Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математике(2семестр)

.pdf

Скачиваний:

1521

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

Л. М. ГЛУШКОВА, В. В. ВОДОПЬЯНОВ

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Допущено Редакционно-издательским советом УГАТУ в качестве учебного пособия

Уфа 2011

УДК 51(07)

ББК 22.1(я7) Г55

Рецензенты:

зав. кафедрой механики сплошных сред БашГУ, д-р физ.-мат. наук, проф. А. М. Ахтямов;

зав. кафедрой вычислительной математики БГПУ им. М. Акмуллы, д-р физ.-мат. наук, проф. Р. М. Асадуллин

Глушкова Л.М., Водопьянов В.В.

Г55 Практикум по математике: учебное пособие / Л. М. Глушкова, В. В. Водопьянов; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа:

УГАТУ, 2011. – 114 с.

ISBN 978-5-4221-0246-4

Практикум содержит необходимый теоретический материал, а также методические указания по программе 1 курса (2 семестр).

Приведены основные методы вычисления интегралов и решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Представлен материал для решения задач на практических занятиях, самостоятельной работы студентов, а также для самостоятельного изучения.

Табл. 2. Ил. 22. Библиогр.: 4 назв.

Научный редактор д-р техн. наук, профессор Водопьянов В. В.

УДК 51(07) ББК 22.1(я7)

ISBN 978-5-4221-0246-4 Уфимский государственный авиационный технический университет, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Раздел А ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§1. Неопределенные и определенные интегралы

1.1.Вычисление неопределённого интеграла путём преобразования подынтегральной функции. Вычисление неопределённого интеграла внесением функции под знак дифференциала…………………………………………………… 5

1.2.Вычисление неопределённого интеграла интегрированием

по частям…………………………………....................................... 12

1.3.Интегрирование дробно-рациональных функций………..... 15

1.4.Интегрирование дробно-линейных иррациональных выражений вида


	ax b	m
	ax b
R x, k			…………………………………………………..
R x, k
	cx d			21
	cx d			21

1.5.Интегрирование тригонометрических выражений………... 24

1.6.Интегрирование квадратичных иррациональностей……..... 31

1.7.Интегрирование выражений вида Qm x ax2 bx c …..…. 35

1.8.Формула Ньютона-Лейбница…………………………….…. 40

1.9. Замена переменной в определенном интеграле…………… 41

1.10.Формула интегрирования по частям для определенного интеграла……………………………………………………...…... 43

1.11.Вычисление площадей……………………………………... 44

1.12.Вычисление объемов………………………………………. 48

1.13.Вычисление длины дуги плоской кривой………………... 51

1.14. Несобственные интегралы 1 и 2 рода……………………. 54

§2. Кратные и криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности

2.1. Двойной интеграл. Двойной интеграл в полярных координатах……………………………………………………… 60

2.2.Некоторые приложения двойного интеграла……………... 66

2.3.Тройной интеграл. Тройной интеграл в цилиндрических и

сферических координатах…………………………………..…… 70

2.4.Некоторые приложения тройного интеграла………...……. 75

2.5.Криволинейные интегралы по длине (первого рода)…….... 78

2.6.Криволинейные интегралы по координатам (второго рода)……………………………………………………………...... 78

2.7.Интегралы по площади поверхности (первого рода) (для самостоятельного изучения)…………………….……………….. 81

Раздел Б ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

3.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним…………………..……..... 83

3.2.Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним………………………………………...…..... 86

3.3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка……………………………………………………….....…. 88

3.4.Уравнения Бернулли…………………………………….…... 93

3.5.Дифференциальные уравнения высших порядков,

допускающие понижение порядка………………………….…… 94 3.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами………………………..…..….. 97 3.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами y p(x) y g(x) y f (x)

............................................................

3.8. Системы дифференциальных уравнений (для самостоятельного изучения)……………………………..…..…..

Дополнительные задачи для самостоятельного решения по разделу «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка»………………………………………...…..……

Список литературы………………………………………..…….

106

114

118

РАЗДЕЛ А. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1. Вычисление неопределённого интеграла путём преобразования подынтегральной функции. Вычисление неопределённого интеграла внесением функции под знак дифференциала

1.1.1. Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на использовании основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.

