int-neop

1.9 Интегрирование биномиальных дифференциалов

Биномиальным дифференциалом называют выражение вида

xm(a + bxn)p dx;

ãäå a è b любые постоянные, а m; n; p некоторые рациональные

числа.

Вопрос о рационализации интегралов от биномиальных дифференциалов был полностью решен в середине 19-го века Пафнутием Львовичем Чебыш¼вым. Мы приведем здесь доказательство достаточности его теоремы.

Теорема 1.6 (П.Л.Чебыш¼в) Биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях тогда и только тогда, когда для чисел m, n è p выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Доказательство достаточности. В случае 1± биномиальный диффе-

ренциаë представляет собой дробно-линейную иррациональность вида

p

R (x; r x) dx, ãäå r наименьшее общее кратное знаменателей рацио-

Z

нальных чисел m è n. Поэтому xm(a + bxn)p dx рационализируется по-

p

становкой t = r x.

В случае 2±, делая замену z = xn и вводя обозначение q = mn+1 ¡ 1,

ференциала рационализируется постановкой

p p

t = s a + bz = s a + bxn:

Следовательно и в этом случае исходный интеграл преобразован в инте-

ãäå s знаменатель числа p.

Пример 1.18 Рационализировать интеграл

ем случай 3±. Согласно теории, нужно делать замену (s знаменатель

Подставляя найденные представления для x è dx в исходный интеграл, получаем

34 Оглавление

Теперь разделим обе части полученного равенства на x, как и в предыдущем случае, находим

dx = R10 (t)dt = R3(t)dt:

Следовательно мы снова приходим к равенству (1.50).

3¤. Пусть квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет вещественные корни x1 è x2. По предположению x1 6= x2. Тогда имеем

p

ax2 + bx + c = a(x ¡ x1)(x ¡ x2): (1.51)

Положим p

ax2 + bx + c = t(x ¡ x1):

Как и в предыдущих случаях, возвышая обе части этого равенства в квадрат и учитывая (1.51), находим

dx = R10 (t)dt = R3(t)dt:

И опять получаем равенство (1.50).

Докажем, что интеграл (1.49) всегда рационализируется (следовательно всегда берется в элементарных функциях), по крайней мере, одной из подстановок Эйлера.

Действительно, возможны всего два варианта:

(i). Квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет вещественных корней;

(ii). Квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет вещественные корни.

Хорошо известно, что если квадратный трехчлен ax2 +bx+c не имеет

вещественных корней, то его знак совпадает со знаком a. Но по смыслу

этот квадратный трехчлен положителен (из него извлекается квадратный корень). Поэтому a > 0. Следовательно в случае (i) интеграл (1.49)

рационализируется первой подстановкой Эйлера. А случай (ii) очевиден (работает третья подстановкой Эйлера).

Решение. Квадратный трехчлен x2 + x + 1 вещественных корней не

имеет, но оба и коэффициент при x2, и свободный член положительны.

Поэтому годятся две первых подстановок Эйлера. Применим, например, первую подстановку, точнее положим

p

x2 + x + 1 = t ¡ x:

Согласно изложенной теории, имеем

Тогда получаем

1.11 Контрольные вопросы, задачи, упражнения

1.Существует ли рациональная функция, не интегрируемая в классе рациональных функций?

2.Верно ли, что все рациональные функции интегрируемы в классе рациональных функций?

3.Верно ли, что все рациональные функции интегрируемы в классе элементарных функций?

4.Верно ли, что существуют элементарные функции, не интегрируемые в классе элементарных функций?

5.Верно ли, что всякая элементарная функция интегрируема в классе элементарных функций?

6.Верно ли следующее определение?

Функция F : (a; b) ! R называется первообразной для функции

f : (a; b) ! R на интервале (a; b); åñëè F задана формулой F (x) =

C f(x); ãäå C - произвольная константа.

7.Верно ли следующее определение?

Функция F : (a; b) ! R называется первообразной для функции

f : (a; b) ! R на интервале (a; b); если в любой точке x 2 (a; b) функция F дифференцируема и е¼ производная F 0 непрерывна в

интервале (a; b):

8.Верно ли следующее определение?

Функция F : (a; b) ! R называется первообразной для функции

f : (a; b) ! R на интервале (a; b); если в любой точке x 2 (a; b) функция F дифференцируема и имеет производную F 0(x) равную

f(x):

9.Верно ли следующее определение?

Функция F : (a; b) ! R называется первообразной для функции

f: (a; b) ! R на интервале (a; b); если найд¼тся точка x 2 (a; b) â

которой функция F дифференцируема и имеет производную F 0(x)

равную f(x):

10.Верно ли следующее определение?

Функция F : (a; b) ! R называется первообразной для функции

f : (a; b) ! R на интервале (a; b); если в любой точке x 2 (a; b) функция F дифференцируема и имеет производную F 0(x) равную

f(x) + C; ãäå C 6= 0:

11.Верно ли следующее определение?

Неопределенным интегралом функции f на интервале (a; b) называется множество всех дифференцируемых функций F; для которых справедливо равенство F 0(x) = f(x) + C; для любого x 2 (a; b); ãäå

C - постоянное число, зависящее от F (x):

12.Верно ли следующее определение?

Неопределенным интегралом функции f на интервале (a; b) называется множество всех функций F; дифференцируемых в интервале

(a; b) и имеющих производную F 0(x); равную f(x):

13.Верно ли следующее определение?

Неопределенным интегралом функции f на интервале (a; b) называется всякая функция g(x) = f(x) + C:

14.Верно ли следующее определение?

Неопределенным интегралом функции f на интервале (a; b) называется множество всех функций g(x) = f(x) + C:

15.Верно ли следующее определение?

Неопределенным интегралом функции f на интервале (a; b) íàçû-

вается множество всех непрерывных в интервале (a; b) функций

F (x) = f(x) + C:

a) F (x)? b) F 0(x)? c) F (x)dx? d) d F (x)? e) F (x) + C?

18.Пусть функции F è Φ первообразные функции f на интервале (a; b): Справедливо ли равенство

a) F (x) = Φ(x)? b) F (x) + Φ(x) = C?

19.Пусть функции f è g имеют первообразные F è G на интервале

(a; b): Верно ли, что функция f + g также имеет первообразную на интервале (a; b) è

21.Доказать, что если функция ' имеет рациональную первообразную, а функция Ã рациональную производную, то функция f(x) =

'(x)Ã(x) интегрируема в классе элементарных функций.

22.Доказать, что если функция ' имеет рациональную первообраз-

ную, то функция f(x) = '(x) arcsin x интегрируема в классе элементарных функций.

23.Доказать, что одна из первообразных ч¼тной функции является неч¼тной функцией.

24.Доказать, что любая первообразная неч¼тной функции является

ãäå P è Q многочлены и многочлен Q имеет только действительные корни?