2.6. Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения, закон распределения и плотность вероятностей полностью характеризуют дискретные и непрерывные случайные величины с вероятностной точки зрения. Однако во многих практических задачах нет надобности в таком полном описании случайных величин. Часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения вероятностей случайной величины. Числа, выражающие в сжатой форме характерные свойства распределения случайной величины, называются числовыми характеристиками случайной величины. Наиболее важные среди них математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Рассмотрим отдельно случай дискретных и непрерывных случайных величин.

Пусть X - дискретная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (Ω, ,P) , с конечным множеством возможных

значений Χ ={x1, x2 ,..., xn} и pi = P(X = xi ), i =1,2, ,n, - вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения дискретной случайной величины:

21

если ряд в правой части абсолютно сходится: ∑ xi pi < ∞.

i

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у дискретной случайной величины X не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно (но счетно). У дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь X - непрерывная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (Ω, ,P) и имеющая плотность вероятностей

f (x) . Для определения ее математического ожидания построим следующую

дискретную случайную величину X h , аппроксимирующую непрерывную случайную величину X .

если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой

+∞

для интеграла ∫ xf (x)dx , который и следует считать математическим

−∞

ожиданием непрерывной случайной величины X .

22

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной

если интеграл в правой части абсолютно сходится: +∞∫ x f (x)dx < ∞.

−∞

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у непрерывной случайной величины X не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин можно объединить в одну, записав математическое ожидание в виде:

MX = +∞∫ x dF(x) ,

−∞

где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по функции распределения F(x) (подробнее см. учебник Гнеденко Б.В. «Курс теории

вероятностей»).

Еще более общим является представление математического ожидания в виде интеграла Лебега:

MX = ∫X d P

Ω

(подробнее см. учебник Ширяева А.Н. «Вероятность»). Механическая интерпретация математического ожидания.

Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то математическое ожидание – координата центра тяжести (центра масс).

Геометрическая интерпретация математического ожидания.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо математическое ожидание случайной величины X говорят среднее случайной величины X ).

Геометрическая иллюстрация:

23

Основная теорема о математическом ожидании.

Пусть X - некоторая случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (Ω, ,P) , закон распределения которой известен

относительно борелевской σ -алгебры ( ) . Это означает, что для любого борелевского множества B ( ) его образ g(B) ( ) .

Первое условие обеспечивает корректность функционального преобразования Y = g(X ) . Второе условие гарантирует, что функция Y = g(X )

Замечание. Класс борелевских функций на числовой прямой очень широк и покрывает все потребности практики (в частности, ему принадлежат все ограниченные кусочно-непрерывные функции). Поэтому требование того, что функция g = g(x) должна быть борелевской, для приложений ограничительным

не является.

Задача состоит в нахождении математического ожидания MY = M g(X ) . Существует два способа решения этой задачи:

а) По закону распределения случайной величины X находится закон распределения случайной величины Y = g(X ) и используются стандартные

формулы (2.7) и (2.8);

б) Математическое ожидание MY = M g(X ) находится с помощью основной теоремы о математическом ожидании.

Теорема (основная теорема о математическом ожидании или теорема о замене переменных).

Пусть X - некоторая случайная величина, закон распределения которой известен, случайная величина Y = g(X ) является функцией от случайной

величины X .

1. Если случайная величина X является дискретной, принимающей значения xi с вероятностями pi = P(X = xi ) , i =1,2,..., и при этом ряд ∑g(xi ) pi

i

24

MY = M g(X ) = +∞∫ g(x) f (x)dx .

−∞

(без доказательства).

Смысл основной теоремы о математическом ожидании: Для нахождения математического ожидания случайной величины Y = g(X ) , являющейся

функцией от случайной величины X , не требуется знать закон распределения случайной величины Y , достаточно лишь знать закон распределения случайной величины X .

Свойства математического ожидания

Во всех рассматриваемых ниже свойствах предполагается, что у случайных величин математические ожидания существуют.

М0). Математическое ожидание любой случайной величины есть число! М1). Математическое ожидание постоянной C равно этой постоянной:

MC =C .

М2). Постоянная величина выносится за знак математического ожидания:

M(CX ) =C M X .

М3). Математическое ожидание суммы любых случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:

M(X +Y ) = M X + MY .

Замечание. Свойства М1), М2) и М3) называются свойствами линейности математического ожидания и следуют из свойств линейности рядов и интегралов в соответствии с формулами (2.7) и (2.8).

Следующие два свойства математического ожидания связаны с понятием «Р-почти наверное» (Р-п.н.). Говорят, что некоторое свойство выполнено Р-п.н.,

25