3.7. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Несмотря на элементарность формулы Бернулли, при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой, особенно если требуется не просто вычислить вероятность Pn(m) при конкретных значениях n и m, а решить какую-либо экстремальную задачу. Поэтому широкое значение получили приближенные асимптотические формулы. Функция g(x) называется асимптотическим приближением функции f(x), если .
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, при этом npq » 1, то справедлива приближенная формула
, (3.14)
где ,.
Ввиду важности функции (x), которая называется плотностью стандартного нормального распределения, для нее составлены специальные таблицы. При использовании таблиц следует учитывать, что функция (x) четная, т.е. (–x)=(x).
Доказательство. Одно из доказательств локальной теоремы основано на использовании формулы Стирлинга:
при n. Не даваясь в математические подробности доказательства, изложим основную его суть. Будем считать, что числа m и n–m в формуле Бернулли возрастают до бесконечности вместе с n. Тогда после применения формулы Стирлинга формула Бернулли примет вид
.
Рассмотрим теперь величину
.
Положим . Тогда,n–q=nq–. Логарифмируя теперь А, получим
.
Поскольку при больших n величины и малы, то логарифмы можно разложить в ряд Маклорена по степеням x. Ограничившись двумя первыми членами, получим
.
Следовательно,
.
Наконец, учитывая, что ипри фиксированномx и больших n, получим
.
Принимая во внимание все это, получим утверждение теоремы.
Теперь приведем некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению теоремы Муавра-Лапласа. 1) Если n=1020, то теорема Муавра-Лапласа используется для грубых оценок. 2) Если n=20100, то приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов. 3) Если n=1001000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными асимптотическими формулами. 4) Если n>1000, то даже специальные таблицы рассчитываются с помощью асимптотических формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки).
Здесь следует еще добавить, что локальная формула Муавра-Лапласа верна с точностью до . Это означает, что для применения теоремы Муавра-Лапласа должно выполняться условиеnpq »1 (обычно достаточно npq >10).
Отметим также, что из условий теоремы следует, что если n, то и m. Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно, например, для Pn(0) теорема Муавра-Лапласа дает плохое приближение.
Прежде чем переходить к рассмотрению примеров, скажем несколько слов о погрешностях, возникающих при использовании приближенных формул. Отметим, что полученная формула гарантирует только малую абсолютную погрешность, а относительная погрешность может быть сколь угодно большой; причем относительная погрешность увеличивается с ростом абсолютного значения |x| = .
Пример 3.14. Производится 10 подбрасываний монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно m (m=0,1,...,10) "гербов".
Решение. Вычислим точные значения искомых вероятностей по формуле Бернулли:
.
После этого воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Поскольку иx=(m–5)/1,5811, то
.
Результаты вычислений P10(m) занесем в таблицу.
m |
Точное значение, формула Бернулли |
x |
(x) |
Приближенное значение, формула Муавра-Лапласа |
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность % |
0 |
0,000977 |
–3,1623 |
0,002688 |
0,001700 |
0,000724 |
74,1 |
1 |
0,009766 |
–2,5298 |
0,016262 |
0,010285 |
0,000519 |
5,3 |
2 |
0,043945 |
–1,8974 |
0,065945 |
0,041707 |
0,002238 |
5,1 |
3 |
0,117188 |
–1,2649 |
0,179256 |
0,113372 |
–0,003816 |
3,3 |
4 |
0,205078 |
–0,6325 |
0,326626 |
0,206577 |
0,001498 |
0,7 |
5 |
0,246094 |
0 |
0,398942 |
0,252313 |
0,006220 |
2,5 |
6 |
0,205078 |
0,6325 |
0,326626 |
0,206577 |
0,001498 |
0,7 |
7 |
0,117188 |
1,2649 |
0,179256 |
0,113372 |
–0,003816 |
3,3 |
8 |
0,043945 |
1,8974 |
0,065945 |
0041707 |
0,002238 |
5,1 |
9 |
0,009766 |
2,5298 |
0,016262 |
0,010285 |
0,000519 |
5,3 |
10 |
0,000977 |
3,1623 |
0,00268 |
0,001700 |
0,000724 |
74,1 |
Из таблицы видно, что приемлемые результаты приближенных вычислений находятся в середине таблицы. В целом можно отметить, что применение локальной теоремы в данной задаче не оправдано. Отметим, что сравнение точных и приближенных вычислений связано со сравнением биномиального и нормального распределений (см. темы: «Биномиальное распределение» и «Центральная предельная теорема»)
Пример 3.15. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
Решение. Согласно условию задачи: n=400, m=356, p=0,9, q=0,1. Поскольку n>100 и npq=36>10, то можно применить теорему Муавра-Лапласа. Найдем
.
После этого находим значение функции (–0,6667)=0,31945. В результате, получаем
.
Компьютерные вычисления при помощи формулы Бернулли дает следующий результат
P400(356) = 0,05127.
Видно, что применение в данной задаче локальной теоремы Муавра-Лапласа было практически оправдано.