Образцы решения экзаменационных задач I

Образцы решения экзаменационных задач I.

Задачи на расчет сделок с комиссией.

Задача 1.

Инвестор открыл портфельную сделку, купив 100 акций A по $100,00 и продав 40 акций В по $40,00. Спустя полгода он закрыл сделку по ценам $120,00 и $30,00 соответственно. За полгода по акциям А и В были получены дивиденды $10 и $5. Налог взимается с сальдо полного дохода сделки по ставке τ=15,00%. Годовой темп инфляции равен 10,00%, а ставка комиссии составляет α=2,00%.

Решение. Согласно условию позиции портфеля по активам: z_A = 100, z_B = -40;

начальные цены: P₀^A =$100,00 P₀^B =$40,00; а конечные P₁^A =$120,00 P₁^B =$30,00;

Тогда начальные стоимости позиций:

S₀^A = z_A ∙P₀^A =100∙ $100,00 = $10 000,00; S₀^В = z_В∙P₀^В = -40∙ $40,00 = - $1600,00;

начальная стоимость портфеля

S₀ = S₀^A + S₀^B = $10 000,00 - $1600,00 = $8400,00.

Соответственно конечные стоимости позиций:

S₁^A = z_A ∙P₁^A =100∙ $120,00 = $12 000,00; S₁^В = z_В∙P₁^В = -40∙ $30,00 = - $1200,00;

конечная стоимость портфеля

S₁ = S₁^A + S₁^B = $12 000,00 - $1200,00 = $10800,00.

Ценовой доход портфеля равен

I^(p) = S = S₁ - S₀ = $10800,00 - $8400,00 = $2400,00

а текущий

I^(с) = z_A ∙ I_A^(с) + z_B ∙ I_B^(с) = 100∙$10,00 - 40∙$5,00 = $800,00

Начальный оборот сделки равен

S₀ = S₀^A +  S₀^B = $10 000,00 + $1600,00 = $16 000,00.

Начальная комиссия

С₀ = αS₀ = 0,02∙ $16 000,00 = $320,00

Конечный оборот сделки равен

S₁ = S₁^A +  S₁^B = $12 000,00 + $1200,00 = $13 200,00.

Конечная комиссия

С₁ = αS₁ = 0,02∙ $13 200,00 = $264,00

Полная комиссия

С = С₀ + С₁ = $320,00 + $264,00 = $584,00

Ценовой доход с учетом комиссии равен

I_α^(p) = I^(p) – С = $2400,00-$584,00 = $1816,00

Полный доход с учетом комиссии

TI_α = I_α^(p) + I^(с) = $1816,00 + $800,00 = $2616,00.

Налог на полную прибыль

Tax = TI_α∙ τ = $2616,00∙0,15 = $392,40.

Чистая прибыль

NTI = $2616,00 - $392,40 = $2223,60.

Начальный капитал сделки

W₀ = S₀ + C₀ = $8400,00 + $320,00 = $8720,00

Доходность портфеля за период (полгода)

r_1/2 = NTI/W₀ = 0,255 или 25,5%.

Эффективная годовая доходность

y_эф = (1+r_1/2 )^(1/0,5)-1 =(1+0,255)²-1= 0,5750 или 57,50% годовых.

Реальная чистая годовая доходность равна (согласно ф-ле Фишера)

или 43,18% годовых.

Задача 2.

Инвестор с капиталом в 100 000$ сформировал портфель из акций A и B с вектором весов

w = (1,5; -0,5) Начальные цены акций $100,00 и $40,00 соответственно. Найти вектор позиций сделки с учетом комиссии равной 2,00% .

Решение. Обозначим через S₀ начальную стоимость портфеля. Тогда суммы средств вложенных в активы А и В будут равны

S₀^A = w_A ∙S₀ =1,5∙ S₀; S₀^B = w_B ∙S₀ = -0,5∙ S₀;

Начальный оборот портфеля равен

S₀ = S₀^A +  S₀^B =w_A ∙S₀ +  w_B ∙S₀ = S₀(w_A +  w_B ) =2S₀

Тогда начальная комиссия

С₀ = αS₀ = 0,02∙2S₀ = 0,04S₀.

Начальный капитал

W₀ = S₀ + C₀ = S₀ + 0,04S₀= 1,04S₀ = $100 000.

Следовательно

S₀ =$100 000/1,04 = $96153,85.

Тогда

S₀^A = w_A ∙S₀ =1,5∙ $96153,85= $144230,77 и S₀^В= w_В ∙S₀ = -0,5∙ $96153,85= -$48076,92.

Учитывая начальные цены акций, получим позиции по ним в портфеле:

z_A = S₀^A/P₀^A = $144230,77/$100,00 = 1442,31

z_В = S₀^В/P₀^В = -$48076,92/$40,00 = -1201,92.

