- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
Для решения плоских задач теории упругости часто используется функция напряжений Эри . Компоненты напряжений представляются частными производными
, ,. (7)
При этом уравнения равновесия удовлетворяются тождественно, а условие совместности превращается в бигармоническое уравнение
или . (8)
В случае решения задачи в полярных координатах компоненты напряжений и условие совместности можно представить в виде выражений
, ,,
или
.
Если напряжения распределены симметрично относительно оси, то имеет вид
,
где ,,,– постоянные, определяемые из заданных условий на контуре.
Исходя из этого, можно найти напряжения в толстостенных цилиндрах с радиусами ипри наличии внутреннегои внешнегодавлений:
.
Для плоского напряженного состояния
, ,,
, ,.
Для плоской деформации
, ,
, ,
, .
Задачи
Даны величины напряжений МПа,МПа,МПа. Определить деформации, если деталь изготовлена из сталиМПа,. Определить изменение объема.
В плите из алюминиевого сплава (МПа,) при ее деформации толщина остается неизменной, а деформации составят,,. Определить возникающие напряжения.
Найти связь между константами и, при которой функциябудет функцией Эри. Определить компоненты напряжений.
Проверить, могут ли при осесимметричной деформации тела функциями напряжений служить
, (n=0, 1, 2, 3),
, (n=1, 2, 3),
где C – постоянная.
Доказать, что функция напряжения Эри удовлетворяет бигармоническому уравнению. Найти компоненты напряжения, считая деформацию плоской. Записать уравнения для определения деформаций.
Кольцо единичной толщины окручивается двумя парами сил, приложенных соответственно к внутренней и наружной боковым поверхностям. Убедиться в том, что в каждой точке
, .
Стальной цилиндр, внешний диаметр которого 300 мм и толщина стенки 60 мм, подвергнут внутреннему давлению МПа. Определить величину наибольших растягивающих, сжимающих и касательных напряжений. Построить эпюры,и.
В задаче 8.5 поменять условие, т.е. считать, что действует не внутреннее, а внешнее давление. Определить те же величины.
Принять, что стальной цилиндр (задача 8.7) подвергнут не только внутреннему МПа, но и внешнему давлениюМПа. Определить те же величины.
Определить напряжение в стальном контейнере, состоящем из втулки (мм,мм) и корпуса (мм). Натяг по диаметру при посадке втулкимм, а внутреннее давлениеМПа. Построить эпюры напряжений.
Дана система, состоящая из корпуса и двух втулок с размерами: мм,мм,мм имм. Натяг между первой и второй втулкамимм, а между втулкой и корпусоммм. Внутреннее давлениеМПа. Корпус и втулка стальные. Определить напряжения и построить их эпюры.
Дана прямоугольная пластина шириной , длиной(рис. 10), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине, равной единице. Под действием этих сил в пластине возникает напряженное состояние, описываемое функцией напряжений в виде полинома четвертой степени
.
Требуется:
Проверить возможность существования такой функции напряжений.
По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений.
Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений.
Рис. 10
Решение.
Для выполнения проверки существования заданной функции напряжений выполним ее дифференцирование:
; ;;;
; ;;;
; ;.
Подставив четвертые производные в бигармоническое уравнение (8), видим, что оно удовлетворяется: . Следовательно, напряженное состояние пластины, выраженное заданной функцией напряжений, возможно.
Компоненты напряжений, действующих по кромкам пластины, равны:
; ;.
Используя функциональные компоненты напряжений в пластине, построим соответствующие эпюры напряжений по контуру пластины на каждой ее боковой стороне.
Сторона 0-1-2 (,).На этой грани действуют напряжения ,:
(точка 0) ,;
(точка 1) ,;
(точка 2) ,.
Сторона 2-3 (,).На этой грани действуют напряжения ,:
(точка 2) ,;
(точка 3) ,.
Сторона 3-4-5 (,).На этой грани действуют напряжения ,:
(точка 5) ,;
(точка 4) ,;
(точка 3) ,.
