Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

x 2 2x 6	3	7		5
					.
x 1 x 2 x 4	x 1		x 2	x 4

Невідомі А, В, С у розкладанні можна було визначити й інакше. Після звільнення від знаменника можна надати х стільки часткових значень, скільки є в системі невідомих, у даному випадку – три часткових значення.

Особливо зручно надати х значення, що є дійсними коренями знаменника. Застосуємо цей прийом до розв’язання даної задачі. Після звільнення від знаменника ми одержали рівність (*). Дійсними коренями знаменника є числа 1, 2, і 4. Покладемо в цій рівності х=1, тоді

12 2 1 6 A 1 2 1 4 B 1 1 1 4 C 1 1 1 2 ,

звідки 9=3А, тобто А=3. Вважаючи х=2, одержуємо 14=-2В, тобто В=- 7; вважаючи х=4, маємо 30=6С, тобто С=5. У результаті вийшли ті ж значення, що й при першому способі визначення невідомих.

Таким чином,

x 2 2x 6

dx 3

x 1 x 2 x 4

x 1

x 2

x 4

x 1 3 x 2 5

3 ln

x 1

7 ln

x 2

5 ln

x 4

C ln

x 2 7

x 2 1

dx.

x 3

x 1

Множнику x 1 3

відповідає сума трьох найпростіших дробів

, а множнику х+3

– найпростіший дріб

x 1 3

x 1 2

x 1

x 3

Отже,

x 2 1

x 1 3 x 3

x 1 3

x 1 2

x 1

x 3

Звільнимося від знаменника:

x 1 A x 3 B x 1 x 3 C x 1 2 x 3 D x 1 3.

302

Дійсними коренями знаменника є числа 1 та -3. Вважаючи х=1, одержуємо 2=4А, тобто А=1/2. При х=-3 маємо 10=-64D, тобто D

=-5/32.

Порівняємо коефіцієнти при старшому ступені х, тобто при х3. У лівій частині немає члена з х3, тобто коефіцієнт при х3 дорівнює 0. У правій частині коефіцієнт при х3 дорівнює C+D. Отже, C+D=0, звідки

С=5/32.

Залишається визначити коефіцієнт В. Для цього необхідно мати ще одне рівняння. Це рівняння можна одержати шляхом порівняння коефіцієнтів при однакових ступенях х (наприклад, при х2) або надавши х яке-небудь числове значення. Зручніше взяти таке значення, при якому обчислень буде якомога менше. Покладемо, наприклад, х=0, одержуємо

	1 3A 3B 3C D,													або		1			2	3B								15					5				, тобто B						3	.
	1 3A 3B 3C D,													або		1				3B												32					, тобто B							.
																3												32				32							8
	Остаточне розкладання даного дробу на найпростіші має
вигляд
					x 2 1									1		3												5											5
																																										.
		x 1 2 x 3										2 x 1 3					8 x 1 2										32 x 1											32 x 3				.
	Таким чином, одержимо
	2										1			dx				3				dx									5				dx					5	dx
	x		1				dx				1			dx				3				dx									5				dx					5	dx
			3				dx			2				3											2
	x 1 x 3									2			x 1			8					x 1							32							x 1					32 x 3
										1						3					5								x 1					C.
										1						3					5								x 1
																										ln
								4 x 1 2							8 x 1								32			ln			x 3
	3)				dx		.
	3)		x	5		2	.
			x		x
	Розкладемо знаменник на множники:
						x 5 x 2 x 2 x 3 1 x 2 x 1 x 2 x 1 .
	Тоді
				1										1											A					B						C				Dx E
									x 2 x 1 x 2 x 1																																				.
					x 5 x 2				x 2 x 1 x 2 x 1															x 2						x				x 1					x 2 x 1						.

Звільняємося від знаменника:

303

1 A x 1 x 2 x 1 Bx x 1 x 2 x 1 Cx 2 x 2 x 1

Dx E x 2 x 1 .

Дійсними коренями знаменника є числа 0 та 1. При х = 0 маємо 1=-А. тобто А=-1; при х = 1 маємо 1=3С, тобто С=1/3.

