1.Классическое определение вероятности.

Вероятность – одно из основных понятий т.вероятности.

Вероятность – число, которое характеризует степень возможности появления событий.

Вероятность события А – отношение числа благоприятствующих этому событию исходов (м) к общему числу всех равновозможных, несовместимых элементарных исходов, образующих полную группу (п) Р(А)=м/п

Свойства вероятностей:

1. Вероятность достоверного события равна 1

2. Вероятность невозможного события равна 0

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1 (0<P(A)<1)

• Вероятность любого события удовлетворяет условию : 0<P(A)<1

2.Правила сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствие.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+…+А_п)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_п)

Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2 ,…, An, образующих полную группу, равна единице:

Р(А)+Р(Â)=1

Пример. (Бросание игральной кости. Бросание монеты)

Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать Â.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р(Â)=1

Замечание 1. Вероятность одного из двух противоположных событий в литературе принято обозначать через p , то вероятность другого события обозначают через q .

Таким образом, в силу предыдущей теоремы:

p+q=1

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Замечание 1

Для независимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)

Для зависимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В/А)

Замечание 2.Если события A и B несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, Р(А)*Р(В)=0

Формула для несовместных событий принимает вид : Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Т.е. имеет место теорема сложения для несовместных событий. Таким образом, формула справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

3.Правила умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

Произведением двух событий A и B называют событие AB , состоящее в совместном появлении этих событий.Например, если A - деталь годная, B - деталь окрашенная, то AB - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.Например, если A, B, C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью P(B/A) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.

Условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна: Р(А*В)=Р(А*В)/Р(А), Р(А)>0

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)

Замечание.

Р(В*А)=Р(В)*(А/В)

Р(В*А)=(А*В)

А значит Р(А)*Р(В/А)= Р(В)*(А/В)

Независимые события

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р(В/А)=Р(В)

При этом доказано, что если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(А)*Р(В)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.