Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт экономики и управления

Кафедра математики

Контрольная работа

по дисциплине

«Математика»

Выполнил: студент группы М-205

Мифтахова.Е.А.

______________________

(подпись)

Проверила: Уразбахтина Л.З.

______________________

(дата и подпись)

Уфа – 2014

Задача 1.1

Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = -2x₁+1.5x₂ → min, при системе ограничений:

x1-4x2≤0	(1)
x1+x2≤7	(2)
4x1-3x2≥-12	(3)
x2≤5	(4)
x1≥0	(5)
x2≥0	(6)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом). Построим уравнение x₁-4x₂ = 0 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 1. Находим x₂ = 0.25. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 1. Находим x₁ = 4. Соединяем точку (1;0.25) с (4;1) прямой линией. Построим уравнение x₁+x₂ = 7 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 7. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 7. Соединяем точку (0;7) с (7;0) прямой линией. Построим уравнение 4x₁-3x₂ = -12 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = -3. Соединяем точку (0;4) с (-3;0) прямой линией. Построим уравнение x₂ = 5. Эта прямая проходит через точку x₂ = 5 параллельно оси OX1.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = -2x₁+1.5x₂ → min.  Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = -2x₁+1.5x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-2; 1.5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке G. Так как точка G получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x₁-4x₂=0 x₁+x₂=7 Решив систему уравнений, получим: x₁ = 5.6, x₂ = 1.4 Откуда найдем минимальное значение целевой функции: F(X) = -2*5.6 + 1.5*1.4 = -9.1

Аналогично находим максимум, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (3), то на отрезке DE функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение. Для определения координат точки E решим систему двух линейных уравнений: 4x₁-3x₂=-12 x₂=5 Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0.75, x₂ = 5 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = -2*0.75 + 1.5*5 = 6

Задача 1.2

Следовательно, двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:

F(Y)= -7Y₂-12Y₃-5Y₄ (max)

Ограничения:

-1Y1	-	1Y2	+	4Y3	+	0Y4		≤	-2
4Y1	-	1Y2	-	3Y3	-	1Y4		≤	1.5

Y1	≥	0
Y2	≥	0
Y3	≥	0
Y4	≥	0

Решим двойственную задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1). Определим максимальное значение целевой функции F(X) = -7x₂-12x₃-5x₄ при следующих условиях-ограничений. x₁+x₂-4x₃≥2 4x₁-x₂-3x₃-x₄≤1.5 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₅ со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆.  1x₁ + 1x₂-4x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ = 2 4x₁-1x₂-3x₃-1x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 1.5 Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₇;  1x₁ + 1x₂-4x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 2 4x₁-1x₂-3x₃-1x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 1.5 Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так: F(X) = -7x₂-12x₃-5x₄ - Mx₇ → max За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается. Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса. Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения. Из уравнений выражаем искусственные переменные: x₇ = 2-x₁-x₂+4x₃+x₅ которые подставим в целевую функцию: F(X) = -7x₂-12x₃-5x₄ - M(2-x₁-x₂+4x₃+x₅) → max или F(X) = (M)x₁+(-7+M)x₂+(-12-4M)x₃+(-5)x₄+(-M)x₅+(-2M) → max Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	1	-4	0	-1	0	1
4	-1	-3	-1	0	1	0

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₇, x₆ Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,1.5,2) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	2	1	1	-4	0	-1	0	1
x6	1.5	4	-1	-3	-1	0	1	0
F(X0)	-2M	-M	7-M	12+4M	5	M	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x7	2	1	1	-4	0	-1	0	1	2
x6	1.5	4	-1	-3	-1	0	1	0	0.38
F(X1)	-2M	-M	7-M	12+4M	5	M	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁  Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=4 На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁ . Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1.5 / 4 = 0.38	4 / 4 = 1	-1 / 4 = -0.25	-3 / 4 = -0.75	-1 / 4 = -0.25	0 / 4 = 0	1 / 4 = 0.25	0 / 4 = 0

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	1.63	0	1.25	-3.25	0.25	-1	-0.25	1
x1	0.38	1	-0.25	-0.75	-0.25	0	0.25	0
F(X1)	-1.63M	0	7-1.25M	12+3.25M	5-0.25M	M	0.25M	0

Итерация №1. 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. 2. Определение новой базисной переменной. В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю. 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее: Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1.25) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x7	1.63	0	1.25	-3.25	0.25	-1	-0.25	1	1.3
x1	0.38	1	-0.25	-0.75	-0.25	0	0.25	0	-
F(X2)	-1.63M	0	7-1.25M	12+3.25M	5-0.25M	M	0.25M	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x₇ в план 2 войдет переменная x₂  Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₇ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1.25 На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂ и столбец x₂ . Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1.63 / 1.25 = 1.3	0 / 1.25 = 0	1.25 / 1.25 = 1	-3.25 / 1.25 = -2.6	0.25 / 1.25 = 0.2	-1 / 1.25 = -0.8	-0.25 / 1.25 = -0.2	1 / 1.25 = 0.8

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	1.3	0	1	-2.6	0.2	-0.8	-0.2	0.8
x1	0.7	1	0	-1.4	-0.2	-0.2	0.2	0.2
F(X2)	-9.1	0	0	30.2	3.6	5.6	1.4	-5.6+M