Для практических целей интересно определить масштаб различий полученных границ «сверху» и «снизу» при заданных входных параметрах. Указанный масштаб опреде-
ляли через отношения |
Ф |
(HT ) имеющего вид: |
|
|
|
|
||||||||||
св |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фсв |
|
(HT ) = |
1 |
|
p 4(HT + h)2 (tanj)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Фсн |
|
3 |
|
|
|
|
D |
2 |
|
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Численное |
значение |
отношения |
Ф |
|
для |
|||||||||||
св |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сн |
|
|
||
(5.56)
входных данных
H |
T |
= 0,3;h = 0,75;D
= 3,0;j =
79,92 |
0 |
|
:
Фсв Фсн
(
0,3
)
=1 p
3 
12
4
(
0,3+
0,75 |
) |
2 |
( |
tan 79,92 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
3,0 |
2 |
|
||||
|
|
|
||||
)
2
= 4,7
(5.57)
Разработанный подход является эффективным инструментом для решения задачи оптимизации режима облучения. Полученные границы позволяют точнее определять флюенс облучения в зависимости от предполагаемых характеристик наночастиц. Это повысит эффективность использования материальных средств для достижения результатов
визучении дисперсного состава промышленных альфа-излучающих наночастиц.
5.4.Идентификация наночастиц 239Pu, расположенных в толстом слое тканевых срезов
5.4.1.Разработка количественного критерия для отнесения группы треков к звезде
Звезда имеет две интересующие характеристики: координата центра звезды и ко-
личество визуализированных треков деления, приписанных данной звезде. Координата центра звезды совпадает с проекцией точки вылета осколков деления на плоскость мишени, тем самым, определяется проекция место депонирования радиоактивного элемента в препарате тканевых срезов (далее – толстом слое) на плоскость мишени. По количеству визуализированных треков деления определяется активность наночастицы, депонированной в найденном месте препарата.
Разработаны два алгоритма, позволяющие в группе визуализированных треков деления находить центры звезд и приписывать найденным центрам визуализированные треки.
Допустим, осколок деления вылетел из точки N и осколок летит не по нормали к плоскости мишени. Полет осколка по нормали к плоскости мишени является тривиальным случаем в рамках решаемой проблемы. Проецируем визуализированный трек деления и
260
предполагаемую точку вылета осколка деления на плоскость мишени (рис. 5.24). N’ – проекция предполагаемой точки вылета N на плоскость мишени. Известно, что осколок деления в процессе движения имеет практически прямолинейную траекторию движения. Ло-
гично предположить, что:
N 'Î[B,C)
(5.58)
где
A, B |
– вершины визуализированного трека. Для определенности, вершина, ближняя |
к точке входа трека в мишень, всегда будет указываться второй;
éB,C ë
)
– луч, с началом в точке В, параллельный отрезку
[
A,
B
]
.
Рисунок 5.24 – вид сверху проекции визуализированного трека деления (схематично) на плоскость мишени: а) осколок вошел вертикально; б) осколок вошел под углом.
В – вершина визуализированного трека деления, ближняя к точке P предполагаемого входа осколка деления в мишень. N’ – проекция точки N вылета осколка деления на плоскость мишени
Удаление точки N’ от точки В зависит от высоты точки вылета осколка деления над мишенью и от угла входа в мишень, но заведомо не превышает величину Lmax (рис. 5.25):
L |
= |
max |
|
2
(
H |
Tmax |
|
+ h |
) |
1- |
sin j |
2 |
|
|
|||
2sin j |
|
|
||
(5.59)
где
Lmax |
– максимальное удаление точки N’ от точки В ; |
HTmax – максимальное расстояние между мишенями;
h |
– толщина стравливаемого слоя; |
|
|
j |
– критический угол входа трека. |
|
Вершины визуализированного трека деления точки A, B определяются визуально. |
Невозможно абсолютно точно определить вершины визуализированного трека деления точки A, B из-за дискретности изображения, конечной точности позиционирования, раз-
мытости границ и тому подобное (рис. 5.27). Поэтому вводим величину τ > 0 – это максимальная ошибка определения проекции точки вылета осколка деления.
261
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
Рисунок 5.25 – Вид сбоку двух мишеней (схематично). P – точка входа осколка деления в мишень. N’ – проекция точки N вылета осколка деления на плоскость мишени.