Перепишемо попередню рівність у вигляді

1 A x 2 1 B x 4 x C x 4 x 3 x 2 Dx 4 Ex 3 Dx 3 Ex 3.

Порівнюючи коефіцієнти при х4, х3, х2, одержуємо систему рівнянь

B C D 0,

A C E D 0,

																															C E 0,
																															C E 0,
з якої знайдемо B 0,															D 1/3,														E 1/3. Отже,
										1					1														1										x 1
																																			3 x 2 x 1											.
						x5 x 2																x 2					3 x 1								3 x 2 x 1											.
Таким чином,
					dx															dx						1				dx				1							x 1						dx
			x	5							2									2																		x		2							dx
			x			x														x					3			x 1					3					x			x 1
												1				1			ln				x 1							1		2x 1 3										dx
												1				1														1		2x 1 3

												x			3														6		x 2 x 1
												x			3														6		x 2 x 1
		1			1				ln		x 1										1			ln x 2 x 1													1								dx
		1			1																1																1								dx
																																															2
		x		3														6																		2								1				3
		x		3														6																		2								1				3
																																									x
																																									x							4
																	x 1 2																												2			4
							1						1	ln			x 1 2														1		arctg							2x			1		C.
														ln			x 2 x 1																arctg												C.
								x			3						x 2 x 1														3									3
	x 3 2x
4)									dx .
4)	x 2 1 2								dx .

Оскільки х2+1 є двократним множником, то

304

x 3 2x	Ax B	Cx D
			.
x 2 1 2	x 2 1 2	x 2 1

Звільняючись від знаменників, одержимо

x 3 2x Ax B Cx D x 2 1 .

Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х:

x 3	1 C,
x 2	0 D,

x	2 A C;	A 3,

x 0	0 B D;	B 0.

Отже,

x 3 2x

3 x dx

x dx

d x 2 1

x 2 1 2

x 2 1

x 2 1 2

x 2 1

ln x 2 1 C.

2 x

2 1

Помітимо, що даний інтеграл можна було знайти простіше за допомогою підстановки x 2 1 t.

5)x 2 3x 2 5x 7 dx.

x2 2

Виділимо цілу частину даного неправильного раціонального

дробу:

_ х3+3х2+5х+7 \| х2+2					.

	х3+2х		x 3	3x 1
	х3+2х		x 3	x 2 2
				x 2 2
	_3х2+3х+7
	3х2		+6
		3х+1

Отже,

305

x 3 3x 2 5x 7

x 3

3x 1

x 2

Звідси знаходимо

x 3

3x 2 5x 7

3x 1

dx x 3

dx x dx

3 dx

x 2 3x

2x dx

x 2 3x

ln x 2 2

x 2 2

x 2 2 2

arctg

6)x 3 6x 2 11x 6 dx.

Оскільки що підінтегральна функція є правильним дробом, то її слід одразу представити у вигляді суми найпростіших дробів. Легко

бачити, що многочлен x 3 6x 2 11x 6 перетворюється на нуль при

x 1, тому він ділиться без остачі на х +1. Виконаємо ділення:

_ х3+6х2+11х+6 | х+1

х3+х2

х2+5х+6

_ 5х2+11х

5х2 +5х .

_ 6х+6

Отже,

6х+6

x 3 6x 2 11x 6 x 1 x 2 5x 6 x 1 x 2 x 3 ;

x 4

x 3 6x 2 11x 6

x 1 x 2 x 3

x 2

x 1

x 3

Звільняючись від знаменників, одержимо

x 4 A x 2 x 3 B x 1 x 3 C x 1 x 2 .

Покладаючи x 1, знайдемо 3=2А, тобто А=3/2. Якщо			x 2,
то одержимо 2 B,	тобто B 2. При	x 3 одержимо	1 2C,
тобто C 1/2.
Таким чином,

306

x 4

11x 6

x 2

x 1

x 3

x 1

2 ln

x 2

x 3

x 2 1

dx .

Насамперед виділимо цілу частину:

_ х5+1

| х4-8х2+16 .

х5 - 8х3 +16х

8х3-16х+1

8х3-16х +1

х+ х4-8х2+16

Отже,

x5 1

8x 3 16x 1

x 4 8x 2 16

x 2 2 x 2 2

Розкладемо правильний дріб на найпростіші:

8x 3 16x 1

x 2 2 x 2 2

x 2 2

x 2

x 2 2

x 2

Звільнимося від знаменників:

8x 3 16x 1 A x 2 2 B x 2 x 2 2 C x 2 2 D x 2 2 x 2 .

Вважаючи х=2, знайдемо 33=16А, тобто А=33/16; При x 2

одержимо 31 16C,				тобто		C 31/16 .	Якщо	х=0, тоді
1 4A 8B 4C 8D .			Замінивши			А і С	їхніми	значеннями,
одержуємо
1	33	8B		31	8D , або 16B 16D 1 .
1		8B			8D , або 16B 16D 1 .
4			4

Для того, щоб знайти В і D, складаємо ще одне рівняння. Зрівнявши коефіцієнти при х3, одержимо 8=В+D. Вирішивши систему рівнянь

B D 8,

16B 16D 1,

307

знаходимо D 129/32,

B 127/32 .

Отже,

x 5 1

33/16

127/32

31/16

129/32

dx x

_16

x 2

127

x 2

129

x 2

C .

