- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Применение теории пластичности
Энергетическое условие пластичности может быть представлено в линейном виде:
тело изотропное
,
где
;
–коэффициент Лоде лежит в пределах от до;
тело ортотропное
,
где
;
; .
Интенсивность деформаций (при условии постоянства объема) в случае изотропного тела может быть получена по формуле
или
,
где , , – логарифмические деформации.
Если тело является ортотропным, то
.
При плоском напряженном состоянии физические уравнения имеют вид:
тело изотропное
,
.
тело ортотропное
,
.
Задачи
Стальной толстостенный цилиндр находится под действием внутреннего давления . Определить предел пластического сопротивления, т.е. то наименьшее давление, при котором весь металл перейдет в пластическое состояние (тело принять изотропным). Для численного решения использовать данные задачи 10.7.
Определить предел текучести пластического сопротивления стального цилиндра в случае цилиндрической анизотропии. Для численного решения использовать данные, приведенные в задаче 10.8.
В задаче 11.1 изменить условие, считая, что действует и наружное давление . Рассмотреть два случая:и.
Нанесенная на свободную поверхность листовой заготовки круглая ячейка делительной сетки диаметром на конечном этапе деформирования превратилась в эллипс, главные диаметры которого соответственно равны;. Использовав уравнение кривой упрочнения, определить главные компоненты напряжения. Процесс деформирования считать монотонным.
Решение. Определим значения главных логарифмических деформаций:
; ;
; ;
.
Интенсивность логарифмических линейных деформаций найдем по формуле
Интенсивность нормальных напряжений рассчитываем по уравнению кривой упрочнения
.
Поскольку сетка нанесена на свободную поверхность, то напряжение, нормальное поверхности листа , является главным и равно нулю. Для определения остальных главных компонент напряжений воспользуемся соотношением Гука – Генки:
; ,
отсюда следует
;
;
;
;
На поверхность листа из сплава ОТ4-1 (см. табл.10) была нанесена координатная сетка в виде кругов мм. После деформации листа круги сетки превратились в эллипсы с размерами главных осеймм имм. Кривая истинных напряжений аппроксимируется степенной функцией, гдеи– константы материала. В данном случае, аМПа. Считая, что главные оси деформации совпадают с осями эллипса, определить значение компонент напряжений и деформации (принять равным нулю). Как изменяются полученные результаты, если не учитывать анизотропию материала?
Известно, что при гидростатическом выпучивании листовых материалов в центре лунки . Провести сравнение интенсивностей деформаций и напряжений изотропного материала, трансверсально-изотропного сплава (например, ОХ18Н9Т) и одного из ортотропных листов. Данные по коэффициенту поперечной деформации взять из таблицы 10.
Определить значение коэффициента Лоде для материалов, указанных в таблице. Рассмотреть случае, когда,,.
Тонкостенная труба (мм) из алюминиевого сплава с внешним диаметроммм подвергалась растяжению и внутреннему давлению так, что все время сохранялось следующее равенство между напряжениями:. Деформация проводилась вплоть до конечного осевого напряженияМПа. Принимая материал трансверсально-изотропным () и коэффициенты степенной аппроксимации,МПа, определить конечные размеры трубы.
Найти связь между напряжениями и деформациями в пластической области, когда . Рассмотреть три случая:
материал принят изотропным;
тело является трансверсально-изотропным;
среда – ортотропная.
Упрочнение материала аппроксимировано степенной функцией .
Длинная толстостенная труба находится под давлением. Определить напряженно-деформированное состояние и размеры трубы после деформации, если известно:
внутреннее давление ();
внешнее давление ().
Материал трубы (несжимаемый) последовательно принять изотропным, трансверсально-изотропным и ортотропным. Упрочнение принять по степенному закону.
Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толстостенной трубе, а также внутреннее давление , если известно изменение радиуса. Рассмотреть два случая:и.
Материал трубы принять по условию задачи 11.9. Задачу решить при условии степенного закона упрочнения.
Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толстостенной трубе, а также внешнее давление , если известно, что. Рассмотреть два случая:и.
Материал трубы принять по условию задачи 11.9.
Найти остаточные напряжения и закрутку после упругопластического кручения прутка круглого поперечного сечения радиусом из идеально упругопластического материала на уголпри следующих исходных данных: предел текучестиМПа,рад/м, модуль сдвигаМПа,м,- номер в списке студента в группе,- номер группы.
