int-neop
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
¾ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿ Факультет математики, механики и компьютерных наук Кафедра теории функций и функционального анализа
В.Е.КОВАЛЬЧУК, П.А.ЧАЛОВ
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
Ростов-на-Дону
Оглавление
1 |
Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
|
|
1.1 |
Первообразная функция . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
1.2Неопределенный интеграл и его основные свойства . 5
1.3Таблица основных неопределенных интегралов . . . 8
1.4Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . 10
1.5Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . 15
1.6Рациональные функции двух переменных . . . . . . 25
1.7Интегрирование в элементарных функциях некоторых тригонометрических выражений . . . . . . . . . 26
1.8Интегрирование дробно-линейных иррационально-
ñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9Интегрирование биномиальных дифференциалов . . 31
1.10Интегрирование квадратичных иррациональностей
посредством подстановок Эйлера . . . . . . . . . . . |
33 |
1.11 Контрольные вопросы, задачи, упражнения . . . . . |
35 |
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
1
2 |
Оглавление |
1Неопределенный интеграл
Âкурсе дифференциального исчисления были введены фундаментальные понятия математического анализа производная и дифференциал; были установлены основные правила дифференцирования (нахождения производных) всех элементарных функций.
Âэтом разделе будем решать задачу, "обратную"по отношению к операции дифференцирования, а именно, по известной производной отыскивать саму функцию. Это одна из задач, к которой сводятся многие задачи математики, механики, физики и т.д.
Предположим, например, что в каждый момент времени x нам известна мгновенная скорость f(x) движения материальной точки вдоль
оси Oy. Требуется найти закон движения этой точки.
Мы знаем, что мгновенная скорость f является производной функ-
öèè F , задающей закон движения точки. Таким образом, отвлекаясь от
механического смысла задачи, мы приходим к понятию первообразной функции, а затем и неопределенного интеграла.
Истоки интегрального исчисления уводят нас в античный период и связаны с методом исчерпывания Евдокса и Архимеда. Дальнейшее развитие интегральное исчисление получило в работах И.Ньютона и Г.Лейбница. Именно они установили связь между дифференцированием и интегрированием.
С помощью интегрального исчисления удалось решить многие зада- чи теоретического и прикладного характера, стоявшие перед наукой того времени. Однако задача интегрирования оказалась труднее задачи дифференцирования. Операция дифференцирования, как известно, не выводит из класса элементарных функций, а операция интегрирования элементарной функции не всегда приводит к элементарной функции. На-
1. Неопределенный интеграл |
|
|
dx, Z cos |
|
3 |
||
пример, интегралы Z |
xn dx, Z |
sin |
|
|
dx, n 2 N, не выража- |
||
|
ex |
|
x |
|
|
x |
|
ются через элементарные функции. Поэтому чрезвычайно важно уметь выполнять интегрирование там, где оно возможно в ¾конечном виде¿, то есть не выводит из класса элементарных функций, и приобрести известные технические навыки в интегрировании заданных функций.
1.1 Первообразная функция
Понятие первообразной (или примитивной) функции является одним из важнейших в математическом анализе.
Определение 1.1 Пусть f : (a; b) ¡! R. Функция F называется пер-
вообразной функцией (или просто первообразной) для функции f íà èí-
тервале (a; b), если в любой точке этого интервала функция F диффе-
ренцируема и имеет производную F 0, равную f.
Аналогично определяется первообразная для функции f на полупря-
мой или на всей вещественной прямой. При определении первообразной на сегменте используют понятия односторонних производных.
Замечание 1.1 Очевидно, что любая первообразная F для функции f
на интервале (a; b) непрерывна на этом интервале.
Пример 1.1 Функция F (x) = p1 ¡ x2 является первообразной для
функции f(x) = ¡ x (¡1; 1), поскольку функция F 1 ¡ x2 на интервале
дифференцируема в интервале (¡1; 1) è F 0(x) = f(x) в каждой точке
x 2 (¡1; 1).
Пример 1.2 Функция F (x) = ln x является первообразной для функции f(x) = x1 на полупрямой (0; +1), так как на этой полупрямой функция F дифференцируема и выполняется равенство F 0(x) = f(x).
4 Оглавление
Пример 1.3 Функция F (x) = arctg x1 является первообразной для функции f(x) = ¡1 +1 x2 на каждой полупрямой (0; +1) è (¡1; 0), посколь-
ку функция F дифференцируема на полупрямой (0; +1) и на полупрямой (¡1; 0) è F 0(x) = f(x) в каждой точке x 2 (0; +1) x 2 (¡1; 0).
Íî F не является первообразной для функции f на всей вещественной прямой, так как F разрывна в точке x = 0.
