int-neop

Очевидно, что функция Φ(x) = P (x) ¡ (Mx + N)'(x) является мно-

гочленом с вещественными коэффициентами. Таким образом, получили представление

Нетрудно проверить, что Φ(a) = 0. Поэтому число a является корнем

многочлена Φ некоторой кратности k, а по предложению 1.1 и число a

также является корнем этого многочлена кратности k. Следовательно,

многочлен Φ разлагается в произведение

Φ(x) = (x2 + px + q)kÃ(x);

ãäå Ã некоторый многочлен с вещественными коэффициентами, не

обращающийся в нуль при x = a è x = a. Вставляя это представление в формулу (1.35), получим представление (1.34). И поскольку разность

двух правильных дробей, в свою очередь, является правильной дробью,

Ã(x)

дробь (x2 + px + q)®¡k'(x) правильная.

Последовательное применение лемм 1.1 и 1.2 к правильной дроби (1.27) приводит к следующему утверждению.

Теорема 1.4 Пусть Q(x) правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид

Q(x) =(x ¡ a1)®1 (x ¡ a2)®2 : : : (x ¡ ar)®r £

£(x2 + p1x + q1)¯1 (x2 + p2x + q2)¯2 : : : (xs + psx + qs)¯s :

Сравнивая в числителях коэффициенты при x4, x3, x2, x1 è x0, приходим к системе уравнений

Интегрирование простейших рациональных дробей

Поскольку всякая неправильная рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, а интегрирование многочлена не составляет труда, нужно научиться интегрировать лишь правильные рациональные дроби. Но ввиду теоремы 1.4 для этого достаточно уметь интегрировать простейшие рациональные дроби. Согласно определения, простейшие рациональные дроби бывают следующих четырех типов:

Докажем, что каждая из четырех указанных дробей интегрируема в элементарных функциях. Действительно, применяя свойство 6 и формулы 4 и 3, сразу находим интегралы от дробей первого и второго типов:

Для вычисления2 интеграла от дроби третьего и четвертого типов, учитывая, что q ¡ p4 > 0, преобразуем квадратный трехчлен x2 + px + q:

Теперь, делая в интегралеZ

Mx + N

(x2 + px + q)¯ dx;

Осталось вычислить интеграл от дроби четвертого типа, который мы преобразовали в интеграл вида (1.38).

Представим этот интеграл в виде линейной комбинации двух инте-

Для вычисления этого интеграла выведем рекуррентную формулу, сводящую вычисление интеграла K¯ к вычислению интеграла K¯¡1, è òåì

самым, к вычислению интеграла K1. Действительно,

24 Оглавление

Для завершения доказательства нужно возвратиться к переменной x.

Предоставляем читателям проделать это самостоятельно.

Таким образом, доказана следующая теорема об интегрировании рациональной дроби.

Теорема 1.5 Всякая рациональная дробь интегрируема в элементар-

Решение. Пользуясь результатом примера 1.13 и применяя изложенную

Пример 1.15 Вычислить интеграл

Z 3x4 + 7x3 + x2 ¡ x ¡ 2 dx : x4 ¡ 1

Решение. Поскольку подынтегральная рациональная дробь неправильная, сначала выделим ее целую часть и получим

26 Оглавление

Определение 1.6 Многочленом n-степени от двух переменных x è y называется выражение вида

Pn(x; y) = a0;0 + a1;0x + a0;1y + a2;0x2 + a1;1xy + a0;2y2 + : : : + a0;nyn;

ãäå a0;0,a1;0,a0;1,: : :,a0;n некоторые вещественные числа.

Определение 1.7 Рациональной функцией двух переменных называет-

Pn(x; y)

ся отношение вида Qm(x; y), ãäå Pn(x; y) è Qm(x; y) произвольные многочлены от двух переменных x è y степени n è m соответственно.

Рациональную функцию двух переменных x è y будем обозначать символом R(x; y).

Очевидно, что если R(x; y) рациональная функция двух переменных x è y, à R1(t), R2(t) è R3(t) рациональные функции одной переменной t, то выражение R (R1(t); R2(t)) R3(t) представляет собой рациональную функцию одной переменной t.

Отметим два элементарных свойства рациональной функции двух переменных:

(I) Если рациональная функция R(u; v) не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например, u, òî åñòü, åñëè

R(¡u; v) = R(u; v), то эта рациональная функция может быть приведена к виду R(u; v) = R1(u2; v), ãäå R1 некоторая рациональная функ- ция своих двух аргументов. Это означает, что функция R(u; v) содержит лишь четные степени переменной u.

(II) Если же при изменении знака одного из аргументов, например, u, рациональная функция R(u; v) также меняет знак, то есть R(¡u; v) =

¡R(u; v), то она приводится к виду R(u; v) = R2(u2; v)u.

1.7Интегрирование в элементарных функциях некоторых тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл Z

Поэтому интеграл (1.41) преобразуется в интеграл

Z

R (R1(t); R2(t)) R3(t)(t) dt;

то есть в интеграл от рациональной функции одной переменной t.

Посколу подстановка t = tg x

2 является универсальной, она часто приводит к громоздким выкладкам. Поэтому целесообразно рассмотреть

несколько частных случаев, в которых интеграл (1.41) рационализируется с помощью других подстановок, приводящих к более простым выкладкам.

Рассмотрим следующие три случая.

1) Подынтегральная функция в интеграле (1.41) при замене cos x íà

¡ cos x меняет знак на противоположный. Тогда, согласно свойства (II), эта функция представима в виде

e ¡ ¢

R (sin x; cos x) = R sin x; cos2 x cos x:

Теперь легко заметить, что подстановка t = sin x приводит к интегралу от рациональной функции одной переменной t. Действительно, при этой замене подынтегральное выражение преобразуется следующим образом

2) Подынтегральная функция в интеграле (1.41) при замене sin x íà

¡ sin x меняет знак на противоположный. В этом случае подстановка

t = cos x рационализирует рассматриваемый интеграле (1.41). Доказательство аналогично доказательству приведенному в случае 1).