- •Формализм принципа максимума Понтрягина (вывод необходимых условий оптимальности)
- •Свойства функции Гамильтона и поиск ее экстремума
- •Типы граничных условий и виды краевых задач
- •Алгоритм применения принципа максимума Понтрягина
- •Оптимальное управление односекторной экономикой по критерию максимальной полезности
- •Оптимальное управление линейными системами
- •Решение линейных задач оптимального управления для экономических систем.
Оптимальное управление линейными системами
Постановка задачи:
а)
б)
в)
а) Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.
Запишем функцию Гамильтона:
Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:
𝝂j
Найдем оптимальное управлении из условия максимизации функции Гамильтона:
Так как существуют ограничения на управление, то на ряду со стационарными точками необходимо проверить значения, которые достигает функция Гамильтона на границах:
0 uj Ujmax 𝜈j(t)>0 𝜈j(t)>0
Допустим 𝜈j имеет вид:
𝜈j(t)
t t1 t2 t3 t4
ujopt
Umax
t t1 t2 t3 t4
б) Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.
Запишем функцию Гамильтона:
Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:
𝜈j(t)
uj 𝜈j/2 𝜈j/2 𝜈j/2 𝜈j/2 𝜈j(t) 𝜈j(t)
Решение линейных задач оптимального управления для экономических систем.
Оптимальное управление процессом фондообразования по критерию минимизации суммарного объема инвестирования
Исходная задача оптимального управления:
Перейдем к обобщенной задаче оптимального управления, которую приводим к универсальному виду:
Переобозначаем переменные:
Вводим дополнительную фазовую переменную, таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.
Запишем функцию Гамильтона:
Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:
Найдем оптимальное управление:
Запишем каноническую систему дифференциальных уравнений:
Условие трансверсальности:
=0
Краевая задача:
𝜓1(t)
1
t* T
t uopt
t T t* Imax
Рассмотрим отрезок временной оси
Рассмотрим временной период
Тогда значение фондов в конечный момент времени равно
Из полученного уравнения выразим t*:
Определим минимальное значение функционала:
Оптимальное управление процессом фондообразования по критерию максимизации основных фондов
Задача оптимального управления:
- ограничение на инвестиции
Переобозначаем переменные F и I:
Введем дополнительную фазовую переменную х2 таким образом, чтобы функционал был равен конечному значению фазовой переменной.
Запишем обобщённую задачу оптимального управления:
Запишем функцию Гамильтона:
Запишем функцию , которая является частью функции Гамильтона, где управление присутствует в явном виде:
Найдем оптимальное управление:
Запишем каноническую систему дифференциальных уравнений:
Выражение для оптимального управления запишется следующим образом:
Построим график 𝜓1(t), где точка t* является точкой переключения управления:
t T t* 𝜓1(t)
-e-𝜇t
T t* C uopt Imax t