15. Равномерное распределение.

Равномерным называется распределение случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [a, b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке (рис.4). Таким образом,

.

Рис.4. График плотности равномерного распределения

Значение выбрано с тем расчетом, чтобы площадь под "ступенькой" была бы равна единице.

Пример. Предположим, что поезда метро идут с одинаковыми интервалами, равными 4 мин. Обозначим через X - время ожидания пассажиром очередного поезда метро. Это случайная величина, имеющая равномерное распределение на промежутке [0,4].

Найдем вероятность того, что пассажир будет ожидать очередного поезда в течение 3 мин. Чтобы такое событие произошло, пассажир должен прийти на станцию через 1 мин. после отправления предыдущего поезда, и тогда

.

Равномерное распределение является основным при получении случайных чисел с любыми другими законами распределения.

Пример. Случайная точка бросается в промежуток [3, 5]. Считая, что ее координата имеет равномерное распределение, найти и построить график функции распределения вероятностей.

Если x3, то

Если 3<x  5, то .

Если x>5, .

График функции распределения показан на рис.

Рис. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины.

Числовые характеристики равномерного распределения: математическое ожидание , дисперсия.

16. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Плотность показательного распределения имеет вид

,

где>0 - постоянный параметр (рис.5).

Рис.5. График плотности показательного распределения.

Две области применения показательного распределения:

• Задачи, связанные с «временем жизни», к которым относятся в медицине - продолжительность жизни больных, в надежности - продолжительность безотказной работы устройства, в психологии - время, затраченное на выполнение тестовых задач.

• Задачи массового обслуживания, в которых речь идет об интервалах времени между телефонными звонками, или между моментами поступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обращения клиентов.

Параметр  это величина, обратная или среднему «времени жизни», или среднему времени между вызовами. Величина  есть среднее число событий в единицу времени и называется интенсивностью потока событий. Размерность интенсивности .

Показательное распределение является одним из важнейших в теории надежности. Пусть X - случайная величина, выражающая время безотказной работы какого-либо элемента, а  - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени). Тогда вероятность отказа элемента за время t равна функции распределения случайной величины X: .

Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за времяt: (см. рис.).

Пример. Время безотказной работы элемента подчинено показательному распределению с параметром . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 час, в течение 50 час.

Используя функцию надежности , получим

,

.

Показательное распределение выделяется среди других свойством «отсутствия памяти».

Пусть X - время службы некоторого изделия с показательным законом распределения. «Отсутствие памяти» означает, что изделие, проработавшее время t, имеет такое же распределение, что и новое, только что начавшее работу, изделие. Математически это свойство выражается в виде

.

Данное свойство как бы исключает износ и старение изделия.

Числовые характеристики показательного распределения ,.