Variatsionnoe_ischislenia

Рис. I.4:

Рис. I.5:

Пример 4. Oтображение имеет в точке xˆ вариацию по Лагранжу, непрерывно в этой точке, но не имеет

производной Гато

Определение 5. Пусть отображение f : B1 → B2 дифференцируемо по Фреше в точке xˆ и, кроме того, ε > 0

δ > 0 : x1, x2

(||x1 − xˆ||B1 < δ, ||x2 − xˆ||B1 < δ)

||f (x1) − f (x2) − Df (ˆx)(x1 − x2)||B2 6 ε||x1 − x2||B1 .

Тогда оно называется строго дифференцируемым по Фреше в точке xˆ и производная обозначается SDf (ˆx).

Теорема 3. Если существует SDf (ˆx), то функция f непрерывна в некоторой окрестности точки xˆ.

Задача 4. Доказать самостоятельно теорему 3.

Пример 5. Функция дифференцируема по Фреше, но не строго. Возьмем f : R1 → R1 (см. рис. I. 5)

Производная Фреше в точке xˆ = 0 существует и равна нулю. Но в любой окрестности нуля функция разрывна, а ведь строгая дифференцируемость в точке xˆ влечет непрерывность функции в некоторой окрестности точки xˆ.

I.1.2 Производная функционала

Множество линейных непрерывных функционалов, заданных на банаховом пространстве B, снабженных обычной операторной нормой klk = sup |(l, u)|, образует новое банахово пространство. Оно обозначается B и

kukB 61

называется пространством, сопряженным к B. Например, для банахова пространства Lp[a, b] = {f | f : R1 → R1,

b

морфизма) есть Lp [a, b] с p , удовлетворяющим условию p + p = 1. Для пространства L1[a, b] сопряженным

В случае гильбертова пространства B оказывается изометрически изоморфным B, B = B .

Задача 5. L2[a, b] = L2[a, b].

При любом банаховом пространстве B на сопряженном пространстве B снова можно рассмотреть пространство линейных непрерывных функционалов сопряженное к B пространство B . Известно, что B изометрически изоморфно некоторому подпространству в B . Но часто (для обычно употребляемых пространств) оказывается, что B изометрически изоморфно всему B . Пространства, обладающие свойством B = B , на-

зываются рефлексивными.

Задача 6. Пространства Lp[a, b] при p (1, ∞) рефлексивные. Пространство L1[a, b] не является рефлексивным.

Для отображений f : B → R производная Df (x) является элементом B , то есть линейным непрерывным

функционалом.

В гильбертовых пространствах, как известно, определена специальная функция двух переменных скалярное произведение, и любой линейный функционал l : x → (l, x) может быть записан в виде скалярного произведения с помощью некоторого однозначно определенного этим функционалом y элемента (l : x → hy, x¯i) по теореме об общем виде линейного функционала. Поэтому для функционала f , определенного на гильбертовом пространстве H (f : H → R), мы получаем такую формулу конечных приращений

¯

f (x + h) = f (x) + hDf (x), hi + o(khkH ) ≡ f (x) + hh, Df (x)i + o(khkH )

с обычным отождествлением этого элемента y с самим линейным функционалом Df (x). Кстати, Df (x) H ≡ H, поэтому можно считать, что Df : x → Df (x) действует из H в H.

От первой производной можно взять следующую. Пусть вторая производная по Фреше существует и непрерывна в некоторой окрестности точки xˆ. По теореме 2 ее можно вычислять как вторую производную Гато

Если функция ϕ : (t1, t2) → f (x + t1h1 + t2h2) является дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности

нуля.

Задача 7. Это можно вывести из непрерывности F D2f (x)в окрестности точки xˆ то порядки вычисления производных по t1 и t2 можно переставить и

= hh2, hh1, D2f (x)ii = D2f (x) (h2, h1) .

таким образом, в этом случае справедлива

Теорема 4. Билинейный функционал D2f (x) : H × H → R является симметричным относительно своих аргументов.

