою мірою при його написанні.
Декілька слів про особистий внесок кожного з авторів. Передмова, розділи V-VII написані Ляшенко О.І., розділи І-ІІІ написані Горбуновим О.В. та Шпирком В.В., розділ IV написаний Кравець Т.В. та Черняком О.І., розділи V та Х написані Кравець Т.В., розділи VIII-IX та ХІ написані Слушаєнко Н.В. Загальна редакція книги здійснена Ляшенко О.І. та Черняком О.І.
10
РОЗДІЛ I
ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
§1. Метод координат Декарта. Пряма на площині.
Нехай у декартовій прямокутній системі координат задано точки А(xA,yA) та В(xВ,yВ).
Відстань між точками А та В |
АВ |
(xB xA )2 (yB yA )2 . |
||||||||||||||
Координати точки С, яка ділить відрізок АВ у заданому |
||||||||||||||||
відношенні |
(тобто |
AC |
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
C |
|
xB xA |
, |
y |
yB yA |
. |
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
C |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Зокрема, координати середини відрізка АВ – точки D: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
xD |
xA xB |
, yD |
|
yA yB |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Рівняння прямої: ax+by+c=0, причому хоча б одне з чисел a, b |
||||||||||||||||
не рівне нулеві. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
b 0 , |
|
то рівняння прямої можна звести до |
вигляду |
||||||||||||
y=kx+m, при цьому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. Має місце співвідношення k tg , де – кут між додатним
напрямком вісі Ox та прямою, який відраховується у додатному напрямку (проти годинникової стрілки).
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить
через точку M(x0,y0) має вигляд |
|
|
|
|
|
y–y0=k(x–x0). |
(2) |
||||
Рівняння прямої, яка проходить через точки А(xA,yA) та В(xВ,yВ), |
|||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
(y–yА)(xВ–xА) = (x–xА)(yВ–yА). |
(3) |
||||
У випадку, коли пряма АВ не паралельна координатним |
|||||
прямим Ox або Oy, рівняння (3) можна записати у вигляді |
|
||||
|
y yA |
|
x xA |
|
(4) |
|
yB yA |
xB xA |
|||
|
|
|
|||
Якщо пряма АВ паралельна прямій Ox, то рівняння (3) приймає вигляд y=yА, а якщо вона паралельна прямій Oy, то рівняння (3) має вигляд x=xА.
Для того, щоб знайти спільні точки прямих l1: a1x+b1y+c1=0 та l2: a2x+b2y+c2=0, необхідно розв’язати систему
a x b y c |
|
0, |
|
1 |
1 |
1 |
(5) |
a2x b2y c2 0.
11