- •2.6. Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •а ее закон распределения:
- •Множество возможных значений биномиальной СВ
- •а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
- •Множество возможных значений геометрической случайной величины
- •а вероятности значений определяются по формуле:
- •Множество возможных значений пуассоновской случайной величины
- •а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:
- •8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.
- •Найдем математическое ожидание этой случайной величины:
2. Биномиальная случайная величина X Bi(n, p) .
Множество возможных значений биномиальной СВ
Χ ={0,1,...,n}={xi =i, i = 0,n},
а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
|
|
|
|
|
p = P(X =i) = P (i) =Ci piqn−i , i = |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0,n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
n |
n |
|
|
|
|
|
||
|
Найдем математическое ожидание случайной величины X Bi(n, p) : |
|||||||||||||
|
|
n |
|
n |
n! |
|
n |
|
(n −1)! |
|
|
|||
M X = ∑xi pi = ∑iCni |
piqn−i = ∑i |
piqn−i = np∑ |
|
pi−1qn−i = |
||||||||||
i!(n −i)! |
(i −1)!(n −i)! |
|||||||||||||
|
i |
i=0 |
|
i=0 |
i=1 |
|
||||||||
n |
|
(n −1)! |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np∑ |
|
pi−1qn−i = np∑Cni−−11 pi−1qn−i = np( p + q)n−1 = np . |
|
|||||||||||
(i −1)!(n −i)! |
|
|||||||||||||
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения дисперсии случайной величины X Bi(n, p) вычислим вначале M X 2 :
|
|
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
n |
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
M X 2 = ∑xi2 pi = ∑i2 |
|
|
|
piqn−i = np∑(i −1+1) |
|
|
pi−1qn−i = |
|
||||||||||||||
i!(n −i)! |
(i −1)!(n −i)! |
|
||||||||||||||||||||
|
|
i |
i=0 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(n −1)! |
|
i−1 n−i |
|
|
n |
i−1 |
i−1 n |
−i |
|
|
n |
i−2 |
i−2 |
|
n−i |
|
|||
= np ∑ |
|
|
|
p |
q |
+ ∑Cn−1 p |
q |
|
= np(n −1) p ∑Cn−2 p |
|
q |
|
+ np = |
|||||||||
(i −2)!(n −i)! |
|
|||||||||||||||||||||
|
i=2 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(( (( |
|
(( (( |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
= n2 p2 −np2 + np .
Теперь для дисперсии случайной величины X Bi(n, p) получаем выражение:
|
D X = M X 2 −(M X )2 = n2 p2 −np2 + np −n2 p2 = npq . |
||
Окончательно, |
|
|
|
|
M X = np , D X = npq . |
||
|
|
|
|
3. Геометрическая случайная величина X G( p) .
Множество возможных значений геометрической случайной величины
Χ ={1,2,...,n,...}={xi =i, i =1,2,...},
а вероятности значений определяются по формуле:
pi = P(X =i) = qi−1 p, i =1,2,....
Найдем математическое ожидание случайной величины X G( p) :
|
∞ |
∞ |
M X = ∑xi pi = ∑iqi−1 p = p∑iqi−1 . |
||
i |
i=1 |
i=1 |
30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
|
|
|
|
ряд |
|
|
|
|
|
∑iqi−1 |
|
|
|
представляет |
|
|
собой |
результат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
дифференцирования по q геометрической прогрессии ∑qi = |
|
. Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1−q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
∞ |
|
|
i |
|
|
|
|
d |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
M X |
= p |
|
|
|
|
∑q |
|
|
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−q) |
2 |
|
p |
2 |
|
p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
dq 1−q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Для нахождения дисперсии СВ X G( p) вычислим вначале M X 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
i − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
i−1 |
|
|
|
|
|
d |
|
∞ |
|
i |
|
|
|
|
d |
|
∞ |
i−1 |
|||||||||||||||
M X |
|
= ∑xi |
pi = ∑i |
|
q |
|
|
p = p∑i |
q |
|
|
= p |
|
|
|
∑iq |
|
= p |
|
|
|
|
q∑iq |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
dq |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
||||||||||||||||||
Заметим теперь, что при нахождении математического ожидания было |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получено, что ∑iqi−1 = |
|
|
|
|
|
. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(1−q) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
M X 2 = p |
|
d |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ q |
|
|
|
1+ q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dq |
(1−q) |
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−q) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Теперь для дисперсии случайной величины X G( p) |
получаем выражение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D X = M X 2 −(M X )2 = |
1+ q − |
1 |
|
|
= |
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M X = |
|
1 |
|
, D X = |
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пуассоновская случайная величина X Π(a) .