Пусть F первообразная для функции f на интервале (a; b). Нетрудно видеть, что функция Φ, заданная равенством Φ(x) = F (x)+C, ãäå C
любая постоянная, является первообразная для функции f на интервале
(a; b). Поэтому всякая функция, имеющая первообразную на интервале
(a; b), имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных.
Связь между первообразными для одной и той же функции установлена в следующем утверждении.
Теорема 1.1 Åñëè F è Φ любые первообразные для функции f на интервале (a; b), то существует константа C такая, что всюду на интервале (a; b) справедливо равенство Φ(x) ¡ F (x) = C.
Другими словами, две первообразные для одной и той же функции могут отличаться лишь на постоянную.
Доказательство. Определим функцию G íà (a; b) по правилу: G(x) =
Φ(x) ¡ F (x). Функция G дифференцируема на интервале (a; b) êàê ñóì-
ма двух дифференцируемых функций, причем всюду на этом интервале
G0(x) = Φ0(x) ¡ F 0(x) = f(x) ¡ f(x) = 0.
По теореме о постоянстве функции, имеющей на интервале равную нулю производную (следствие из теоремы Лагранжа), функция G ÿâëÿ-
ется постоянной на интервале (a; b). Следовательно, G(x) = Φ(x)¡F (x) =
C.
Следствие 1.1 Åñëè F одна из первообразных функций для функции
f на интервале (a; b), то любая первообразная Φ для функции f íà èí-
1. Неопределенный интеграл |
5 |
тервале (a; b) задается равенством Φ(x) = F (x)+C, ãäå C некоторая постоянная.
1.2Неопределенный интеграл и его основные свойства
Определение 1.2 Совокупность всех первообразных функций для данной функции f на интервале (a; b) называется неопределенным инте-
гралом от функции f (на этом интервале) и обозначается символом
Z
f(x) dx.
ZZ
В обозначении f(x) dx çíàê называется знаком неопределенного интеграла, выражение f(x) dx подынтегральным выражением, а сама
функция f подынтегральной функцией. |
|
Çíàê Z |
называется знаком неопределенного интеграла потому, что |
действие обратное дифференцированию многозначно, то есть сопровождается неопределенностью.
Пусть F одна из первообразных функций для данной функции f íà
интервале (a; b). Тогда, в силу следствия 1.1, справедлива формула
Z
f(x) dx = F (x) + C; (1.1)
ãäå C любая константа.
Теперь рассмотрим свойства неопределенного интеграла, сразу следующие из определения 1.2.
Свойство 1 Если функция f имеет первообразную на интервале (a; b),
то на этом интервале производная неопределенного интеграла от функции f равна подынтегральной функции, то есть
µZ |
¶0 |
(1.2) |
f(x) dx |
= f(x): |
Справедливость этого утверждения следует из определений первообразной и неопределенного интеграла (определения 1.1 и 1.2).
6 |
Оглавление |
Свойство 2 Если функция f имеет первообразную на интервале (a; b),
то дифференциал неопределенного интеграла от функции f равен подын-
тегральному выражению, то есть |
|
d Z f(x) dx = f(x) dx: |
(1.3) |
Это свойство следует из свойства 1.
Z |
Равенство (1.3) показывает, что знаки дифференциала d и интеграла |
взаимно сокращаются, если знак дифференциала стоит перед знаком |
интеграла.
Свойство 3 Если функция F : (a; b) ¡! R дифференцируема на ин-
тервале (a; b), то справедлива формула
Z
dF (x) = F (x) + C: (1.4)
Чтобы установить это свойство достаточно в левой части формулы
(1.1) воспользоваться равенством dF (x) = f(x) dx. |
Z |
|
Из формулы (1.4) следует, что знаки интеграла |
и дифференциала |
d взаимно сокращаются и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но при этом к функции F добавляется произ-
вольная постоянная C.
Следующие три свойства являются простейшими правилами интегрирования. Первые два из них обычно называют линейными свойствами интеграла.
Свойство 4 Если функции f è g имеют первообразные на интервале
(a; b), то и функция f + g имеет первообразную на этом интервале и
справедливо равенство |
(f(x) + g(x)) dx = Z |
f(x) dx + Z |
|
Z (f + g) (x) dx := Z |
g(x) dx: (1.5) |
Свойство 5 Если функции f имеет первообразную на интервале (a; b), то и функция kf, ãäå k любая константа, имеет первообразную на
этом интервале и справедливо равенство |
|
Z kf(x) dx := k Z f(x) dx: |
(1.6) |
1. Неопределенный интеграл |
7 |
Каждое из равенств (1.5) и (1.6) следует понимать как равенство правой и левой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Доказательство свойств 4 и 5. Пусть F è G первообразные на ин-
тервале (a; b) для функций f è g соответственно, и C произвольная
постоянная. По теореме об арифметических операциях над дифференцируемыми функциями функции F + G è C F являются первообразными
соответственно для функций f + g è C f на интервале (a; b).
