Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка. Алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

369.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2.2. Задание

Вычислить определитель методом приведения к треугольному виду и методом понижения порядка.

2 ¡2 2

¯.

1 2 2

3 1

2 2

¡3

¡1

1 2 2

¡3

2 1

1 1

¯:

1 ¡2 ¡3 2¯

¡5

¡3 5

¡1

¡2

3 1

¡6

¡12

¡1

¯:

2 3 1

2 1

3 4

¡1

¡2

1 1

4 3 2

10:

2 ¡1 2 ¡2

: 11:

4 2 ¡2 4

3 1

¡1

¡2

2 1

1 5

1 3

¡3

13:

1 ¡1

: 14:

1 2

3 ¡1

2 1

2 3

1 2

¡2

1 3

2 2

¡1

¡2

¡1

¡3 5

2 ¡1

¡2

¡3

¯:

12:

¡6

¡3

¡1

15:

¡1

16: ¯

1 2

¯:

17: ¯

1 ¡1 2

: 18: ¯

¯:

¡1

1 ¡1 ¡1 3

¡1 ¡1

¡ ¡

1 1

¡ ¡

¡1 1

2 2

1 1

¡ ¡

19:

20:

21:

¡1 ¡2 2 ¡1

¡3

1 0

¡1 3

¡2 ¡1 1

¡1 1

¡ ¡

1 1

2 3

22:

2 1

1 1

¯:

23:

¡1 ¡2 ¡1 2

: 24:

¡3 1

1 2

¡1

¡5

1 ¯

1 1 1

1 ¡1 3

2 ¡3 1

3 5

1 1

¡ ¡ ¡

¡6 1

1 1

2 1

1 ¯

3 1

1 ¡1 ¡2 1

1 ¡2 ¡3 ¡2

¡2 1

1 1

25:

: 26:

1 1

: 27:

¡1 2

3 ¡5 ¡2 2

3 ¡2 ¡1

28:

: 29:

4 3

¡1 2

¯:

30:

1 5 2

¯:

1 1

8 5

¡3 4

1 3 2

1 ¡1 ¡1

2 2

1 1

3 11 5

¡2

3 3

¡2 2

1 3 4

¡1 1

3. Обратная матрица.

3.1. Теоретические сведения

Терминология и обозначения.

Матрица A¡1 называется обратной к матрице A, если

AA¡1 = A¡1A = E:

Матрица A, для которой существует обратная матрица, называется обратимой.

Из определения следует, что обратимой может быть лишь квадратная матрица, так как равенство AA¡1 = A¡1A возможно лишь для квадратных матриц A и A¡1 одинакового порядка.

Кваратная матрица A называется вырожденной (особенной), если jAj = 0, и невырожденной (неособенной), если jAj 6= 0.

Пусть A = (aij) 2 Rn£n. Матрица

A~ = 0 A21

A22

: : : A2n

= 0

A12

A22

: : : An2

A11

A12

: : : A1n

A11

A21

: : : An1

C B

A: : :

:: :: ::

A: : :

:: :: ::

A: : :

nn C B

nn C

составленная из алгебраических дополнений Aij к элементам aij матрицы A называется присоединенной к матрице A.

Теорема (критерий обратимости). Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.

Обратная матрица вычисляется по формуле

A¡1 =	1	A:~	(8)
	jAj

Свойства обратной матрицы.

1.E¡1 = E, так как E ¢ E = E

2.jA¡1j = 1=jAj, так как jAj ¢ jA¡1j = 1.

3.(A¡1)¡1 = A, так как AA¡1 = A¡1A = E.

4.(AT )¡1 = (A¡1)T , так как (A¡1)T AT = (AA¡1)T = ET = E.

5.(AB)¡1 = B¡1A¡1, так как (AB)(B¡1A¡1) = E.

Вычисление обратной матрицы.

