4.Формула полной вероятности.

Теорема.Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, B3,…,Bn ,образующих полную группу, равен сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A :

Р(А)=Р(В₁)*Р(А/В₁)+Р(В₂)*Р(А/В₂)+…+Р(В_п)*Р(А/В_п)

5.Теорема гипотез.

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий

B1, B2, B3,…,Bn ,

которые образуют полную группу.

Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности

Р(А)=Р(В₁)*Р(А/В1)+Р(В₂)*Р(А/В₂)+…+Р(В_п)*Р(А/В_п)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A .

Определим, как изменились (в связи с тем, что событие A уже наступило) вероятности гипотез.

Другими словами найдем условные вероятности

Р(В₁/А), Р(В₂/А),…, Р(В_п/А)

Найдем условную вероятность Р(В₁/А)

По теореме умножения имеем: Р(А*В₁)=Р(А)*Р(В₁/А)=Р(В₁)*Р(А/В₁)

Р(В₁/А)=(Р(В₁)*Р(А/В₁))/Р(А)

По формуле полной вероятности: Р(А)=Р(В₁)*Р(А/В₁)+Р(В₂)*Р(А/В₂)+…+Р(В_п)*Р(А/В_п) тогда: Р(А/В₁)=( Р(В₁)*Р(А/В₁))/( Р(В₁)*Р(А/В₁)+Р(В₂)*Р(А/В₂)+…+Р(В_п)*Р(А/В_п))

Условная вероятность гипотезы: Р(В_i/А),i=1, 2,…,n

Вычисляем по формуле:

Р(А/В_i)=( Р(В_i)*Р(А/В_i))/( Р(В₁)*Р(А/В₁)+Р(В₂)*Р(А/В₂)+…+Р(В_п)*Р(А/В_п))- формула Байеса

6.Понятие случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами: X, Y, Z

а их возможные значения ‑ соответствующими строчными буквами: x,y, z

Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x₁, x₂, x₃

Закон распределения случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между её возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения можно задать:

• таблично,

• аналитически (в виде формулы),

• графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая ‑ их вероятности.

По определению в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, а значит события X=x₁, X=x₂, X=x_n

Образуют полную группу событий, и следовательно

P(X=x₁)+P( X=x₂)+P( X=x_n)=p₁+p₂+…p_n=1

7. Функция распределения случайной величины, ее свойства.

Непрерывная СВ не может быть задана с помощь закона распределения (невозможно указать все значения НСВ).

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. F(x)=p(X<x)

Свойства функции распределения

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1] (как вероятность по определению): 0<=F(x)<=1

2. Функции распределения - неубывающая функция, т. е. F(x₂)>=F(x₁), если х₂>=x₁

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b) , то: 1) F(x)=0 при x<=a 2) F(x)=1 при X>=b

Cледствия:

1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<=X<=b)=F(b)-F(a)

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ox, то справедливы следующие предельные соотношения: 1) limF(x)=0 (x->бесконечность) 2) limF(x)=1 (x->бесконечность)