А следующее свойство часто бывает полезным при нахождении неопределенных интегралов.
Свойство 6 Пусть функция F одна из первообразных для функции f на интервале (c; d), òî åñòü
Z
f(t) dt = F (t) + C:
И пусть a è b произвольные постоянные, причем a =6 0. Тогда
Z |
1 |
(1.7) |
f(ax + b) dx = aF (ax + b) + C: |
Доказательство. Из условия следует, что на интервале (c; d) функция F дифференцируема и справедливо равенство F 0(x) = f(x). Учитывая это и применяя теорему о производной сложной функции, находим
µa1F (ax + b)¶0 = a1 ¢ F 0(ax + b) ¢ a = f(ax + b):
Следовательно функция a1F (ax + b) является первообразной для функции f(ax + b) на интервале (c; d).
8 Оглавление
1.3 Таблица основных неопределенных интегралов
Используя таблицу производных простейших элементарных функций, составим таблицу основных неопределенных интегралов.
Z
1)0 dx = C;
Z
2)1 dx = x + C;
3) Z |
x® dx = |
x®+1 |
® + 1 + C (® 6= ¡1); |
4) Z |
|
dx |
= ln jxxj + C (x 6= 0); |
|
|||
|
|
|
|||||
|
x |
|
|||||
5) Z |
ax dx = |
a |
+ C (0 < a 6= 1); |
Z ex dx = ex + C; |
|||
|
|
||||||
ln a |
|||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
6)sin x dx = ¡ cos x + C;
Z
7)cos x dx = sin x + C;
8) Z |
cos2 x |
= tg x + C |
³x 6= 2 |
+ ¼k; k 2 Z´; |
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
||
9) Z |
dx |
= ¡ ctg x + C (x 6= ¼k; |
k 2 Z) ; |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
sin2 x |
||||||||||||
10) |
|
dx |
|
|
= 8 arcsin x + C; |
|
( 1 < x < 1); |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
Z |
p1 ¡ x |
|
: |
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|||
|
< |
|
arccos x + C; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Zdx < arctg x + C;
11)1 + x2 = : ¡ arcctg x + C;
12) Z |
px2 |
+ 1 = ln ³x + px2 + 1´ + C; |
||||||||||||||||||
13) Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
px2 |
¡ 1 = ln ¯x + px2 ¡ 1¯ + C (jxj > 1); |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
1 + x |
|
|
|
||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
j j 6 |
|||
1 |
¡ |
x2 2 |
|
1 |
¡ |
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|||||
14) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
+ C |
( x = 1) : |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
1. Неопределенный интеграл |
9 |
К этим формулам присоединим несколько формул для гиперболических
функций:
Z
15)sh x dx = ch x + C;
Z
16)ch x dx = sh x + C;
|
|
17) Z |
dx |
= th x + C; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ch2 x |
|
|
|
|||||||
|
|
18) Z |
dx |
= ¡ cth +C |
(x 6= 0): |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sh2 x |
|
|||||||||
Пример 1.4 Вычислить интеграл Z |
(5x ¡ 13)75 dx. |
|
||||||||||
Решение. Применяя свойство 6 и формулу 3), получаем |
|
|||||||||||
(5x |
¡ |
13)75 dx = |
1 |
|
(5x ¡ 13)76 |
+ C = |
(5x ¡ 13)76 |
+ C: |
||||
|
|
|
||||||||||
Z |
|
5 |
|
|
76 |
|
|
380 |
|
Изучая дифференциальное исчисление, мы установили, что производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе. Известно, что интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов служат
1±: Z |
|
dx |
2±: Z |
cos |
¡x |
¢ |
3±: Z |
|
sin |
¡x |
¢ |
||||
e¡x2 dx; |
cos |
x2 |
dx; |
sin |
x2 |
dx; |
|||||||||
4±: Z |
|
|
(0 < x 6= 1); 5±: Z |
|
|
|
|
(x 6= 0); 6±: Z |
|
|
|
|
(x 6= 0): |
||
|
ln x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
Первый из этих интегралов называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок (широко используется в статистической физике, в теории теплопроводности); второй и третий интегралы называются интегралами Френеля (применяются в оптике); четвертый, пятый и шестой носит названия, соответственно, интегральный логарифм, интегральный косинус и интегральный синус. Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции. Для них составлены таблицы и построены их графики.