Соотношение (8) дает явный вид обратной матрицы. Оно полезно в теоретических исследованиях и совершенно неэффективно для практического вычисления (разве что для матриц второго порядка) вследствие большого объема требуемых вычислений. Для получения обратной матрицы к матрице n-го порядка согласно (8) требуется вычислить n2 определителей (n ¡ 1)-го

порядка и один определитель n-го порядка. В вычислительной математике используются различные дополнительные приемы вычисления обратной матрицы, которые по объему вычислений равносильны вычислению всего лишь двух определителей n-го порядка. Рассмотрим один из таких методов, в основе которого лежит метод Гаусса:

1)формируем расширенную матрицу (AjE) приписыванием к матрице A справа матрицы E того же порядка;

2)с помощью метода Гаусса, производя элементарные преобразования только над строками, приводим сформированную расширенную матрицу

квиду (EjB) , что всегда возможно, если A не вырождена. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования

следующих типов:

а) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

б) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

в) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца), умноженной на любое число.

Тогда A¡1 = B.

П р и м е р 7. Выяснить, существует ли матрица, обратная матрице

A =	0	0	0	2	1	;
		1	0	1	A
	@ ¡1		3	1	A

и если существует, то найти ее.

Решение. Так как det A = ¡6 =6 0, то матрица A невырожденная и A¡1 существует.

Способ 1. Найдем матрицу A по формуле (8). Алгебраические дополнения

соответствующих элементов матрицы A:

= ¡2; A13 =

1 3

= 0;

A11

3 1

¯ = ¡6; A12 = ¡ ¯

1 1

A21

0 1¯

¯ = 3; A22

¯1 1

¯1 0

= ¡

3 1

1 1

= 2; A23 = ¡

1 3

= ¡3;

0 1

1 1¯

1 0

¯ = ¡2; A33

A31

= ¯

0 2

= 0; A32 = ¡ ¯

0 2

= ¯

0 0

= 0:

Следовательно,¯

A¡1 =

0 ¡2 2 ¡2 1:

¡6

¡3

Способ 2. Найдем A¡1 с помощью расширенной матрицы и метода Гаусса. Составим расширенную матрицу

C = 0 0 0 2						j	0 1 0 1
		1		0	1		1	0		0
	@ ¡1 3 1 jj						0 0 1 A »
Прибавим к 3-й строке 1-ю, получим										1
	0	0	0	2	j	0	1		0	1
		1	0	1		1	0		0
» @ 0 3 2 jj						1 0			1 A »
Поменяем местами 2-ю и 3-ю строки, тогда
	0	1	0	1	j	1	0		0	1
	0	0	3	2	j	1	0		1	1
» @		0 0 2 jj				0 1			0	A »
Прибавив ко 2-й строке 3-ю, умноженную на (-1), получим
0		0	3	0	j	1	¡1		1	1
		1	0	1		1	0		0
» @ 0 0 2 jj						0 1			0 A »
Умножив 2-ю строку на 1=3, а 3-ю-на 1=2, имеем
0 0 1 0				j	1=3 ¡1=3 1=3 1
1	0		1		1		0			0	A »
» @ 0 0 1 jj					0		1=2			0	A »
Вычтем из 1-й строки 3-ю, тогда					1=3 ¡1=3 1=3 1
0 0 1 0				j	1=3 ¡1=3 1=3 1
	1	0	0			1	¡1=2			0

» @ 0 0 1 jj

1=2

0 1=3

¡1=3

1=3

1 =

6 0

¡2

¡2 1

A¡1 =

¡1=2

¡6

@ 0

1=2

@ 0 ¡3

3.2. Задание

Найти матрицу, обратную данной, если она существует, двумя способами:

