Образцы базовых задач по ЛА
.pdfСтр. 1 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Образцы базовых задач по ЛА
Метод Гаусса
Определенные системы линейных уравнений
1.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
5x − 3y = − 8,
6x − y = 6.
2.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
−5x1 +4x2 = 14,
5x1 − 3x2 − 4x3 = − 28,
3x2 − 2x3 = 8.
3.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
−x− y+ 2z = 9,
9x− 3y− 4z = − 43,
−3x+ 7y− 6z = − 5.
Определённые системы линейных уравнений в матричной форме
4. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:
−2 |
5 |
x |
11 |
|
|
|
= |
|
. |
−5 |
6 |
y |
−5 |
|
5. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:
0 |
−1 |
5 |
x1 |
−10 |
18 |
6 |
5 |
x2 |
= −29 . |
3 |
2 |
0 x3 1 |
||
6. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:
4 |
−4 |
−10 |
x |
−54 |
−4 |
−10 |
7 |
y = 117 . |
|
−3 6 |
8 |
z 26 |
||
Общие и базисные решения систем линейных уравнений (с указанием)
7.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
−x1 +9x2 − x3 = 2,
−2x1 + 8x2 +3x3 = 24,
−x1 +5x2 + x3 = 10,
Стр. 2 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
выбрав в качестве базисных переменных x1 и x3 .
Линейные пространства
Линейная зависимость и линейная независимость системы арифметических векторов
8. Найдите базис системы векторов e1 = (− 9;4;11), e2 = (7; − 1; − 5), e3 = (5;2;1).
9. Найдите базис системы векторов e1 = (1, − 9, − 9), e2 = (1, − 2, − 4),e3 = ( − 4,1,2).
Ранг системы арифметических векторов
10.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (16; − 12;8), e2 = (12; − 9;6),e3 = (20; − 15;10).
11.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;5; − 10), e2 = (− 1; − 2;5),e3 = (5;0; − 5), e4 = (3; − 1; − 1).
12.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (6; − 3;0), e2 = (0; − 4; − 2),e3 = (8;7;5).
Операции над векторами
13. Найдите арифметический вектор v, удовлетволяющий уравнению
|
|
3(v− a)+2(v− b)+ 3(v− c) = 0, |
если a = (− 1;5; − 3), b = (− 5;1;6), c = ( − 3; − 2;2). |
Скалярное произведение
14.Найдите длину вектора v = 3e1 − 4e2 − 3e3, где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.
15.Выясните, какой из векторов v = 2e1 + 2e2 + 3e3 и w = 6e1 − 5e2 +3e3 короче? Здесьe1, e2, e3 — ортонормированный базис. В ответе укажите длину более короткого вектора.
16.Найдите длину вектора v = a− 2b, если a = (− 2;1;2), b = (− 2; − 2;1).
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
17.Вычислите скалярное произведение векторов v = e1 + 4e2 − 4e3 и w = 6e1 − 5e2 + e3, где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.
18.Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что v = 13,
w = 10 и угол между векторами v и w равен 150 .
19.Найдите косинус угла между векторами v = (− 1; − 2;3) и w = (− 3; − 6;1). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
20.Выясните, угол между векторами v = e1 − 3e2 +3e3 и w = 4e1 +3e2 − e3 острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Здесь e1, e2, e3 — ортонормированный базис.
21. Вычислите
5a+ b,
между векторами и
a b.
|
3 |
если известно, что a = 1, b = 4 и cosα = − |
, где α — угол |
|
4 |
|
|
|
22. Даны вектора a = ( − 4;3; − 3), b = (4;1;1), c = (− 3;2;3). Вычислите |
||
2 |
2 |
|
Φ = b |
− c |
+(a,b) (a,c). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. |
Стр. 3 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Разложение вектора по базису
23. Разложите вектор v = (22; − 54) по базису e1 = ( − 4;8), e2 = (− 2;6).
Разложение вектора по ортогональному базису
4 |
|
−1 |
|
24. Является ли базис e1 = |
, e2 = |
|
ортогональным? Если да, то разложите |
1 |
|
|
4 |
−2
вектор v = по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном
3
базисе.
|
|
2 |
|
3 |
25. Является ли базис e1 = |
|
, e2 = |
ортогональным? Если да, то разложите |
|
|
−3 |
−2 |
||
|
1 |
|
|
|
вектор v = |
по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном |
|||
−1
базисе.
26. Дополните вектор e1 = (− 2; − 4) до ортогонального базиса вектором вида e2 = (x;y)
так, чтобы e2 = 3√5 и x > 0, и разложите вектор v = (8; − 7) по этому базису.
Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.
Матрицы
Однородные системы уравнений
27. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений
−6x1 + 24x2 +36x3 − 42x4 = 04x1 − 16x2 − 24x3 +28x4 = 0
3x1 − 12x2 − 18x3 +21x4 = 0
28.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений
21x1 − 9x2 − 3x3 = 0
6x1 − 2x2 +14x3 = 03x1 − x2 +7x3 = 0
Нахождение ранга матрицы
|
0 |
0 |
. |
29. |
Найдите ранг матрицы 0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
30. |
1 |
−5 |
|
Найдите ранг матрицы |
|
. |
|
|
5 |
−25 |
|
Стр. 4 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
27 |
12 |
−19 |
25 |
. |
31. Найдите ранг матрицы −6 |
0 |
22 |
14 |
|
8 |
5 |
4 |
18 |
|
−20 |
−24 |
−23 |
. |
32. Найдите ранг матрицы 2 |
−8 |
10 |
|
−17 |
−20 |
6 |
|
|
|||
−10 |
−16 |
21 |
|
Транспонирование матриц
33. Транспонируйте матрицу
−8 |
9 |
|
−1 |
8 |
|
−3 |
−4 |
|
Умножение матриц
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
34. |
Вычислите произведение 5 |
0 −6 . |
|
|
|
|
||
|
8 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
35. |
Вычислите произведение −3 |
−4 −2 2 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
36. |
|
−3 4 |
5 |
0 |
−6 |
4 |
||
Вычислите A+ B CT, если A = |
, B = |
|
|
и C = |
. |
|||
|
|
5 |
4 |
−4 4 |
1 |
−5 |
||
37. |
Вычислите BA+ AB, если A = |
−3 |
2 |
|
4 |
0 |
|
|
|
и B = |
|
|
. |
|
|||
|
|
−3 |
1 |
−5 |
−4 |
|
||
|
−2 |
0 |
4 |
−3 |
|
|
|
|
38. |
Вычислите произведение −2 |
−3 |
0 −2 . |
|
|
|
||
|
−3 |
2 |
−2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
−3 |
|
|
|
39. |
Вычислите произведение −2 |
0 −5 1 |
−2 |
−2 . |
|
|||
|
−2 |
−2 |
1 |
3 |
2 |
40. Вычислите произведение |
|
−2 |
2 |
1 |
−2 |
5 |
−1 |
2 |
1 . |
||
|
−6 |
−2 |
|
|
|
Стр. 5 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
2 |
−2 |
−2 |
2 |
3 |
|
1 |
|
. |
|||
41. Вычислите произведение 2 |
−2 |
−2 |
4 |
||
|
|
|
−5 |
−1 |
|
Определитель
Определитель матрицы
42. |
|
|
|
|
7 |
3 |
|
|
Вычислите определитель матрицы A = |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
−6 |
−2 |
|
|
|
| |
5 |
6 |
6 |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
43. |
Вычислите определитель −3 |
0 |
−5 |
| |
|
|
|
|
|. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
−5 |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
−6 |
7 |
|
44. |
Вычислите определитель матрицы A = 6 |
−7 |
−1 . |
|||||
Задачи на определители |
|
|
|
9 |
−2 |
9 |
||
45. |
Вычислите определитель матрицы A−3, если A = |
4 |
4 |
|||||
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
Однородные системы уравнений
46.Выясните, имеет ли данная однородная система
−8x1 +8x2 − 8x3 + 3x4 − 3x5 = 0
−4x1 +9x2 − 3x3 − 2x4 − x5 = 0
−4x1 + x2 − 3x3 +7x4 +7x5 = 0
ненулевые решения? Ответ поясните.
47. Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система
2x1 + 7x2 +8x3 = 0
2x1 − 2x2 − x3 = 02x1 − 5x2 − 4x3 = 0
ненулевые решения? Ответ поясните.
48. Используя теорию определителей, выясните, имеет ли данная однородная система
x1 − x2 − 4x3 = 0
−x1 +4x2 + 4x3 = 0−6x1 − 3x2 + 8x3 = 0
ненулевые решения? Ответ поясните.
Обратная матрица
Стр. 6 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Формулы Крамера
49.Решите систему уравнений с помощью формул Крамера
−6x+ y = − 3,
|
|
|
|
|
|
|
|
7x− 7y = 8. |
|
|
|
||
Вычисление обратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
50. |
|
|
−5 |
3 |
|
|
Вычислите матрицу, обратную к матрице A = |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
6 |
−4 |
51. |
Вычислите матрицу, обратную к матрице A = 8 |
25 |
−17 . |
|||
Решение матричных уравнений |
|
−1 |
−4 |
3 |
||
52. |
−1 |
3 |
15 |
−5 |
|
|
Решите матричное уравнение |
X = |
|
|
. |
|
|
|
−2 |
9 |
48 |
−19 |
|
|
53. |
9 |
−2 |
−108 |
−16 |
||
Решите матричное уравнение X |
= |
|
|
. |
||
|
−9 −6 |
|
−81 |
−30 |
||
Комплексные числа и многочлены
Многочлены и рациональные функции
54. Найдите целые действительные корни многочлена x3 − 6x2 − 8x +16.
−4x3 + 8x2 − x− 1
55.В дроби
выделите целую часть.
x− 1
Вычисления
2i+ 6
56.Вычислите выражение
и представьте результат в виде a + bi.
i− 4
(− 1+ 6i)(− 3+ 4i)
57. Вычислите выражение
и представьте результат в виде a+ bi. 4 − i
Модуль и аргумент комплексного числа
58.Вычислите модуль и аргумент числа z = − 4 − 4i.
59.Пусть u = 4 cos π6 + isinπ6 , v = 3 cos π3 + isinπ3 . Найдите модуль и аргумент
u3
z = ‾v5 . Значение аргумента укажите на отрезке [0,2π].
60. Пусть u = 2 |
|
cos |
π |
π |
, v = 3 |
|
cos |
π |
π |
. Найдите модуль и аргумент |
|
+ isin |
6 |
|
+ isin |
3 |
|||||
|
|
6 |
|
|
3 |
|
z= u6 v8 . Значение аргумента укажите на отрезке [0,2π].
‾
61.Приведите число z = 3√3 − 3i к тригонометрическому виду.
Стр. 7 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Уравнения
62.Найдите комплексные корни уравнения x2 − 14x +58 = 0.
63.Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, одним из корней которого является число z = − 7+2i. Сколько существует таких уравнений?
Линейные операторы
Матрица линейного оператора. Значение оператора на векторе
64. |
Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что |
|
|
|
||
x1 |
|
−8x1 − 2x2 |
|
|
|
|
f |
= |
. |
|
|
|
|
x2 |
6x1 − 7x2 |
|
|
|
||
|
|
|
x1 |
|
−x3 |
. |
65. |
Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что f x2 |
= −5x1 |
||||
66. |
|
x3 |
8x2 |
|
||
Составьте матрицу линейного оператора f, если известно, что f(e1) = 2e1 − 8e2, |
|
|||||
f(e2) = − 4e1 − e2 .
67. Найдите значение линейного оператора f на векторе v = − 4e1 +3e2, если матрица
3 |
−9 |
этого оператора в базисе e1, e2 имеет вид: A = |
. |
−1 |
5 |
−3
68. Найдите значение линейного оператора f на векторе v = 2 , если матрица этого
4
1 |
2 |
5 |
. |
оператора имеет вид: A = −3 |
−4 |
6 |
|
1 |
5 |
−2 |
|
Пересчёт координат вектора при замене базиса
69. |
Найдите матрицу перехода Pef от базиса e1 = ( − 4, − 2), e2 = (− 5, − 4) к базису |
||
|
|
|
|
f1 = ( − 11, − 4), f2 = (12,12). |
|
|
|
Собственные вектора и собственные значения |
|
|
|
Размерность два |
|
|
|
70. |
|
0 |
−1 |
Найдите собственные значения матрицы A = |
|
. |
|
|
−1 |
0 |
|
71. |
−6 |
4 |
|
Найдите собственные значения матрицы A = |
|
. |
|
|
|
9 |
3 |
72. |
−8 |
−4 |
|
Найдите собственные значения матрицы A = |
|
. |
|
|
|
1 |
−4 |
Стр. 8 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
73. |
Найдите собственные значения матрицы A3, |
|
|
8 |
−3 |
|
если A = |
. |
|
||||
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
74. |
Найдите комплексные собственные значения матрицы A = |
3 |
1 |
|||
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
−5 |
1 |
75. |
3 |
−6 |
|
|
||
Найдите собственные вектора матрицы A = |
|
, если даны её собственные |
||||
|
4 |
−7 |
|
|
||
значения λ1 = − 3 и λ2 = − 1. |
|
|
|
|
|
|
Размерность три |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
0 |
. |
|
|
76. |
Найдите собственные значения матрицы 0 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичные формы
Матрица квадратичной формы
77. Составьте матрицу квадратичной формы
Φ(x1 |
,x2 |
,x3) = 3x2 |
− 12x1x2 +10x1x3 |
+6x2 |
+18x2x3 − 7x2 . |
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
78. Составьте квадратичную форму, матрица которой имеет вид |
−4 |
8 |
−1 |
|||||
8 |
−9 |
−3 . |
||||||
Метод Лагранжа |
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
−6 |
79. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму Φ(x1,x2) = 9x12 +12x1x2 + 20x22 к
нормальному виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
Знакоопределённые квадратичные формы
80. C помощью критерия Сильвестра выясните, является ли квадратичная форма Φ(x1,x2) = 2x12 − 2x1x2 − 3x22 положительно определённой, отрицательно определённой или не знакоопределённой.
Канонический вид квадратичной формы
81. Найдите канонический вид квадратичной формы
Φ(x1,x2) = − 30x12 + 5x22 − 120x1x2, к которому её можно привести с помощью подходящего ортогонального преобразования координат.
Аналитическая геометрия (размерность 2)
Уравнение прямой |
|
82. Напишите общее уравнение прямой x +4 |
= y+1 . |
0 |
1 |
83.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки A(2;4) и B(3;2).
84.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(3; − 3) и
Стр. 9 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
B(2;2).
Прямая, перпендикулярная другой прямой
85. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A( − 3; − 8) и
|
x− 3 |
|
y− 2 |
перпендикулярной прямой |
1 |
= |
−7 . |
86.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A( − 4; − 12) и
перпендикулярной прямой 4x− 7y− 9 = 0.
87.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(5;4) и
|
x− 3 |
|
y− 3 |
перпендикулярной прямой |
7 |
= |
4 . |
88. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(6; − 4) и
перпендикулярной прямой 5x− 4y+9 = 0.
Прямая, параллельная другой прямой
89.Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку A(10; − 4) и
параллельной прямой 8x− 3y− 19 = 0.
90.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A( − 2;7) и
параллельной прямой x +5 = y− 8 .
1−2
91.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(0;1) и
|
|
x − 3 |
y+2 |
|
|
|
|
параллельной прямой |
−8 = |
0 . |
|
|
|
|
|
Точка пересечения прямых |
|
|
|
|
|
||
92. |
Найдите точку пересечения прямых 4x − y− 8 = 0 и x− y+1 = 0. |
||||||
93. |
Найдите точку пересечения прямых x− 54 |
= y+43 |
и 5x+ 7y− 32 = 0. |
||||
|
|
|
8 |
−7 |
|
|
|
94. |
Найдите точку пересечения прямых x+5 = y− 2 |
и x− 6 = y− 15 . |
|||||
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
4 |
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки
95.Найдите расстояние между точкой A( − 5; − 8) и прямой 5x − 7y+2 = 0.
96.Найдите расстояние между точкой A(2;1) и прямой x +3 = y− 1 .
3 7
Углы между прямыми
97.Найдите угол между прямыми 7x − 4y+4 = 0 и 7x − 3y− 4 = 0.
98.Найдите угол между прямыми x+3 = y− 7 и 9x +4y+4 = 0.
|
−2 |
3 |
|
|
99. Найдите угол между прямыми |
x− 4 y− 5 x− 2 y+ 3 |
|||
4 |
= 3 |
и |
−3 = 5 . |
|
Стр. 10 из 15 |
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
2014/2015 уч. год |
Аналитическая геометрия
Уравнение прямой
100.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки
A(− 2; − 4;1;2;4) и B(3;5;5; − 3; − 4).
101.Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(3;1;12;0) и
параллельной прямой x +1 |
= y− 2 |
= z − 9 |
= t +3 . |
5 |
4 |
0 |
1 |
Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры
102. Найдите расстояние между точкой A( − 1;4; − 4) и осью координат Oz.
Уравнение плоскости
103.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости 6x +2y+ 4z +9 = 0 и проходящей через точку A(− 4; − 2; − 7).
104.Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной плоскости Oxy и проходящей через точку A(− 8;0; − 4).
105.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку A( − 5;0; − 6) и
перпендикулярной прямой x− 3 = y+ 8 = z + 7. −6 6 8
106.Напишите общее уравнение плоскости, перпендикулярной координатной оси Ox и проходящей через точку A(2;3;3).
107.Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(0;0;5),
B(0; − 6;0) и C(3;0;0).
108. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки A(− 7; − 5;8),
B(5; − 5; − 8), C( − 6; − 8;5).
Углы между прямыми и плоскостями |
|
|
|
|
|||
109. Найдите угол между прямыми x1 + 7 = x2 +2 = x3 +3 = x4 + 4 |
и |
||||||
|
|
|
4 |
−6 |
4 |
2 |
|
x1 − 2 = x2 +4 = x3 − 4 = x4 − 7. |
|
|
|
|
|||
1 |
−6 |
0 |
4 |
|
|
|
|
110. Найдите угол между плоскостями 5x− 2y+2z +9 = 0 и 6y+ z +4 = 0.
111. Найдите угол между прямой x+3 |
= y+ 7 |
= z +4 |
и плоскостью |
0 |
7 |
3 |
|
3x − 4y+ 5z − 1 = 0. |
|
|
|
Отрезки и лучи
112. Найдите длину отрезка с концами в точках A(3; − 4;1) и B(− 3;1;0).
Расстояние между точкой и плоскостью, проекция точки на плоскость и т.д.
113. Найдите расстояние между точкой A(4;5;5) и плоскостью 7x+ 7y+ 8z − 4 = 0.
Пересечение прямой и плоскости