Алгоритм применения принципа максимума Понтрягина

Принцип максимума Понтрягина преобразует исходную постановку задачи оптимального управления к краевой задаче.

1. Преобразование исходной постановки задачи к универсальному виду

2. Запись функции Гамильтона

3. Отыскание оптимального управления

4. Запись канонической системы дифференциальных уравнений, в которой подставлено u_opt

5. Конкретизация условий трансверсальности

6. Формулировка краевой задачи

Оптимальное управление односекторной экономикой по критерию максимальной полезности

Односекторная экономическая система рассматривается как единое целое. Производится один универсальный продукт, который можно потреблять и инвестировать. (модель Солоу)

_X=C+I

F – значение основных фондов,

X – объём производимой продукции,

C – потребление,

I – инвестирование,

L – рабочая сила

α₁, α₂ – коэффициент эластичности, показывающий изменение объёма производимой продукции при изменении основных фондов на 1%

2. 

3. 

4. 

5. 

–фондовооружённость,

–производительность труда,

–среднедушевое потребление,

–среднедушевое инвестирование.

ν – темп прироста рабочей силы

F=kL

μ – темп выбывания фондов

где δ – коэффициент дисконтирования (0<δ<1)

-функция полезности

C_min≤C≤Ak^α1

Чтобы составить обобщённую задачу оптимального управления, введём следующие обозначения:

x₁=k, u=c

Обобщенная задача оптимального управления

Гамильтониан для задачи будет равен

.

–условие отыскания оптимального управления.

Запишем условие трансверсальности:

Краевая задача:

	to=o	tk=T

Введём функцию , которая обозначает теневую цену капитальных вложений (теневую цену приращения фондов).

Чтобы найти выражение, описывающее изменение теневой цены капитальных вложений, выполним следующие преобразования:

Оптимальным управлением является равенство предельной полезности и теневой цены капитальных вложений:

_{Рассмотрим случай:}

_{φ(c)=c, φ(u)=u, Cmin≤u≤Ax1}^α1

Cmin

_Ax1^α1

U

q(t)<1

q(t)>1

При q(t)<1 функция монотонно возрастает, при q(t)>1 – монотонно убывает. Значение u слева ограничено значением c_min, а справа – значением Ax₁^α_. Следовательно, оптимальное управление определяется следующим выражением:

режим сбалансированного роста экономики

Приняв х₁=const, получим:

Совместно решая последние два уравнения, получим оптимальные значения фондовооружённости и управления при :

,

x₁

x₁²(0)

x₁*

x₁¹(0)

t

t*(2)

t*(1)

Uopt

U*

Cmin

t

t*(2)

t*(1)

1. В случае, если x₁(0)>x₁*, то сначала выбирается режим максимального потребления, который заканчивается в момент, когда фондовооруженность достигает величины соответствующего значению режима сбалансированного роста экономики. После этого система переходит в режим сбалансированного роста экономики с параметрами x₁*, u*.

2. В случае, если x₁(0)<x₁*, что соответствует низкой начальной фондовооруженности, оптимальное управление состоит из двух этапов. На первом этапе среднедушевое потребление принимается минимально возможным, при этом осуществляется максимальное инвестирование в развитие фондов, которое заканчивается достижением фондовооруженности значения, соответствующего значению сбалансированного роста экономики, после этого начинается второй этап сбалансированного роста экономики.