Методичка. Алгебра

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА"

А Л Г Е Б Р А М А Т Р И Ц

САМАРА 2010

5

1. Понятие матрицы. Операции над матрицами 1.1. Теоретические сведения

Терминология и обозначения.

Пусть m; n 2 N. Матрицей размера m £ n называется совокупность mn чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы.

Матрицу обозначают прописными латинскими буквами, при этом саму таблицу заключают в скобки (либо круглые, либо квадратные, либо двойные вертикальные):

Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: aij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке j-м столбце. В этих обозначениях матрица размера m £ n в общем виде может быть записана следующим образом:

Используются обозначения :

A = (aij) – матрица A с элементами aij;

Rm£n – множество всех вещественных матриц размера m £ n.

Матриц размера n £ n называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональ-

ные элементы aij; i 6= j равны нулю.

Обозначение: diag(a11; : : : ; ann):

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называется скалярной.

Скалярная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной. Отметим, что для каждого порядка n существует своя единичная матрица.

Обозначение: E или I.

Матрица O, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица A = (aij) 2 Rn£n называется верхней (правой) тре-

угольной, если aij = 0 при i > j, и нижней (левой) треугольной, если aij = 0

при i < j.

Матрица A = (aij) 2 Rm£n называется верхней (правой) ступенчатой, если она обладает следующими свойствами:

6

1)если i-я строка нулевая, то (i + 1)-я строка также нулевая;

2)если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1)-й строк расположены в

столбцах с номерами ki и ki+1, то ki < ki+1.

Эти свойства означают, что все нулевые строки являются последними и что все элементы, расположенные слева и под первым ненулевым элементом каждой строки, равны нулю.

Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролями строки и столбцы, то получим определение нижней (левой)ступенчатой матрицы.

Ступенчатая матрица, у которой ki = i, называется трапециевидной.

Операции над матрицами. Две матрицы A = (aij) и B = (bij) одинакового размера m £ n называются равными, если

.

Обозначение: A = B.

Суммой матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rm£n называется матрица C = (cij) 2 Rm£n, элементы которой определены равенством:

Обозначение: C = A + B.

Матрица ¡A = (¡aij) 2 Rm£n называется противоположной к матрице

A = (aij) 2 Rm£n.

Свойства операции сложения:

8 A; B; C 2 Rm£n и O 2 Rm£n

1.A + B = B + A;

2.(A + B) + C = A + (B + C);

3.A + O = O + A = A;

4.A + (¡A) = ¡A + A = O.

Разностью матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rm£n называется матрица X = (xij) 2 Rm£n такая, что A = B + X.

Обозначение: X = A ¡ B.

Очевидно, что для 8 A; B 2 Rm£n существует единственная разность A ¡ B, при этом

A ¡ B = A + (¡B) = (aij ¡ bij):

Произведением матрицы A = (aij) 2 Rm£n на число ® 2 R называется матрица C = (cij) 2 Rm£n, элементы которой определены равенством:

7

Обозначение: C = ®A.

Свойства операции умножения матрицы на число:

8 A; B 2 Rm£n и ®; ¯ 2 R

1.(®¯)A = ®(¯A);

2.®(A + B) = ®A + ®B;

3.(® + ¯)A = ®A + ¯A;

4.1 ¢ A = A;

5.¡A = (¡1)A.

Произведением матриц A = (aij) 2 Rm£n и B = (bij) 2 Rn£k называется матрица C = (cij) 2 Rm£k, элементы которой определены равенством:

Обозначение: C = AB.

!Произведение AB определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Свойства операции умножения матриц: 1. (AB)C = A(BC);

2. ®(AB) = (®A)B = A(®B); 8® 2 R;

3. A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC,

выполненные для любых матриц A; B; C, для которых левые части равенств имееют смысл.

Целой положительной степенью Ak (k > 1) квадратной матрицы называется произведение k матриц, каждая из которых равна A.

Нулевой степенью квадратной матрицы A называется единичная матрица E того же порядка, что и A, т. е. A0 = E.

Пусть A = (aij) 2 Rm£n. Матрица AT = (atij) 2 Rn£mназывается транс-

Переход от матрицы A к AT называется транспонированием матрицы A. При транспонировании матрицы A ее строки становятся столбцами AT с теми же номерами, а столбцы – строками.

Свойства операции транспонирования матриц: 1. (A + B)T = AT + BT ;

2. (®A)T = ®AT ; 8® 2 R;

3.(AB)T = BT AT ;

4.(AT )T = A,

выполненные для любых матриц A; B, для которых левые части равенств имееют смысл.

8

Решение. A 2 R2£3; B 2 R3£2 ) произведение AB определено (число

столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B и равно трем) и AB = C 2 R2£2.

По формуле (3) находим

т.е. cij – элементы матрицы C, которые получаются перемножением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.

1.2. Задание

1. Найти произведения матриц AB; BA; BC; CB; AC; CA, если они определены.

9

10