Рисунок 5.26 – Визуализированный трек деления (вид сверху). A – вершина визуализированного трека деления. В – вершина визуализированного трека деления, ближняя к предполагаемой точке P входа осколка деления в мишень
Оценим сверху величину τ. Предположим, что существуют «истинные»
A , B |
|
t |
t |
вер-
шины визуализированного трека, определенные абсолютно точно, и существует «истинная» N’t – проекция точки N вылета осколка деления на плоскость мишени. В этом случае N’ имеет смысл оцененной проекции точки N вылета осколка деления на плоскость мишени (рис. 5.27):
N ' |
Î B ,C |
(5.60) |
|
t |
[ t |
t ) |
|
Точки Lt, L определяются следующим образом:
|
|
Lt Î[Bt ,Ct ), Bt , Lt = Lmax |
|
(5.61) |
||||
|
|
LÎ |
[ |
B,C |
) |
, B, L = L |
|
(5.62) |
|
|
|
|
max |
|
|||
где At , Bt |
– «истинные» вершины визуализированного трека; |
|
|
|||||
ë t |
t ) |
|
|
t |
|
|
[ t t ] |
|
éB ,C |
|
– луч, с началом в точке В , |
параллельный отрезку |
A , B |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
262 |
|
|
Lmax |
– максимальное удаление проекции точки вылета осколка деления на плоскость |
|
мишени от вершины, визуализированного трека деления, ближней к точке |
|
предполагаемого входа осколка деления в мишень (формула 5.59). |
Рисунок 5.27 – Визуализированный трек деления (вид сверху). At , Bt – «истинные» вершины визуализированного трека; A, B – визуально определенные вершины визуализированного трека деления; «истинная» N’t – проекция точки N вылета осколка деления на плоскость мишени; N’ – оцененная проекции точки N; Lt, L – максимально возможное удаление точек N’t, N’ от точек Вt, В соответственно
Величина α есть функция, зависящая от дискретности изображения, конечной точности позиционирования, размытости границ и тому подобное. Величину α оценить сложно из-за слишком большого числа параметров с большой вариабельностью, но грубую оценку можно получить из того соотношения, что среднестатистический визуализированный трек деления имеет разрешение на фотографии 21х9 пикселей. Так как пиксель имеет равную линейную длину по горизонтали и вертикали, получаем:
sin a » |
1 |
(5.63) |
|
242
Из построения очевидно, что максимум τ принимает в момент, когда N’ совпадает Lt, и N’ – с L, принимая во внимание что |gh, g| j fklm и (5.63) получаем оценкуt сверху величины τ:
t = L |
, L = 2L |
sin a » |
1 |
|
L |
(5.64) |
|
||||||
t |
max |
2 21 |
max |
|
||
Входными данными для алгоритма являются:
Lmax – максимальное удаление проекции точки вылета осколка деления на плоскость мишени от вершины, визуализированного трека деления, ближней к точке предполагаемого входа осколка деления в мишень (5.59);
263
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
где
A(
K
τ – максимальная ошибка определения проекции точки вылета осколка деления
(5.64);
множество пар вершин визуализированных треков. Для определенности, вершина ближняя к точке входа трека в мишень, всегда будет указываться второй:
|
|
(A(x |
, y ),B(x |
, y |
2 |
)) |
, k Î K , count(K) > 1 |
(5.65) |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, y) |
– (x, y) |
есть декартовы координаты точки А; |
|
||||||
– множество визуализированных треков, количество треков > 1 Выходными данными для алгоритма являются:
множество координат центров звезд; множество визуализированных треков деления, приписанных каждой звезде.
5.4.2. Первый алгоритм
1. Построение равномерной плоской пространственной сетки.
Определим границы сетки, так, чтобы все потенциальные центры звезд попали во внутреннюю область пространственной сетки:
X |
max |
= max(x |
|
) |
k |
+ L |
(5.66) |
||
|
kÎK |
2 |
|
|
max |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
min |
= min(x |
|
) |
k |
- L |
(5.67) |
||
|
kÎK |
2 |
|
|
max |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
= max( y |
2 |
|
) |
k |
+ L |
(5.68) |
|
max |
kÎK |
|
|
max |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
= min( y |
2 |
) |
k |
- L |
(5.69) |
||
min |
kÎK |
|
|
max |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (x2 , y2 ) – декартовы координаты вершины визуализированного трека ближней к точке входа трека в мишень (точка В, рисунок 5.25);
Lmax – максимальное удаление проекции точки вылета осколка деления на плоскость мишени от вершины визуализированного трека деления, ближней к точке предполагаемого входа осколка деления в мишень (формула 5.59).