2 16 x 2

16 x 2

x 2 dx

x 1

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом і можна було б знайти інтеграл, представивши цей дріб у вигляді суми найпростіших дробів. Однак знаходження інтеграла можна значно

спростити, якщо зробити заміну змінної

x 1 t ;

тоді

x t 1 й

dx dt . У результаті одержуємо

x 2 dx

t 1 2 dt

t 2

2t 1

x 1

2t 2

3t 3

4t 4

2 x 1 2

3 x 1 3

4 x 1 4

6x 2

4x 1

C .

12 x 1 4

xdx

9)x 4 6x 2 5 .

Перетворимо знаменник: x 4 6x 2 5 x 2 3 2 4. Маємо

x dx

x 4 6x 2 5

x 2 3 2

Зробимо заміну x 2 3 t , тоді

2xdx dt й

x dx

t 2

x 4 6x 2 5

x 2 3 2 4

t 2 4

t 4

2 4

1 ln x 2 1 C .

8 x 2 5

308

Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій

1. Інтеграли виду	R x, ax b m1 /n1 , ax b m2 /n2 ,... dx, де R –
раціональна функція;	m1, n1, m2, n2, … - цілі числа. За

допомогою підстановки ax b t s , де s – найменше спільне кратне

чисел n1, n2,…, вказаний інтеграл перетвориться на інтеграл від раціональної функції.

Приклад 7. Знайти інтеграл

2/3

1/2

2x 1

Тут

n1 3, n2

2; тому

s 6.

Застосуємо

підстановку

2x 1 t 6 ; тоді x t 6

1 /2,dx 3t 5dt і, отже,

3t 5 dt

t 2

1 1

3 t

3 ln

t 1

Повернемося до минулої змінної. Якщо t 2x 1 1/6 , тоді

2x 1 1/3 3 2x 1 1/6 3 ln

2x 1

Інтеграли

виду

. Такі

інтеграли шляхом

ax 2 bx c

виділення повного квадрата із квадратного тричлена зводиться до табличних інтегралів 20 або 21.

Приклади 8. Знайти інтеграли

x 2 2x

Перетворимо

квадратний

тричлен

до

виду

x 2 2x 5 x 1 2 4 . Тоді

d x 1

x 1

x 2 2x 5

C .

x 2 2x 5

x 1 2 4

309

									2
	dx	1				d x						1			x 2/3
						d x
2)									3					arcsin		C
2)														arcsin		C
	3x 2 4x 1	3		1				2			2	3	1/3
							x
				9			x
				9				3
		1	arcsin 3x 2 C .
			arcsin 3x 2 C .
		3
3. Інтеграли виду					Ax B					dx . Для знаходження цього


				ax 2 bx c

інтеграла виділимо в чисельнику похідну квадратного тричлена, що стоїть під знаком кореня, і розкладемо інтеграл на суму двох інтегралів:

Ax B

2ax b B

ax 2 bx

ax 2 bx c

A d ax 2

bx c

ax 2 bx c

Перший з отриманих інтегралів є табличним інтегралом 17, а другий розглянутий у п. 2.

Приклади 9. Знайти інтеграл

1)	5x 3	dx .

	2x 2 8x 1
	2x 2 8x 1

Виділимо в чисельнику похідну підкореневого виразу:

	5x 3									5		4x 8 13									5		4x 8
							dx		4			4x 8 13					dx										dx
									4

	2x 2 8x 1											2x 2 8x 1						4				2x 2 8x 1
13						dx					5									13				dx
						dx					5			2x 2 8x 1						13				dx

						2
				2x 8x 1				2										2					x 2 4x			1
																							x 2 4x
																						2
			5										13		ln	x 2			x 2 4x					1	C .
			5		2x 2 8x 1								13											1
					2x 2 8x 1
		2						2														2

310

3x 4

dx .

x 2

6x 8

3x 4

2x 6 13

x 2 6x 8

2x 6

dx 13

x 2 6x 8

1 (x 3)2

13 arcsin x 3 C .

x 2

6x 8

Інтеграли

виду

За допомогою

x a ax 2 bx c

підстановки x a 1/t

цей інтеграл приводиться до розглянутого в п.

Приклади 10. Знайти інтеграли

5x 2 2x 1

Покладемо x 1/t , тоді dx 1/t 2 dt

та

dt /t 2

1/t

5x 2 2x 1

5/t 2 2/t 1

t 1 t 2 2t 5

5x 2 2x 1

1 2

1 x 5x 2 2x 1

C .

x 2

x 1

x 2 2x 3

Покладемо x 1 1/t , тоді x 1/t 1 та dx 1/t 2 dt . Отже,

dt /t 2

x 1

x 2 2x 3

2 1

311

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб3Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc