ФГБОУ ВПО))
.docxФГБОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра Информатики
100 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнение индивидуального задания |
в MS Word |
|
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к лабораторной работе по |
информатике |
1308.501106.000ПЗ |
(обозначение документа) |
Группа |
|
|
Фамилия, И., О. |
Подпись |
Дата |
Оценка |
||||
ФЭБ-110 |
|
|||||||||
|
|
|||||||||
Студент |
Мустафина Л.И.
|
|
|
|
||||||
Консультант |
Янгирова А.Ф. |
|
|
|
||||||
Принял |
|
|
|
|
Уфа 2013 г.
Содержание
Введение 3
1. Численное решение уравнений 4
1.1 Метод хорд (пропорциональных частей) 4
1.2 Алгоритм метода хорд 5
Заключение 7
Список литературы 8
Введение
Для того чтобы уметь решать конкретные задачи на компьютере, недостаточно уметь правильно писать операторы на каком-либо языке программирования. Необходимо, прежде всего, знать алгоритмы и методы их решения.
В научных исследованиях и инженерном проектировании часто приходится решать уравнения вида
Задачи этого типа могут возникать сами по себе или же составлять часть более сложных исследований.
Пример. Сила тока в цепи изменяется по закону
Определить точки смены знака тока. Задача сводится к решению уравнения
Возможности аналитического решения уравнений являются достаточно ограниченными. Поэтому для нахождения корней уравнений привлекаются методы приближенных (численных) вычислений с заданной степенью точности [1]
1. Численное решение уравнений
Для вычисления корня уравнения существует множество приближенных методов. Все они вычисляют значение корня уравнения с заданной степенью точности
1.1 Метод хорд (пропорциональных частей)
При изложении методов численного решения уравнений будем считать, что нам уже известен отрезок [a,b] , внутри которого существует один и только один корень.
Идея метода хорд состоит в том, что, кривую y=f(x) на достаточно малом участке можно заменить хордой, и в качестве начального приближенного значения корня принять точку пересечения хорды, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) с осью абсцисс. Полученное значение можно снова использовать для дальнейшего уточнения корня по способу хорд, рассматривая тот интервал, в котором лежит истинный корень, т.е. тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Таким образом, получается следующее приближение корня.
Рисунок 1. 0 .1 представляет графическую интерпретацию метода хорд.
Рисунок 1.0.1–Графическая интерпретация метода хорд
Уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)) , имеет вид
. ( 1.0.0)
Прямая, заданная уравнением (1.1), пересекает ось Ox при условии y = 0. Точку пересечения хорды с осью Ox можно вычислить по формуле
откуда
c=a-. ( 1.0)
1.2 Алгоритм метода хорд
Метод хорд реализуется в виде следующего алгоритма:
-
По формуле (1.2) найти точку с.
-
Выбирается отрезок, в котором находится корень: если , то корень лежит на интервале [a,b] если нет, то корень лежит на интервале [c,d]. В первом случае b=c, во втором a=c.
-
Если абсолютное значение f(c) не превышает некоторое достаточно малое число , то найден корень с точностью , иначе возврат к п. 1.
Рисунок 1.2 представляет блок-схему алгоритма метода хорд.
Рисунок 1.2– Блок-схема алгоритма метода хорд
Ниже (таблица 1.1) приведены результаты пошагового вычисления корня уравнения на отрезке методом хорд1.
Таблица 1.1
№ шага |
x |
|
1. |
1,0981 |
0,0422 |
2. |
1,1413 |
0,0179 |
3. |
1,1592 |
0,0073 |
Заключение
Метод хорд удобно применять для грубого нахождения корня уравнения, метод прост и надежен. Этот метод позволяет достаточно быстро (за меньшее количество шагов, чем в методе половинного деления) вычислить значение корня уравнения с заданной точностью.
Список литературы
-
.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука, 1972. 366 с.
-
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCad 12, MatLab 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. 496 с.
1 Вычисления проводились с точностью 0,01