Множество возможных значений пуассоновской случайной величины
Χ ={0,1,2,...,n,...}={xi =i, |
i = 0,1,2,...}, |
|||||||||
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой: |
||||||||||
|
p = P(X =i) = ai |
e−a , |
i = 0,1,2,.... |
|||||||
|
i |
|
i! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем математическое ожидание случайной величины X Π(a) : |
||||||||||
|
∞ |
|
i |
|
∞ |
a |
i−1 |
|
||
M X = ∑xi pi = ∑i a |
e−a = ae−a ∑ |
|
|
= ae−aea = a . |
||||||
(i −1)! |
||||||||||
i |
i=0 |
i! |
|
i=1 |
|
|||||
Для нахождения |
дисперсии случайной |
величины X Π(a) вычислим |
вначале M X 2 :
∞
M X 2 = ∑xi2 pi = ∑i2
i i=0
a |
i |
∞ |
a |
i−1 |
|
||
|
e−a = ae−a ∑(i −1+1) |
|
|
= |
|||
i! |
(i −1)! |
||||||
i=1 |
|
|
−a |
∞ |
ai−2 |
∞ |
ai−1 |
|
2 |
|
||
= ae |
a∑ |
|
|
+ ∑ |
|
|
= a |
|
+ a |
|
(i −2)! |
|
|
||||||||
|
|
i=2 |
i=1 |
(i −1)! |
|
|
|
31
Теперь для дисперсии случайной величины |
|
|
X Π(a) |
|
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||
выражение: |
|
D X = M X 2 −(M X )2 = a2 + a −a2 = a . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
M X = a , D X = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. Равномерная случайная величина X R[a,b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Плотность вероятностей |
|
|
случайной |
|
|
|
величины |
|
|
X , |
равномерно |
|||||||||||||||||||||
распределенной на отрезке [a,b], имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, x [a,b]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , x [a,b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем математическое ожидание случайной величины X R[a,b]: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M X = ∫ xf (x)dx = ∫x |
|
dx = |
|
|
|
|
b |
|
− a |
|
|
= a +b . |
|
|
||||||||||||||||||
b −a |
b −a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
Найдем далее M X 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+∞ |
b |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
+ ab +b |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
M X 2 = ∫ x2 f (x)dx = ∫x2 |
|
|
dx |
= |
|
|
b |
|
|
− a |
|
|
= a |
|
. |
|||||||||||||||||
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
−∞ |
a |
|
|
|
|
|
b −a |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для дисперсии случайной величины X R[a,b] получаем выражение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
D X = M X 2 −(M X )2 = a2 + ab +b2 |
− |
|
(a +b)2 |
|
= |
(b −a)2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X = a +b |
, |
D X = |
|
(b −a) |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина X E(λ) .
Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины X имеет вид:
|
f (x) |
0 , x < 0; |
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
λe−λx , x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
||
Найдем математическое ожидание случайной величины X E(λ) : |
|||||||||
M X = +∞∫ xf (x)dx = λ+∞∫ xe−λx dx = −xe−λx |
|
0+∞ + +∞∫e−λx dx = |
1 |
. |
|||||
|
|||||||||
|
λ |
||||||||
|
|||||||||
−∞ |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Найдем далее M X 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X 2 = +∞∫ x2 f (x)dx = λ+∞∫ x2e−λx dx = |
|
2 |
. |
|
|
|||
|
|
λ2 |
|
|
|||||
|
−∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Для дисперсии случайной величины X E(λ) получаем выражение:
32
|
D X = M X 2 −(M X )2 = |
2 |
− |
1 |
= |
1 |
. |
|||||
|
λ2 |
λ2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M X = |
1 |
, D X = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Нормальная (гауссовская) случайная величина X N(a,σ2 ) .
Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами (a,σ2 ) случайной величины X имеет вид:
|
|
1 |
|
|
|
|
e− |
(x−a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
, −∞ < a < +∞, σ > 0, −∞ < x < +∞. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
σ |
|
2π |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем математическое ожидание случайной величины X N(a,σ2 ) : |
|||||||||||||||||||||||||||
+∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
(x−a)2 |
|
замена |
|
|
1 |
|
+∞ |
u2 |
|||||||
M X = ∫ xf (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
∫ xe− |
2σ2 dx = |
|
x −a = |
|
|
∫(a +σu)e− |
2 du = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−∞ |
|
σ 2π |
|
−∞ |
|
|
|
|
u = |
|
|
|
|
2π −∞ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+∞ |
u2 |
σ |
+∞ |
|
u2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
= a |
|
|
|
∫e− |
2 du + |
∫ue− |
2 du = a |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
2π |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 в силу нормировки |
|
|
|
=0 в силу нечетности |
|
|
|
Найдем дисперсию случайной величины X N(a,σ2 ) (причем в данном случае удобнее пользоваться выражением для дисперсии D X = M(X −M X )2 ):
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
( x−a)2 |
|||||||
D X = M(X −M X )2 = ∫(x −M X )2 f (x)dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
∫(x −a)2 e− |
|
2σ2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
σ2 |
|
+∞ |
2 |
|
−u2 |
|
|
|
2σ |
2 |
|
|
+∞ |
2 |
|
−u2 |
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
+∞ |
−u2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
∫u |
e |
|
|
2 du = |
|
|
|
|
|
|
∫u |
e |
2 du = |
|
|
|
|
|
|
− |
∫ude |
|
2 |
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
−u |
2 |
|
+∞ |
|
|
+∞ |
−u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ue |
|
2 |
|
|
+ |
∫e |
|
2 du =σ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
M X = a , |
D X =σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замена |
|
|
|
dx = |
x −a |
= |
|
u = |
|
|
|
σ |
|
||
|
|
|
8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.
Случайная величина X , распределенная по закону Коши, имеет плотность вероятностей вида:
f (x) = |
1 |
, −∞ < x < +∞. |
π(1+ x2 ) |
33