Шаг d по пространству сетки может быть весьма произвольным, так как представленный алгоритм вычислительно устойчивый. Точность полученного результата зависит от d. Но несоразмерно мелкий шаг сетки существенно замедляет процесс вычисления. Слишком большой шаг может сместить искомые центры звезд. Определим шаг сетки через величину максимальной ошибки определения проекции точки вылета осколка деления τ. Предположим, что «истинная» ошибка конкретной реализации распределена равномерно на отрезке [0,τ]. Тогда e определим через математическое ожидание ошибки определения проекции точки вылета осколка деления:
264
d = |
t |
(5.70) |
|
|
2 |
Символом ωd обозначим множество узлов (i,j) равномерной пространственной
сетки.
2. Введем расстояние для ωd до визуализированных треков. Определим расстояние ri, j,k от точки Wi, j Î wd до трека k Î K :
1) если трек образовался при входе осколка деления по нормали к поверхности детектора. Тогда (рис. 5.28):
|
|
(A(x1, y1 ) º B(x2 , y2 )) |
k |
(5.71) |
||
|
|
r |
= W |
, B |
|
(5.72) |
|
|
i, j,k |
i, j |
k |
|
|
2) если трек образовался при входе осколка деления не по нормали к поверхности |
||||||
детектора, и если возможно, опустив перпендикуляр из точки Wi, j к отрезку [B, L] |
, полу- |
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
чим точку |
Ek |
. Тогда (рис. 5.28): |
|
|
|
|
для
k Î K
r |
= W |
, E |
i, j,k |
i, j |
k |
, не определенных в 1) и 2) примем:
r |
= ¥ |
i, j,k |
|
(5.73)
(5.74)
Рисунок 5.28 – Определение расстояния для ωd до визуализированных треков:
а) расстояние от точки Wi, j до трека, если трек образовался при входе осколка деления по нормали к поверхности детектора; б) расстояние от точки Wi, j до трека, если трек образовался при входе осколка деления не по нормали к поверхности детектора.
A, B – визуально определенные вершины визуализированного трека деления. 
B, L
= Lmax .
E – точка пересечения перпендикуляра, проведенного из Wi, j до отрезка [B, L]
3. Построим функцию Fi, j (x) для всех Wi, j Î wd и x ³ 0 такую, что:
265
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
F |
(x) = |
count(N) |
, r |
< x, n |
N |
N |
K |
(5.75) |
|
count(K) |
|||||||||
i, j |
|
i, j,n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислим координату центра звезды WI ,J |
такую, что максимизировать функ- |
||||
цию Fi, j : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max F |
(x £ t) |
|
(5.76) |
|
|
|
|
w |
i, j |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
5. |
Определим множество визуализированных треков деления |
N , удовлетворяю- |
||||
щих условию приписываются данной звезде |
WI ,J , найденной в п.4. |
|
|||||
|
|
r |
£ t, nÎ N, N Í K |
(5.77) |
|||
|
|
I ,J ,n |
|
|
|
|
|
|
6. |
Удалим из K все визуализированные треки |
N , найденные в п.5 (формула 5.77) |
||||
и если |
K |
не пусто перейдем к п.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K = K - N |
|
(5.78) |
||
|
7. |
Алгоритм закончил свою работу. |
|
|
|
|
|
Пример результата работы программы приведен на рисунке 5.30 для исходных данных на рисунке 5.29.
В результате работы представленного алгоритма получили все звезды и у каждой звезды две характеристики: координата центра звезды и количество визуализированных треков деления, приписанных данной звезде. Координата центра звезды определяет место депонирования радиоактивного элемента в препарате. Количество визуализированных треков деления, приписанных звезде, определяет активность радиоактивного элемента. Звезды могут накладываться друг на друга (рис. 5.29). Естественным ограничением на количество визуализированных треков является различимость визуализированных треков для оператора, производящего оцифровку изображения.