Сторона 0-5 (,).На этой грани действуют напряжения ,:
(точка 0) ,;
(точка 5) ,.
По полученным результатам строим эпюры ,и, которые приведены на рис. 11.
Рис. 11
Дана прямоугольная невесомая пластина (рис. 10), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине, равной единице.
Требуется:
Проверить возможность существования функции напряжений в виде полинома четвертой степени
,
с помощью бигармонического уравнения. Здесь Ф – число букв в фамилии, И – число букв в имени студента.
По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений.
Выяснить характер распределения по кромкам пластины внешних сил путем построения эпюры напряжений по контуру пластины на каждой ее боковой стороне, используя рассчитанные данные в точках 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Записать тензор напряжений и тензор деформаций для центральной точки пластины, приняв МПа,,.
Толстостенная достаточно длинная труба из однородного материала находится одновременно под действием равномерного внутреннего и наружного давлений в упругом состоянии. Определить напряженно-деформированное состояние трубы.
Решение. Используем цилиндрическую систему координат. Направим координатные линии ,,, соответственно по радиусу трубы, в окружном направлении и вдоль оси трубы (рис. 12).
Так как напряженно-деформированное состояние трубы является осесимметричным, то ,. Так как труба достаточно длинная, то можно принять схему плоского деформированного состояния, т.е.. Тогда,. Из трех компонент вектора перемещения,,две, азависит только от координаты, т.е. материальные точки трубы перемещаются в радиальных направлениях.
Рис. 12
Система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы, состоит из одного уравнения статического равновесия
,
соотношений между деформациями и перемещениями
, ,
физических уравнений, связывающих напряжения с деформациями:
,
,
,
где – объемная относительная деформация ().
Таким образом, имеем пять уравнений с пятью независимыми переменными ,,,,. Поставленная задача статически определима.
Решим задачу в перемещениях. Подставим в физические уравнения вместо деформаций перемещения по формулам
,
.
Полученные выражения напряжений подставим в уравнения равновесия. получим дифференциальное уравнение Ляме в перемещениях:
,
решение которого имеет вид
.
Тогда
,
,
,
.
Постоянные инайдем из граничных условий: на внутренней поверхности трубы (), на наружной поверхности (). Подставим эти значения в третью формулу:
Решая эту систему двух уравнений относительно и, найдем
,
.
Подставим эти выражения, получим окончательно
,
.
Зная и, можно найти и перемещениеи осевое напряжение, которое постоянно во всех точках трубы.
Теперь рассмотрим три случая.
Труба нагружена внутренним давлением. В этом случае .
,
.
На рис. 13, а показаны эпюры распределения радиального и окружного напряжений по толщине стенки трубы при нагружении внутренним давлением.
Рис. 13
Окружное напряжение является растягивающим, а радиальное – сжимающим. У внутренней поверхности достигает наибольшего значения
,
радиальное напряжение при этом равно .
Труба нагружена только наружным давлением. В этом случае .
,
.
Эпюры напряжений по толщине стенки трубы для этого случая нагружения представлены на рис. 13, б. Окружное и радиальное напряжения – сжимающие напряжения.
Труба нагружена одновременно наружным и внутренним давлением. Соотношение между внутренним и наружным давлениями полагаем таким, что внутренний и наружный радиусы трубы увеличиваются. Эпюры напряжений по толщине стенки трубы для этого случая нагружения представлены на рис. 13, в. Окружные напряжения около внутренней поверхности – растягивающие, а около наружной поверхности – сжимающие.
Определить напряженное состояние контейнера при прессовании. Контейнер состоит из двух цилиндрических втулок, посаженных друг на друга с натягом.
Исходные данные:
внутренний радиус - (мм) –;
наружный радиус - (мм) –;
радиус сопряжения втулок - (мм) –;
внутреннее давление в контейнере при прессовании, (МПа) –;
натяг ;
давление посадки ;
допустимое напряжение материала втулок МПа;
модуль упругости МПа.
Этапы расчета: