8. Случайная величина и закон ее распределения.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение из некоторого числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, …, а принимаемые ими значения - соответствующими строчными буквами x, y, … .

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать.

Пример. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина с возможными значениями: 0, 1, 2, …, 100. Это дискретная случайная величина.

Пусть - возможные значения случайной величиныX дискретного типа. Каждому значению отвечает определенная вероятность. Дискретная случайная величина задается таблицей распределения вероятностей

X			…
P			…

При этом сумма всех вероятностей равна 1, то есть .

Пример. Составить таблицу распределения случайной величины X, равной числу очков, выпавших при подбрасывании правильной игральной кости.

Может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Поэтому случайная величина может принять одно из этих 6 значений, причем с одинаковыми вероятностями. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна единице, то . Таблица распределения вероятностей имеет вид

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Очевидно, что множество возможных значений непрерывной случайной величины является бесконечным.

Пример. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина (рис.1). Возможные значения этой случайной величины X принадлежат промежутку [0, ). Это непрерывная случайная величина.

Рис.1.

Случайная величина непрерывного типа задается плотностью распределения вероятности , с помощью которой можно определять вероятности любых событий вида:, а именно,

.

График функцииназывается кривой распределения. Он изображен на рис.1.

Рис.1. Геометрический смысл вероятности события

Функция плотности распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

1. ,

2. .

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Для дискретной случайной величины закон распределения задается таблицей, а для непрерывной случайной величины - плотностью распределения вероятностей.

9. Функция распределения случайной величины.

Рассмотрим функцию . Эта функция называетсяфункцией распределения вероятностей случайной величины X. Она существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятностей:

1. - неубывающая функция, ,

2. ,

3. .

График функции имеет вид, изображенный на рис.

Рис.

4. Для дискретной случайной величины X график - ступенчатая линия, а для непрерывной случайной величиныX график - непрерывная линия.

5. Если X -непрерывная случайная величина, то

.

Отсюда следует, что , и значит.

Основными видами дискретных распределений, наиболее часто используемых на практике, являются биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение и др. К основным видам непрерывных распределений относятся равномерное, показательное, нормальное, Эрланга, гамма-распределение, распределение Вейбулла, распределение и др.

Основные свойства этих распределений будут рассмотрены далее.