Глава 2

Модели элементов схем замещения

Понятие математической модели

В общем случае под математической моделью реального объекта обычно понимают любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведение этого объекта в заданных условиях.

Если объектом является компонент электронной схемы, то математической моделью будем называть математическое описание связей между токами и напряжениями, возникающими в компоненте в статическом или в динамическом режимах работы. В частности, математической моделью компоненты могут быть уравнения вольтамперных характеристик или дифференциальное уравнение переходных процессов в компоненте.

Математическую модель можно рассматривать как некоторый оператор, ставящий в соответствие системе внутренних параметров объекта совокупность функционально связанных между собой внешних параметров.

Вид функциональной связи зависит от принципа действия объекта, а содержание понятий «внешних» и «внутренних» параметров определяется его физической сущностью и способом использования. Для математических моделей компонентов внешними параметрами обычно служат токи и напряжения, если модель предназначена для расчета схем, или заряды и плотности токов, если модель предназначена для проектирования самого компонента. Внутренними параметрами могут быть в зависимости от целей проектирования электрические или конструктивно-технологические параметры компонента, а связь между внешними и внутренними параметрами в общем случае определяется на основе фундаментальных уравнений движения носителей заряда в твердом теле.

Классификация параметров модели

Как уже было сказано выше, все параметры математических моделей делятся на два класса – внешние и внутренние. Каждый из этих классов подразделяется на два подкласса – первичные и вторичные параметры.

Первичные внешние параметры токи и напряжения. Вторичные внешние параметры – параметры, вычисляемые на основе токов и напряжений: длительности фронтов, задержек, рассеиваемые и потребляемые мощности, неравномерности частотных характеристик. Вторичные внешние параметры иногда называют выходными, схемными параметрами.

Первичные внутренние параметры – электрофизические и конструктивно-технологические параметры: размеры отдельных областей компонентов, подвижности, характеристики полупроводниковых материалов. Первичные внутренние параметры иногда называют физико-топологическими. Вторичные внутренние параметры – параметры, которые могут быть определе-ны на основе только электрических измерений на выводах компонента: входные и выходные сопротивления, коэффициенты усиления и т.д. Вторичные внутренние параметры обычно называют электрическими. Электрические параметры, как правило, являются функцией от физико-топологических, чем и обусловлено отнесение их к вторичным.

Классификация моделей

Существует две наиболее общие разновидности моделей: формальные и физические. Формальные модели используются для аппроксимации характеристик приборов в тех случаях, когда физика их работы известна недостаточно полно или когда требуется провести качественный анализ работы схемы. Неизвестные коэффициенты выбранной аппроксимирующей функции определяются из внешних электрических измерений прибора. Как правило, достаточно точные формальные модели требуют большого количества измерений и аппроксимируют характеристики приборов только в ограниченной области рабочего диапазона. Обычно они используются для предварительных оценочных расчетов.

Физическая модель в той или иной мере отражает процессы, протекающие в полупроводниковом приборе. В отличие от формальной модели уравнения физиче-ской модели выводятся на основе теории работы прибора.

Рассмотрим общую классификацию математических моделей.

1. По характеру отображаемых процессов модели можно разделить на статические и динамиче-ские. Статические модели используются при анализе по постоянному току или при очень низких частотах, когда инерционность прибора не оказывает существенного влияния на поведение схемы. Динамические модели используются при анализе переходных процессов, частотных и фазовых характеристик и т.д.

2. По способу представления, модели могут быть аналитическими, графическими или табличными. Аналитические модели компонентов представляются в виде вольтамперных характеристик или в форме дифференциальных уравнений переходных процессов, характеризующих инерционность компонента. Графические модели могут быть заданы в виде графиков вольтамперных характери-стик или в виде схем замещения. Часто исключение реактивных элементов из динамической схемы замещения превращает ее в статическую. Такие схемы замещения можно назвать сепарабельными.

Табличные модели задаются в виде цифровых таблиц, обычно соответствующих графикам экспериментальных вольтамперных характеристик, для которых трудно найти аналитическое выраже-ние. Иногда полезно оформить в виде таблицы результатов, часто используемые в расчете на ЭВМ, аналитическую модель, если вычисления по ней требуют больших затрат времени. Такая таблица, будучи однажды составлена, совместно с подпрограммой интерполяции для получения промежуточных данных может существенно ускорить расчет схемы, однако при этом увеличивается объем требуемой памяти. Кроме того, при составлении модели предполагается, что параметры модели постоянны; следовательно, с помощью таблиц можно решить лишь задачи моделирования схемы с заданными компонентами, но не задачи оптимизации схем по параметрам компонентов.