Основные правила неопределенного интеграла

10. Если (F(x)) ' f (x) , то и (F(x) c) ' f (x) , c const .

Тогда

f (x)dx F (x) C ,

где C произвольная постоянная.

20. dF(x) F(x) C.

30. kf (x)dx k f (x)dx , где k const 0. 40. f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx.

Ниже приведена таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица 1.1

Основные неопределённые интегралы

1. dx x C.

xn 1

2. xn dx n 1 C. 3. 1x dx ln x C.

4. sin xdx cos x C.

Окончание табл. 1.1

5. cos xdx sin x C.

6.		1				dx tg x C.

		cos2 x
7.		1			dx ctg x C.

	sin2 x
8.				1			dx arcsin x C.



		1		x2
		1
9.						dx arctg x C.
9.			1 x2			dx arctg x C.

10. ex dx ex .

11. ax dx ax C. ln a

12. ctg xdx ln sin x C. 13. tg xdx ln cos x C.

14.

dx ln

cosec x ctg x

C ln

sin x

dx ln

tg x

C ln

15.

sec x

cos x

16.

arctg

a2 x2

17.

a x

C, a 0.

a2 x2

a x

18.

x a

C, a 0.

x2 a2

x a

19.

dx arcsin

a, a 0.

a2 x2

20.

21.

x2 a2

22.

arcsin

a2 x2

Пример 1.1. Найти интеграл 5 3x 4 5x3 7 dx .

Решение. 5 3x 4 5x3 7 dx 5 3x dx 4 x35 dx 7 dx

ln53 3x 52 x85 7x C.

1.1.2. Вычисление неопределённого интеграла заменой переменной.

Теорема 1.1

Если F (x)

–

первообразная

функции

f (x) , а

x (t) –

дифференцируемая функция, то функция

также имеет

f ( (t)) (t)

первообразную, причём:

F( (t)) C .

f ( (t)) (t)dt

Пример 1.2. Найти интегралы:

1) sin(2 2x)dx ; 2)

x 1 5dx .

Решение.

2 2x t

sin(2 2x)dx

2dx dt

sin tdt

cos t C

cos(2 2x) C.

2) x 1 5dx

x 1 t

t5dt

(x 1)6 C .

dx dt

Замечание. Данный метод применим не ко всякому интегралу. Полезны две подсказки:

1) если под знаком интеграла стоит сложная функция f ( (x)) , то, как правило, используется подстановка t (x) (пример 1.2).

2)если в подынтегральном выражении готовый дифференциал

функции (x) , т.е. выражение (x)dx , то удобна подстановка t (x) .

Поэтому полезно помнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:

cos xdx d (sin x);

sin xdx d (cos x);

ex dx d (ex );

xdx

d (x2 );

dx d (ln x);

dx 2d ( x );

dx d

;

d (ax b);

dx d (tgx);

d (ctgx).

cos2 x

sin2 x

Найти интегралы.

1. 2x .


3.	x x3ex x2			dx .
3.		x	3	dx .
		x

5. 3 3x2 .

7. 2sin2 2x dx .

1 cos2 x

9. 1 cos 2x dx .

11. 8 2x dx .

1 x 2

2. dx .

4. x 1 x x 1 dx .

6.	3 2x		2 3x
										dx .
		2			x					dx .
		2
		4sin x						11
8.											dx .
8.							cos2 x				dx .
							cos2 x
10.		dx
									.
		2x				3		5	.
		2x				3
12. 2x
12. 2x				x2 1 dx .

13.						x4dx										.

						4 x5
						4 x5

15.					ln x						dx .
15.							x				dx .
							x
17.	sin 2x 3 dx .
19.			ex dx								.
19.		e			x		1				.
		e					1
21.							dx							.
21.		1 9x										2		.
		1 9x
23.	e 3x 1dx .
								dx
25.																		.

						4 9x2
						4 9x2
27.					2x				dx
															.

							1 4x
29.*				x 1 x2 dx
																				.
								1 x									4			.
								1 x
31.*				x4 dx									.
31.*													.
					1 x
33.*											dx									.

				4x				2		4x									5
				4x						4x									5
35.*								dx
																.
				cos						4	x					.
				cos							x