4. Устойчивость замкнутой системы с помощью критериев Михайлова, Найквиста.

Критерий Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению вектора полинома замкнутой системы на комплексной плоскости.

Характеристический полином замкнутой системы:

Подставим некоторые значения частоты:

Таблица 3. Критерий Михайлова

	0	10	12,18	15	19,3	20	25	30
U	82,08	59,06	48,13	31,073	0	-6,64	-52,61	-104,94
V	0	3,26	0	-7,7475	29,15	-33,92	-80,3125	-151,98

Листинг программы:

>> w=0:pi/5:20; ( >> w=0:pi/100:500;)

>> X=0.000028*power(w,4)-0.233*power(w,2)+82.08;

>> Y=-0.00674*power(w,3)+1*w;

>> plot(X,Y);

>>grid;

Рис.5 Годограф Михайлова

Рис.6 Годограф Михайлова

Критерий Найквиста:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой замкнутой системы не охватывала точку с координатами {-1;j0}.

Рис. Критерий Найквиста

Так как АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0), следует, что замкнутая система неустойчива.

5. Кривая d-разбиения по параметру kу.

D(s) = 0,000028s⁴+0,00674s³+0,233s²+s+82,08;

s=jw

D(jw) = 0,000028w⁴-j0,00674w³-0,233w²+jw+0,8208k_у=0;

k_у = X’(w)+jY(w);

-0,8208k_у=0, 000028w⁴-0,233w²+jw-j 0,00674w³;

Построим таблицу значений.

Таблица 4

w	-∞	-20	-15	-12,18	-10	0	3	8	17	+∞
X’	+∞	108,09	62,144	41,2	28,046	0	2,55	18,307	79,2	+∞
Y’	+∞	-41,326	-9,44	0	3,97	0	-3,43	-5,54	-19,6	-∞

По полученным данным строим график:

Рис. Кривая D-разбиения по параметру k_у

6. Запасы устойчивости системы по модулю и по фазе, пользуясь критерием Найквиста.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием m от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс.

При угле равному -180^о : w(-180)=10;

w(10)=3,5

m=1-3,5=-2,5

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом  между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

W(w)=1, значит w=18,79;

(18,79)=198,13^о;

Следовательно, γ=180-198,13=18,13^о