4. По диапазону рабочих сигналов различают модели для малого (малосигнальные) и для большого сигналов. Обычно малосигнальные модели – линейные, поскольку они получаются при рассмот-рении малых отклонений токов и напряжений от стационарной рабочей точки, так что нелинейностью характеристики можно пренебречь. Модели для большого сигнала, как правило, нелинейные.

Модель Конденсатор (capacitor)

Назначение и общие сведения. Модель Конденсатор реализована в ППП в одноименном модуле-коннекторе, и за ее «фасадом» работают модели накопления заряда на конкретных разновидностях сопряжений двух элементов (электрика и диэлектрика). Все эти модели основаны на решении задачи по закону сохранения энергии в колебательном контуре , в котором имеет место подвод электрической энергии.

Если представить конденсатор в расчетной схеме замещения то для описания непосредственно через Закон сохранения энергии. Обычно принимается формула электрической энергии перетекания через конденсатор и катушку ,полученная обработкой измерений с учетом этого же допущения. Вместе они составляют набор условий, связывающих параметры одномерного потока на входе с параметрами на выходе из конденсатора, и обеспечивают адекватный учет изменения параметров заряда и напряжения ив ней, вызванные как подводом (или отводом) энергии в форме электричества, так и потерями в потоке.

Модуль Конденсатор в ППП выполняет роль «мостового» коннектора между моделями двух предметных областей – «переменного тока » и «ЗСЭ». Два порта модуля на структурной схеме модели могут быть связана с компонентами первой П/О, а третий – с компонентом второй П/О.

В качестве исходных данных в диалоговом окне описываемого модуля необходимо задать (в виде таблицы экспериментальных точек) универсальную (в обобщенных переменных) характеристику конденсатора как накопитель электрического заряда.

Математическая модель. Модели, описывающие течение рабочего заряда через конденсатор или катушку как граничные условия схемы замещения являются обобщением моделей течения на скачках cхемы. Обобщение на случай конденсатор и накопителя заряда и объемного действия состоит в применении для «замыкания» задачи более сложной статической характеристики граничного сечения в схеме замещения – универсальной характеристики конденсатор или катушки. В течении через такой элемент схемы замещения (представленный моделью связи) необходимо рассчитывать изменения и заряда, и напряжения (q*, U*), связанные с подводом или отводом энергии в форме электрической работы в необратимом квазистатическом процессе граничном сечении .

Набор соотношений может быть достаточным для более или менее адекватного выражения связи (в квазиодномерном приближении и для условий ДВС) параметров одномерного потока заряда на входе с параметрами на выходе из конденсатора, с учетом подвода к потоку или отвода от него энергии в форме электрической работы, а также необратимых потерь при течении через реальный конденсатор.

Модель конденсатор, обеспечивающие корректность «сквозного» численного моделирования нестационарного течения в схеме замещения в квазистатическом постановке, можно получить, например, прямым обобщением моделей на случай подвода или отвода работы в необратимом процессе. В принципе такое обобщение состоит лишь в применении для «замыкания» задачи о РПР универсальной характеристики более сложного вида для устройства, расположенного в граничном сечении.

Если же с одной стороны (или с обеих сторон) к модели машины в расчетной схеме замещения примыкают элемент (элементы) типа канала, то соответствующая корректная модель граничного элемента (катушки или конденсатор) должна также включать в себя условия сопряжения с моделью течения в канале. В основе модели конденсатор  – система уравнений в частных производных (УЧП), описывающих квазистатическом движения заряда. Специфические условия сопряжения следует, поэтому задавать соотношениями вдоль характеристических кривых указанной системы УЧП или соотношениями на фронтах простых изоэнтропных волн. Оба подхода к построению моделей граничных сечений дают при численном моделировании одинаковые результаты. C применением второго подхода модель для определения потоков заряда энергиив граничном сечении на шаге численного расчета можно получить обобщение на случай машины моделей местных сопротивлений соответствующего вида.

В набор условий совместности для решения задачи о РПР должна включаться универсальная характеристика, позволяющая учесть действительную работу конденсатора учетом необратимых потерь в машине для текущих условий задачи о РПР на ней.

Привлекается универсальная характеристика конденсатора , которая связывает степень повышения напряжение и сила токаJ . Этими параметрами –сопративление конденсатора и напряжение на конденсатореучитываются параметры в схеме замещения относительно катушки и резистора .

Прочие соотношения модели – ЗСЭ и мощность необходимые условия совместности для корректного сопряжения с численным решением на расчетном шаге .

Исходные данные задачи о РПР на конденсаторе в выбранной схеме задаются параметрами состояния, величиной напряжения и силы тока , местного сопративления , параметрами уравнений состояния конденсатора в расчетных ячейках на концах примыкающих каналов и их площадями сечений, а также текущим мощностью и энергией конденсатора. В приближении совершенного конденсатора задаются функции где

где