10. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений. Пусть случайная величина задана таблицей распределения вероятностей

Тогда математическое ожидание M(X) определяется по формуле

, или .

Так как , тоM(X) является взвешенной средней арифметической значений случайной величины при весах.

Пример. Продавец мороженого в солнечный день может заработать 360 руб., а в дождливый день - 120 руб. Чему равна ожидаемая выручка от дневной продажи мороженого, если вероятность того, что день окажется дождливым равна 0,35.

Ожидаемая выручка есть математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей распределение

Поскольку

руб.,

то ожидаемая выручка составит 276 руб. Графическая иллюстрациядана на рис.2.

Рис.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

и его механический смысл

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью называется число, определяемое равенством

(при условии, что интеграл абсолютно сходится).

Геометрически математическое ожидание случайной величины равно абсциссе центра тяжести фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

Пример. Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения

.

Вычислим математическое ожидание

.

Графическая иллюстрация приведена на рис.3.представляет собой абсциссу центра тяжести треугольника.

Рис.3. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

и его механический смысл

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Более удобной для вычисления дисперсии является следующая формула:

.

Если ввести обозначение , то формула для дисперсии дискретной случайной величины запишется в виде

,

а для непрерывной случайной величины - в виде

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется величина

.

Дисперсия и среднее кваратическое отклонение характеризуют величину разброса значений случайной величины около ее математического ожидания (см.рис.).

Рис.

11. Схема независимых испытаний Бернулли.

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, каждое их которых имеет два исхода и. Пусть,.

Схема Бернулли является математической моделью, которая пригодна для описания следующих физических экспериментов:

1) последовательность бросания монеты с 2-мя исходами при каждом бросании: - выпадение герба,- выпадение числа. Если монета правильная, то.

2) последовательность выстрелов, производимых стрелком по цели с вероятностью попадания в цель. Событиесоответствует попаданию в цель, событие- промаху.

3) массовое производство каких-либо изделий. Даже во время нормальной работы иногда изготавливаются изделия, не соответствующие стандарту, то есть дефектные. Какое именно изделие окажется негодным, сказать заранее невозможно. Обозначим долю дефектных изделий через . Событиеозначает, что взятое наудачу изделие окажется дефектным, событиеозначает, что взятое наудачу изделие окажется стандартным.

Можно сказать, что технологический процесс массового производства математически представляется схемой испытаний Бернулли. Подсчет числа дефектных изделий делается для контроля технологического процесса. При массовом производстве сплошная проверка качества изготовленных изделий обычно неоправданна. Поэтому для контроля качества из произведенной продукции наудачу отбирают определенное количество изделий. Обозначим это число n. В результате их проверки регистрируют количество бракованных изделий. Их число обозначим через X. В зависимости от значения X принимают то или иное решение о состоянии производственного процесса. Теоретически X может принимать любые целые значения от 0 до n включительно, но, конечно, вероятности этих значений различны. Для того, чтобы делаемые по значению X выводы были обоснованными, требуется уметь вычислять вероятности значений случайной величины X.

Предположим, что схема Бернулли состоит из n независимых испытаний. Обозначим через вероятность того, что событие появится вn испытаниях ровно m раз, где m=0,1,2,…,n. Имеет место формула Бернулли

.

Пример 1. Вероятность выпуска дефектного изделия в условиях данного производства равна . Из продукции выбрано наудачуn=3 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется одно дефектное изделие, два дефектных изделия.

По формуле Бернулли получим вероятность одного дефектного изделия . Вероятность двух дефектных изделий равна .