Решение. Будем считать, что при кручении моментом плоские поперечные сечения прутка остаются плоскими и за пределом упругости материала. При этом смежные поперечные сечения, отстоящие друг от друга на расстоянии, поворачиваются относительно друг друга на относительный угол
,
где – угол кручения.
Согласно теореме о разгрузке А.А. Ильюшина (рис. 14):
,
где – относительный остаточный угол кручения;
–относительный угол упругой раскрутки.
Рис. 14
Величина угловой деформации равна углу, заключенному между образующей круглого прутка и разверткой винтовой линии:
,
где – текущий радиус.
Напряженное состояние является плоским и осесимметричным, а матрицы тензоров напряжений и деформаций имеют вид
, .
При кручении моментом цилиндрического прутка в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения
.
В случае упругого кручения касательные напряжения максимальны на периферии при и по линейному закону уменьшаются, обращаясь в нуль в центре сечения (рис. 15):
Рис. 15
Действуя на кольцевую площадку , они создают элементарный момент относительно оси, равный. Тогда крутящий момент в упругой области равен
,
где – полярный момент инерции для круглого поперечного сечения:
.
При увеличении момента кручения касательное напряжение достигает по условию пластичности Треска-Сен-Венана предельного значения
,
и в поверхностном слое прутка возникает пластическая деформация (рис. 16). При дальнейшем увеличении пластическая деформация распространяется вглубь. Величину радиуса, определяющего границу между упругой и пластической зонами, легко найти по формуле
,
откуда
.
Рис. 16
Как видно из рис. 16, периферийные слои находятся в пластическом, а центральные – в упругом состоянии. Касательные напряжения распределены в поперечном сечении следующим образом:
Крутящий момент складывается из крутящего момента в упругой области и крутящего момента в пластической области:
.
После снятия внешнего момента (разгрузки) в прутке возникнут остаточные касательные напряжения
,
вызывающие раскручивание прутка на угол (рис. 17). Момент при упругой разгрузке равен
.
Из условия равенства суммы моментов нагрузки и разгрузки нулю () находим максимальное касательное напряжение:
,
откуда
.
Таким образом распределение остаточных касательных напряжений имеет вид
при ,
при .
Рис. 17
Из рис. 17 видно, что остаточные касательные напряжения отрицательны на внешней части поперечного сечения прутка и положительны во внутренней.
Угол упругой раскрутки найдем из уравнения
.
Окончательно имеем
.
Остаточный угол кручения
.
11.13 Для толстостенной стальной трубы имеющей внутренний диаметр м и наружный диаметрм, и изготовленный из пластического материала сМПа требуется:
Определить внутреннее давление , при котором в материале трубы начнется пластическое течение по критерию максимальных касательных напряжений.
Построить эпюры распределения напряжений ипо толщине стенки.
Решение.
1. По формулам из задачи 8.14 определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:
;
;
, .
.
2. С учетом того, что определяем напряжения, соответствующие началу пластичского течения:
,
.
Данные числовых расчетов сводим в табл. 11:
Таблица 11
Эпюры напряжений иприведены на рис. 18.
Рис.18
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Безухов, Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. Н.И. Безухов. - М.: Высш. шк., 1965. - 320 с.
Томсен Э. Механика пластических деформаций при обработке металлов/ Э. Томсен, Ч. Янг, Ш. Кобаяши. - М.: Машиностроение, 1969. - 504 с.
Смирнов, В.С. Сборник задач по обработке металлов давлением/ В.С. Смирнов - М.: Металлургия, 1973. - 191 с.
Яковлев, С.П. Сборник задач с решениями по курсу "Теория обработки металлов давлением"/ С.П. Яковлев, И.А. Смаригдов, В.Д. Кухарь, П.Л. Макарова. Тульский политехн. ин-т, 1978. - 48 с.
Мейз, Д. Теория и задачи механики сплошных сред/ Д. Мейз. - М.: Мир, 1974.318 с.
Илюкович, Б.М. Введение в теорию пластичности/ Б.М. Илюкович. - Киев: Высш. шк. 1983. - 160 с.
Гунн, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением/ Г.Я. Гунн. - М.: Металлургия, 1980. - 456 с.
Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением/ Е.А. Попов. - М.: Машиностроение, 1971. - 424 с.