Пример 6. Возьмем f : Rn → R. Здесь Rn является гильбертовым пространством. Если f C2, то

f (x + h) = f (x) + (Df (x))T · h + 12 D2f (x)(h, h) + o(khk2).

Как известно, Df (x) вектор-столбец первых производных (он называется градиентом функции f ), D2f (x) =

Задача 8. Доказать симметричность D2f (x)(h1, h2) относительно аргументов h1, h2 в случае общего отображения f : B1 → B2.

I.1.3 Понятие дифференциала

Мы говорим "дифференцируемая функция "функция, имеющая производную". По-английски это: "differentiable function "derivative function". Какова взаимосвязь этих понятий?

Ранее мы уже определили производную отображения f : B1 → B2 как оператор Df (x) L(B1, B2). В строгой

("педантичной") математической терминологии дифференциалом функции называется значение этого линейного оператора на заданном приращении аргумента Df (x) ·h, и теорема о конечном приращении есть теорема о дифференциале: "приращение функции равно ее дифференциалу с точностью до o(khkB1 )". Таким образом, су-

ществование, вид и свойства дифференциала взаимнооднозначно соответствуют существованию, виду, свойствам производной эти понятия эквивалентны. Поэтому часто их отождествляют и для них применяют одинаковые обозначения см. "Математическую энциклопедию". Например, для f : R1 → R1, строго говоря, дифференциал df (x) ≡ f ′(x)dx (dx есть обозначение h с дополнительным предположением khk → 0), а теперь повсеместно cаму производную обозначают f ′(x) ≡ Df (x). Происхождение этой путаницы в истории возникновения и становления математического анализа в XVII - XIX веках. Как известно, основоположники анализа Лейбниц7) и Ньютон8) создали его почти одновременно и независимо друг от друга. Так получилось, что из эквивалент-

ных понятий производной и дифференциала Ньютон взял за основу производную, а Лейбниц дифференциал.

Поэтому, например, в идущем от Лейбница обозначении f ′(x) = df (x) в принципе предусмотрена возможность

dx

деления на dx, но сейчас считается, что дробь df (x) неразделима математически, то есть является символи-

dx

кой такого же типа, что и R dx. Канонизация строгой логической схемы, произведенная Коши9), положив в

основу понятие производной, направила математический анализ по пути Ньютона. Путь же Лейбница оказался основным в дифференциальной геометрии. Путаница может происходить, когда мы стремимся опереться на обе логические схемы одновременно. Приведем в качестве примера прояснения возникающей смуты правильное обоснование классического метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 7. Требуется найти общее решение уравнения

y′(x) = f (x)g(y).

"Учебник"(см., например, Понтрягин Л. С.10) "Обыкновенные дифференциальные уравнения") дает: если g(y) =6 0, то

"Наведем"критику: с современной точки зрения (по Коши) переходы (I.1) → (I.2) и (I.2) → (I.3) бесмысленны.

Дадим строгий вывод формулы общего решения, не обращаясь к понятию дифференциала.

Пусть y = y(x) решение уравнения. Подстановка этого решения обращает уравнение в тождество:

x

Возьмем от обех частей тождества определенный интеграл с переменным верхним пределом R dξ, предполагая,

7)Leibnitz G. (Лейбниц Готфрид Вильгельм, 1646 - 1716) немецкий математик, физик и философ, заложил основы символической логики, ввел понятие определителя, одновременно с Ньютоном, но независимо от него, завершил создание дифференциального

иинтегрального исчисления, опубликовал первое в мире печатное произведение, посвященное дифференциальному исчислению "Nova metodus pro maximis et minimis(1684)"

8)Newton I. (Ньютон Исаак, 1643 - 1727) английский математик, физик, механик, астроном, в частности, ему принадлежит метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона).

9)Cauchy A.L.(Коши Огюст, 1789 - 1857) французский математик, создал употребляемую сейчас строгую логическую систему математического анализа.

10)Понтрягин Лев Семенович (1908 - 1988) русский математик, создатель одного из основных современных методов решения оптимизационных задач "принципа максимума".