1. 0 2 ¡3 1 1							:			2. 0 0 1 2 1						:			3.	0 3 2 1					1:
	1	1		0							2		3	5						5		1	0
@ 2 5 2 A										@ 3 4 1 A										@ 5 0 ¡2 A
4. 0 3 2 1						1	:			5. 0 1 ¡1 5 1								:	6:	0 ¡1 0 ¡1 1:
	1 1 ¡1					A					2 ¡1 6									1 1 2
@ 1 2 2						A				@ 1 0 3 A										@ 2 1 ¡1 A
7: 0 ¡1 1 2 1:										8: 0 1 0 1 1								:	9:	0 1 2 1 1:
	1	2		0							3		4	1						2		1	1
@ 3 1 1 A										@ ¡1 1 2 A										@ 1 1 2 A
@	1	2		2	A					@	1		3	1	A					@	1	1	1	A
@	2	2	1		A					@	3	1 1			A					@	1	2	1	A
10: 0	2	1	2		1:					11: 0	1	1 3			1:				12: 0		2	1	3	1:
13: 0 0		¡1			5 1			:		14: 0 3 2 1 1							:		15: 0 ¡1 4 5 1:
	1	¡1			6						3		1	1							0		5	7
@ 1 0					3 A					@ 2 1 2 A										@ 1 3 4 A
16: 0 3		4	3 1:							17: 0 3 3 2 1							:		18: 0 3 2 4 1:
	2	2		1							3		4	2							1	1	1
@ 3		3	1 A							@ 4 3 1 A										@ 2 2 3 A
@	5	¡2			7	A				@	¡1 0 5							A		@	1 2 1				A
@	4	¡1			3	A				@	0			1 5				A		@	2 1 1				A
19: 0	3	¡1			4	1:				20: 0	1 ¡1 5							1:	21: 0		¡1 0 1				1:
22: 0 1		1	2 1:							23: 0 0 1 1 1							:		24: 0 2 3 3 1:
	2	3		1							2		3	1							5	4	3
@ 0		1	2 A							@ 3 2 1 A										@ 1 3 2 A
25: 0 ¡1 3					4 1			:		26: 0 5 4 7 1:									27: 0 4 4 3 1:
	¡2		5		7						4			3	5						4	3	0
@ 1 2					3 A					@ ¡1 0 1 A										@ 1 2 2 A
@	¡1 ¡2 3								A	@	4	1 0				A				@	3	2	1	A
@	¡1 3 ¡2								A	@	5	2 ¡2				A				@	4	2	4	A
28: 0	¡1 ¡1 2								1:	29: 0	1	1 1				1:			30: 0		0	3	1	1:

4. Ранг матрицы.

4.1. Теоретические сведения

Терминология и обозначения. Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считается равным нулю.

Обозначение: rg A, rang A и др.

Из определения вытекают следующие факты:

1)ранг матрицы не превосходит ее размеров: если A 2 Rm£n, то rgA · min(m; n);

2)равенство rgA = r > 0 равносильно выполнению двух условий:

а) в матрице A существует ненулевой минор r-го порядка, б) любой минор более высокого порядка равен нулю.

Пусть rgA = r > 0. Любой ненулевой минор r-го порядка этой матрицы называется базисным минором, а строки и столбцы, в которым расположен базисный минор, – базисными строками и столбцами.

Разумеется, у матрицы может быть не один базисный минор, но все они имеют один и тот же порядок, равный рангу этой матрицы.

Метод Гаусса вычисление ранга матрицы.

Теоретическую основу этого метода для решения данной задачи составляют следующие факты:

–ранг верхней (нижней) трапециевидной матрицы равен количеству ненулевых строк (соответственно столбцов);

–элементарные преобразования не изменяют ее ранга;

–любая матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к трапециевидной форме.

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении этой матрицы элементарными преобразованиями к верхне (нижней) трапециевидной форме и подсчете ее ненулевых строк (столбцов).

П р и м е р 8. Найти ранг матрицы							1:
A = 0 1 3				4	¡1 1
	B	2	¡1	1	3	¡4	C
		7	0	7	7	¡11
	B					¡	C
	@	5	1	6	5		A
						7
Решение.	0	1	3	4	¡1	1	1
A =
	B	2	¡1	1	3	¡4	C »
		7	0	7	7	¡11
	B					¡	C
	@	5	1	6	5		A
						7

Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы на месте a11 оказалась еди-

ница:	0	2	¡1	1	3	¡4	1
	» B	1	3	4	¡1	1	C	»
	» B	7	0	7	7	¡11	C	»
	B					¡	C
	@	5	1	6	5	¡	A
		5	1	6	5	7

Умножим 1-ю строку матрицы на -2, -5, -7 и прибавим соответственно ко 2-й, 3-й, 4-й строкам, получим

0	0	¡7	¡7	5	¡6	1
» B	1	3	4	¡1	1	C	»
» B	0	0	0	1	0	C	»
B				¡		C
@	0	0	0	¡	0	A
	0	0	0	0	0

Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбцы, получим

	0 0		¡7 5		¡7 ¡6 1			:
	B	1	3	¡1	4	1	C
	B	0	0	0	0	0	C
»	B						C
	@	0	0	¡1	0	0	A
		0	0	¡1	0	0

rgA = 3, так как трапециевидная матрица имеет три ненулевых строки.