Рисунок 5.29 – Пример нескольких пересекающихся звезд
266
Рисунок 5.30 – Незаполненные кружочки – визуально определенные вершины визуализированного трека деления. Заполненные – точки пересечения проекций на плоскость мишени движения осколков деления. Треугольники – результат работы представленного алгоритма. Крайний левый треугольник имеет всего один визуализированный трек, от осколка деления, вошедшего в мишень по нормали к плоскости мишени. По осям декартовы координаты (мкм)
5.4.3. Второй алгоритм
Пусть плоская пространственная сетка состоит из узлов точек пересечений проекций на плоскость мишени движения осколков деления. Пространственная сетка перестает быть равномерной. При таком построении плоской пространственной сетки не все визуализированные треки могут быть обработаны. Не будут обработаны визуализированные треки, проекции которых на плоскость мишени движения осколков деления не имеет пересечений с другими проекциями, и, соответственно, не будут занесены в пространственную сетку. Для этих визуализированных треков невозможно определить центр звезды. Но можно сказать, что у этой неопределенной звезды только один визуализированный трек,
и определена область, где может находиться центр данной звезды: отрезок
[
B,
L
]
(рисунок
5.30). Такие визуализированные треки необходимо обрабатывать отдельно. Также необходимо обрабатывать отдельно визуализированные треки, у которых осколок деления входил в мишень по нормали к плоскости мишени. Каждый такой визуализированный трек приписывается одной звезде и центр звезды совпадает с центром трека.
1. Строим пространственную сетку.
K
– множество визуализированных треков,
пересечения которых попали в пространственную сетку. Пересечения пространственной сетки являются потенциальными центрами звезд.
267
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
2. Выбираем любой визуализированный трек (например, k Î K ) и анализируем все
существующие пересечения его отрезка [B, L] |
со всеми |
[B, L] |
,N Ì K |
(рис. 5.30). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
N |
|
Из всех пересечений ON выбираем точку |
On ,nÎ N |
таким образом, чтобы выполня- |
||||||||||||
лось соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BkOn |
|
- |
|
BnOn |
|
, N Í |
( |
K - |
{ }) |
|
|
(5.79) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
min |
|
|
|
|
k |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
nÎN |
A B |
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k – зафиксировано в п.2.
3.
O
n
является центром звезды, а {k}+{n} – есть подмножество визуализирован-
ных треков, приписанных данной звезде.
Рисунок 5.31 – Визуализированные треки деления (вид сверху). A, B – визуально определенные вершины визуализированного трека деления; L – максимально возможное удаление проекции точки вылета осколка деления на плоскость мишени от точки В.
ON ={O1 ,…, Om} –пересечения отрезков [B, L] |
,N Ì K |
с |
|
N |
|
4. Удалим из K |
визуализированные треки {k} |
и, если K не пусто, перейдем к п.1.
K = K - ({k}+{n})
+
{
n}
, найденные в п.3 (формула 23)
(5.80)
5. Большая часть полученных центров звезд расположена группами (рис. 5.30).
Опишем окружность с центром Oui и радиусом τ (формула 5.64) вокруг близлежащих центров звезд ONi , решая минимаксную задачу алгоритмом перебора таким образом, чтобы:
count U |
® min |
(5.81) |
( ) |
|
268
ui ÎU, count (Ni ) ® max
O O |
£ t, u ÎU, n |
Î N |
i |
||
u |
n |
i |
ij |
|
|
i |
ij |
|
|
|
|
(5.82)
(5.83)
Каждой звезде с центром |
Ou ,ui ÎU |
припишем визуализированные треки, припи- |
||
|
|
i |
|
|
санные звездам ON |
. |
|
|
|
|
i |
|
|
|
6. Алгоритм закончил свою работу. Множество OU |
и есть искомые центры звезд с |
|||
приписанными визуализированными треками (рис. 5.32). |
|
|||
Рисунок 5.32 – Найденные центры звезд (схематично). Множества ON |
– центры звезд, |
|
|
|
i |
найденные до пункта 5 второго алгоритма. Множество OU |
найдено в 5 пункте алгоритма |
|
Рисунок 5.33 – Незаполненные кружочки – визуально определенные вершины визуализированного трека деления. Заполненные – точки пересечения проекций на плоскость мишени движения осколков деления. Четырехугольники – результат работы представленного алгоритма (результаты, близкие до совпадения изображений, не представлены). Крайний левый четырехугольник имеет всего один визуализированный трек, от осколка деления, вошедшего в мишень по нормали к плоскости мишени. По осям декартовы координаты (мкм)
269
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/