3. Основные уравнения теории упругости

Основной закон упругости может быть записан в следующей форме:

,

где – упругие константы.

Применяется и следующий вид этого уравнения:

.

В случае ортотропного тела закон Гука через технические константы выра­жается таким образом:

, ;

, ;

, .

Часто вместо индексов ,,принимают индексы 1, 2, 3. Например,.

Ввиду изотропного материала основной закон упругости в прямой форме выражается фор­мулами

, ;

, ;

, .

Его можно представить также и в виде двух законов: закона изменения объ­ема

и закона упругого изменения формы тела .

Здесь – объемный модуль упругости.

Закон Гука в обратной форме

, ,

, ,

, ,

где - коэффициент Ляме,

.

Модуль сдвига

.

Задачи

1. Определить относительные линейные, угловые и объемные деформации в изотроп­ном теле по данным табл. 7:

Таблица 7

2. Из уравнения, выражающего обобщенный закон упругости для изотроп­ного мате­риала, получить выражение закона Гука для следующих случаев:

   1. одноосное растяжение;

   2. одноосное сжатие;

   3. двухосное растяжение;

   4. .

3. Для неметаллических ортотропных материалов определены уп­ругие по­стоянные в табл. 8.

Таблица 8

Для напряженного состояния, заданного тензором

,

определить линейные, угловые и объемные деформации.

4. Компоненты материального тензора, входящего в уравнения упругости , при изотропном теле можно представить следующим образом:

.

Для данного случая записать закон Гука через постоянные и.

5. Показать, что можно разбить на две группы:

и .

Здесь и– компоненты девиаторов напряжений и деформаций.

6. Замерены следующие деформации табл. 9:

Таблица 9

Используя данные по упругим постоянным, приведенным в задачах 7.1 и 7.2, опре­делить напряженные состояния материала. Используя данные таблицы, представить закон Гука в виде законов изменения объема и формы тела. Пока­зать также зависимости .

7. Стержень длиной равномерно растянут в пределах упругой деформации на вели­чину. Определить перемещения точек тела,,и возникающие напряжения для следующих случаев:

1. стержень имеет круглое сечение;

2. стержень имеет квадратное сечение.

8. Определить, под действием каких сил находится круглый цилиндрический стер­жень, если его перемещения выражаются функциями

, ,.

9. Вывести следующие зависимости между упругими постоянными:

, .

10. Образец упруго растянут с относительной деформацией . Модуль нор­мальной упругости 196 ГПа, коэффициент Пуассона. Определить относи­тельное изменение объема образца.

11. Куб размерами м подвергнут осадке на величинув преде­лах уп­ругости. Коэффициент Пуассона. Определить объемную дефор­мацию.

12. Стальная деталь нагружена и замерены следующие упругие деформации: ,,,,. Найти напряженное состоя­ние детали, еслиМПа,.