Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет)

Кафедра «Прикладная математика»

И.А. Александрова, В.М. Гончаренко

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Руководство к решению задач

Учебное пособие для подготовки бакалавров

Одобрено кафедрой «Прикладная математика», протокол № 7 от 3 февраля 2012 г.

Москва 2012

УДК

ББК

Рецензенты: В.В. Киселев, доцент, к. ф.-.м. н. (Финуниверситет) И.Б. Тесленко, д.э.н. (Владимирский Государственный университет)

Александрова И.А., Гончаренко В.М. Методы оптимальных решений. Руководство к решению задач: учебное пособие для подготовки бакалавров. М.: Финуниверситет, 2012. 116 с.

ISBN

Впособии рассматриваются различные методы оптимизации, кокоторые применяются для решения прикладных задач экономики и финансов. Последовательно рассматриваются различные виды функций, возникающих в экономических задачах и их свойства, варианты постановки и методы решения транспортной задачи, методы решения задач целочисленного программирования и многокритериальной оптимизации, элементы теории игр и методы динамического и выпуклого программирования. Изложение сопровождается различными примерами задач, возникающих из практики, и составлено в полном соответствии с программой дисциплины «Методы оптимальных решений», входящей в базовую часть математического цикла ФГОС по направлению «Экономика» подготовки бакалавров.

Вкаждом параграфе имеются задачи для самостоятельного решения, все они снабжены ответами. По каждой теме приводится краткий перечень основных теоретических положений, разбираются наиболее важные примеры, определяющих основные требования к знаниям и умениям студентов.

Пособие предназначено для подготовки бакалавров экономики и менеджемента Финакадемии. Оно может быть использовано как для проведения семинарских занятий, так и для организации самостоятельной работы студентов.

2

С о д е р ж а н и е

Введение………………………………………………………………... 5

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ………………. 6

1.1.Функция спроса и ее эластичность……………………………. 6

1.2.Функция предложения и рыночное равновесие………………... 9

1.3.Предельные величины в экономике и оптимизация прибыли…………………………………………………………………. 11

1.4.Основные виды функций нескольких переменных в экономических

задачах…………………………………………………………………... 14

1.5.Предельная полезность товара и предельная норма замещения………………………………………………………...………19

1.6.Критерий оптимального набора товаров и оптимального производственного плана……………………………………………… 21

Глава 2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА………………………………… 23

2.1.Постановка задачи……………………………………………… 23

2.2.Построение начального опорного плана транспортной

задачи…………………………………………………………………… 25

2.3.Решение транспортной задачи методом потенциалов……… 29

2.4.Открытая модель транспортной задачи…………………….. 33

2.5.Определение оптимального плана транспортных задач с дополнительными ограничениями……………………………………. 36

Глава 3. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА…………………… 43

3.1.Симплекс-метод решения задач линейного программирования 43

3.2.Метод искусственного базиса…………………………………. 47

Глава 4. ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 53

4.1.Постановка задачи. Графический метод решения…………… 53

4.2.Двойственный симплекс-метод………………………………... 55

4.3.Метод Гомори…………………………………………………… 60

Глава 5. ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ... 67

5.1.Общая постановка задачи многокритериальной оптимизации. Парето-эффективное множество………………………………….... 67

5.2.Методы решения многокритериальной задачи оптимизации…

…………………………………………………………………………… 72

Глава 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР…………………………………. 79

6.1.Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры………… 79

6.2.Решение игры в смешанных стратегиях……………………… 81

6.3.Приведение матричной игры к задаче линейного программиро-

вания……………………………………………………………………. 85 6.4. Игра с природой………………………………………………… 88

Глава 7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ И ТЕОРЕМА КУНА-ТАККЕРА 92 7.1. Выпуклые функции……………………………………………… 92

3

7.2. Теорема Куна-Таккера………………………………………….. 96

Глава 8. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

8.1.Задача динамического программирования…………………… 103

8.2.Задача о распределении средств между предприятиями…... 104

Ответы…………………………………………………………………. 109

Рекомендуемая литература…………………………………………… 116

4

В в е д е н и е

Пособие предназначено для подготовки бакалавров и написано в соответствии с двумя основными целями.

Первая из них состоит в том, чтобы продемонстрировать, как основные знания, полученные при изучении базовых дисциплин «Математический анализ», «Линейная алгебра» и «Теория вероятностей и математическая статистика» применяются для решения экономических задач, возникающих на практике.

Второй основной целью данного пособия является формирование навыков по составлению математических моделей различных задач оптимизации, возникающих в экономике, и применению многообразия математических методов для их решения.

Последовательно рассматриваются различные виды функций, возникающих в экономических задачах и их свойства, варианты постановки и методы решения транспортной задачи, методы решения задач целочисленного программирования и многокритериальной оптимизации, элементы теории игр и методы динамического и выпуклого программирования.

Изложение сопровождается различными примерами задач, возникающих из практики, и составлено в полном соответствии с программой дисциплины «Методы оптимальных решений», входящей в базовую часть математического цикла ФГОС по направлению «Экономика» подготовки бакалавров.

Главы 5, 6 написаны И.А. Александровой, а главы 1-4, 7-8 – В.М. Гончаренко. Один из авторов (В.М. Гончаренко) хотел бы выразить свою благодарность студенту 4-ого курса факультета «Математические методы и анализ рисков» Д. Щуровскому за указания и исправления опечаток в методическом пособии [5], материалы которого стали основой некоторых глав этой книги.

5