- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Разложение тензора напряжений
Тензор напряжений может быть разложен на два тензора – шаровой и девиатор, т.е.. Их компоненты связаны зависимостью
,
где .
Главные значения девиатора напряжений определяются из решения кубического уравнения, полученного при раскрытии определителя:
,
,
где
;
;
.
При изучении сплошного напряженного состояния важное значение имеет октаэдрическое касательное напряжение , интенсивность нормальныхи касательныхнапряжений, которые определяются по выражениям в главных осях:
,
,
.
Задачи
Показать запись второго инварианта девиатора напряжений через его главные значения.
Определить величину первого инварианта девиатора напряжений .
Разложить тензор напряжений для линейного напряженного состояния:
растяжение;
сжатие.
Дать схемы главных напряжений для тензора напряжений, шарового тензора и девиатора.
Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только упругое изменение объема, а изменения формы не происходит.
Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только изменение формы, а упругого изменения объема не происходит.
Объяснить, почему составляющая девиатора напряжений в направлении главной оси 1 будет положительной, а в направлении главной оси 3 – отрицательной.
4.7 Для некоторой точки тела известен тензор напряжений .
Разложить его на шаровой тензор и девиатор, посчитать инварианты тензора.
Решение. Найдем компоненты шарового тензора
.
Определим компоненты девиатора
.
Инварианты тензора будут следующие:
;
;
.
4.8 Разложить тензоры напряжений (МПа)
, ,
,
на шаровые и девиаторы; определить значения второго инварианта девиатора.
4.9 Два тела из одинакового материала испытывают однородное напряженное состояние. Известен тензор напряжений для однородного тела
.
Составить тензор для второго тела, если известно, что относительное изменение объема обоих тел одинаково, а девиатор для второго тела
.
Определить также главные значения полученного тензора.
4.10 Для точки тела известны девиатор напряжений
и одно из нормальных напряжений, например МПа. Определить тензор напряжений.
4.11 Для точки тела известен первый инвариант тензора напряжений МПа и девиатор напряжений
.
Определить главные значения девиатора напряжений, а через них и главные нормальные напряжения. Записать тензор напряжений.
4.12 Напряженные состояния записываются в виде тензоров:
, .
Разложить их на шаровые тензоры и девиаторы, определить их значение из условия равенства нулю одного из главных значений девиатора напряжений.
4.13 В теории пластичности широко используется показатель
,
где .
Рассмотреть его значения для следующих частных случаев:
линейное растяжение;
линейное сжатие;
двустороннее растяжение при ;
двустороннее сжатие при ;
чистый сдвиг, когда .
Достаточно ли этого показателя, чтобы полностью охарактеризовать напряженное состояние?
4.14 Показать различные варианты записи через отношения напряжений.
4.15 Главные компоненты тензора напряжений могут быть представлены следующим образом:
, ,,
где ,и т.д.
Какие значения принимают ,,идля случаев, указанных в задаче 4.12.
4.16 В каких случаях напряженное состояние может быть полностью охарактеризовано отношением двух напряжений ?