4.2. Задание

	Найти ранг матрицы:
1:	B	2	¡1 1 2				3		C		2:	B	6	4	5 2 3				C
	B	4	¡2 1 1				2		C	:		B	9 6 1 3 2						C	:
	0	6	¡3 2 4				5		1	:		0	3 2 4 1 2						1	:
	B		¡						C			B							C
	@	6	¡	3 4 8			13		A			@	3	2	¡2 1 0				A
		6		3 4 8			13						3	2	¡2 1 0
3:	0	1	2	3	¡2		1	1:			4:	0	6	3	2 3 4			1:
3:	0	3	6	5	¡4		3	1:			4:	0	4 2 1 2 3					1:
	B				¡			C				B						C
	@	1	2	7	¡	4	1	A				@	4	2	3	2	1	A
	B	2	4	2	¡3		3	C				B	2 1 7 3 2					C
5:	0 1		4	5	2 1						6: 0		6	4	7		4		5	1:
5:		2	9	8	3		:				6: 0									1:
	B	1	2	3	1	C						B	3	2	5		2		7	C
													3	2	5		2		7
		3	7	7	2								3	2	¡1 2 ¡11
	B					C							6	4	1		4		13
	B	5	7	9	2	C						B						¡		C
	B	5	7	9	2	C						@						¡		A
	@					A

7:	0		4			4		8	5				4			1	:
	B		2			7		4	5				8			C
	B		3			5		7	5				6			C
	B															C
	@		1			¡9		¡3	¡5			¡14				A
9:	0		9			8	5	6	9		1		:
	B		3			4	3	9	6		C
	@		3			8	7	30	15		A
	B		6			6	4	7	5		C
11:		0		2			5	¡8	8		¡6			1		:
11:		0		4	3 ¡9 9 ¡5									1		:
		B						¡			¡			C
		@		2			3	¡	7		¡			A
		B		1			8	¡7	12		¡6			C
13:		0		3			4	2	6		5		1		:
		B		1			2	0	2		1		C
		B		2			5	¡1	4		1		C
		B						¡					C
		@		0			1	¡	0 ¡1				A
				0			1	1	0 ¡1
15:		0		2			1	1	3			0	1
		B		1			3	5	1			0	C
		B		3			¡1	3	5			0	C
		B					¡	¡					C
		@		1			¡	¡	2			1	A
				1			1	0	2			1
		B		1			2	3	4		1		C
17:		B		1			2	1	2			2	C		:
17:		0		5			6	7	8		0		1		:
		B								¡			C
		@		1			¡1	2	0	¡			A
		0		1			¡1	2	0		2		1
19:		0		1			1	2	0			1	1		:
		B		2			1	0	¡1			3	C
		B			1		0	2	1			2	C
		B											C
		@ ¡					3	4	¡1			5	A
				4			3	4	¡1			5
21: 0 1 1 3 ¡2 0 1:
		B		3			1	¡4	1			2	C
		B		7			3	5	0			4	C
		B						¡					C
		@		5			3	¡	¡3			2	A
				5			3	2	¡3			2

8: 0 3 ¡1 2 6 3 1:
@		6	¡2		3			4	9	A
@		6	¡2		5		20		3	A
10:	0		2	¡1		3		¡7					5	1	:
10:	0		6 ¡3 1 ¡4 7											1	:
	B			¡				¡						C
	@		4	¡		14		¡				18		A
	B		6	¡3		17		¡38				23		C
12:	0		3	¡2		5		4		2		1:
12:	0		6 ¡4 4 3 3									1:
	B			¡								C
	@		9	¡	6	3		2		4		A
	B		12	¡8		8		6		6		C
	0		2	2		2			2		1
	B		1	0		2		¡1			C
	B		3	1		5			1		C
	B							¡			C
14:	B		¡2	3				¡			C		:
14:	B		¡2	3		¡7			8		C		:
	B		1	1		1			1		C
	@										A
16:	0		3	2	1			0		1		1:
	B		1	0	2			4		1		C
	B		5	4	2			4		1		C
	B							¡				C
	@		1	1	¡1			¡		1		A
			1	1	¡1			0		1
	B		1	0		3				5			1		C
18:	B		11	1			10			15				2	C	:
18:	0		2 1 ¡1							0			1		1	:
	B					¡			¡				¡		C
	@ ¡			1		¡			¡				¡		A
	0			1		0				2			1
20:	0		3	3		9		0		12			1	:
	B		2	¡1		0		3			5		C
	B		1	2		5		1			5		C
	B							¡					C
	@		4	0		4		¡		12			A
	0		4	0		4		4		12
22:	0		6	1	2			3	1	1			:
	B		3	2	¡1			1	0	C
	B		4	3	¡2			1	1	C
	B				¡					C
	@		1	1	¡	1		0	1	A
			1	1		1		0	1

23:	B	4 1 2				¡3 0					C			24:	B	5 3 2 1								0				C
	B	0 0			2	¡2			4		C				B	2 1 0						1			1			C			:
	0	2 1 3					0		1		1:				0	2 1 0 ¡1 ¡1												1			:
	B			¡		¡		¡			C				B					¡				¡				C
	@	2	0	¡		¡		¡			A				@	1		1	2	¡				¡				A
		2	0	1			1		3							1		1	2		3			2
25: 0		21		11		1	0		2	1:				26:	0 1			6		8				5			1		:
25: 0		¡ ¡								1:				26:			2 0				4 2								:
	B					3	5		0	C					B	1		2		4				1			C
	B	2		0		8	10		4	C					B												C
	B									C					B	5		1		11				¡			C
	@	0		1		5	5		4	A					B	5		1		11				4			C
				¡											B	3		0		6				3			C
	0 3				¡1 ¡1 1										@									¡			A
	0 3			1	¡1 ¡1 1											1 2			3					2				¡1
		2		2		0		2								3		5		1				0						2
	B									C					B	3		5		1				0						2	C
	B	0		1 3				5		C						¡1 1 2								1				0
27:	B	1		1		2		5		C		:		28:		3		2			4			3				¡		1		:
	B	1		¡		1		2		C					B					¡ ¡ ¡											C
	B	1		0		1		2		C					@					¡ ¡ ¡											A
	@	¡								A					0 ¡2 ¡1						0 ¡3 1
		51		4	0		2				1				0 ¡2 ¡1						0 ¡3 1
				4		3	2			1						4		1			2			7
	B			4		3	2			1			C		B													C
		3		1		3	2				1				B	2		3					4	1				C
		3		1		3	2		¡		1				B						¡							C
	B												C	30:	B		2 2				¡		6			6		C			:
29: 0 ¡				1		0	2						1:	30:		¡	2 2				¡		6	¡		6					:
	@	3		1		0	2			3			A		@	¡					¡			¡				A
	@			¡			¡ ¡						A		B 6			1			4 11							C

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.20151.69 Mб16Методичка управленческие решения.docx
#
04.05.2019205.31 Кб3Методичка №2.doc
#
04.05.2019314.37 Кб2Методичка №4.doc
#
07.06.2015233.27 Кб40Методичка, Зоткин.pdf
#
16.03.2015278.64 Кб16Методичка. Алгебра 2.pdf
#
16.03.2015369.06 Кб36Методичка. Алгебра.pdf
#
23.08.2019630.3 Кб26методичка. УчУголПроц2.rtf
#
16.03.2015441.34 Кб33Методичка.doc
#
07.06.20151.42 Mб121методичка.doc
#
16.03.2015435.49 Кб171Методичка.ЛинАл.pdf
#
29.03.2016430.08 Кб23методичка_4.doc