Задача 3.

Инвестор с начальным капиталом 100000 долл. Формирует портфель из активов А₁ и A₂ по начальной цене $100 и $50 соответственно. Конечная цена активов А₁ и A₂ равна $120 и $40 соответственно. Найти максимальную прибыль за полгода, которую может заработать инвестор с учетом комиссии 2,00% (но без налогов) если веса активов удовлетворяют ограничениям:

a₁= -1 a₂ = -0,5

b₁ = 3 b₂ = 5,5

Решение. Обозначим через S₀ начальную стоимость портфеля. Пусть веса портфеля с наибольшей прибылью равны w₁ и w₂. Тогда как в предыдущей задаче получим

W₀ = S₀ + C₀ = S₀ + αS₀ = S₀[1+ α(w₁ +  w₂ )]

Откуда

S₀ = W₀/[1+ α(w₁ +  w₂ )]

Поскольку

-1≤w₁≤3 и -0,5≤w₂ ≤5,5

То подставляя w₂=1-w₁ в второе неравенство получим

-0,5≤ 1-w₁ ≤5,5

или

-4,5≤ w₁ ≤1,5

Совместно с первым неравенство это дает ограничение на вес первого (более доходного) актива

-1≤ w₁ ≤1,5.

Доходности активов равны соответственно

r₁=$120/$100-1=0,2 и r₂=$40/$50-1= -0,2

Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна

r_π = r₁w₁ + r₂w₂ = r₁w₁ + r₂(1-w₁) = r₂ + w₁(r₁-r₂) = -0,2 +0,4w₁.

Без учета комиссии веса портфеля с наибольшей прибылью будут

w₁ =1,5 и w₂ = -0,5

а максимальная доходность портфеля составит

r_π = -0,2 +0,4∙1,5 = 0,4.

Начальная стоимость такого портфеля будет равна

S₀ = W₀/[1+ α(w_A +  w_B )]=$100 000/1,04 = $96153,85.

Тогда

S₀¹ = w₁ ∙S₀ =1,5∙ $96153,85= $144230,77 и S₀²= 2 ∙S₀ = -0,5∙ $96153,85= -$48076,92.

Начальный оборот портфеля

S₀ = S₀¹ +  S₀² = $144230,77 + $48076,92. = $192307,69.

Начальная комиссия

С₀ = αS₀ = 0,02∙ $192307,69 = $3846,15

Конечные стоимости позиций будут равны

S₁¹ = S₀¹(1+ r₁) = $144230,77∙1,2 = $173076,92

S₁² = S₀²(1+ r₂) = -$48076,92∙0,8= - $38461,54.

Конечная стоимость портфеля

S₁= $173076,92 - $38461,54 = $134615,38

Конечный оборот портфеля

S₁ = S₁¹ +  S₁² = $173076,92 + $38461,54 = $211538,46.

Начальная комиссия

С₁ = αS₁ = 0,02∙ $211538,46 = $4230,77

Полная комиссия

С = С₀ + С₁ = $3846,15 + $4230,77 = $8076,92.

Следовательно прибыль без учета комиссии равна

I^(p) = S = S₁ - S₀ = $134615,38 - $96153,85 = $38461,53

А с учетом комиссии

I_α^(p) = I^(p) – С = $38461,53 - $8076,92 = $30384,61

Поскольку короткие позиции порождают большие обороты и комиссии, необходимо рассчитать вариант инвестирования без коротких позиций, т.е. когда весь капитал (с учетом комиссии) вкладывается в наиболее доходный актив.

В этом случае w₁=1 и w₂ = 0

Поэтому

S₀ = W₀/[1+ α(w_A +  w_B )] = $100 000/1,02 = $98039,22

С₀ = αS₀ = 0,02∙ $98039,22= $1960,78

S₁ = S₁¹ = S₀¹(1+ r₁) = $98039,22∙1,2 =$117647,06

С₁ = αS₁ = 0,02∙ $11764,06 = $2392,54

Полная комиссия

С = С₀ + С₁ = $1960,78 + $2392,54 = $4313,73.

Прибыль без учета комиссии равна

I^(p) = S = S₁ - S₀ = $11764,06 - $98039,22 = $19607,84

А с учетом комиссии

I_α^(p) = I^(p) – С = $19607,84 - $4313,73 = $15294,11

Поскольку эта прибыль меньше той, что получена с использованием короткой позиции по активу с меньшей доходностью то окончательный ответ будет

I_α^(p) = $30384,61

Задача 4.

Пусть на рынке из акций А₁, А₂ и А₃ допустимо формирование портфелей w=(w₁,w₂,w₃)

веса которых удовлетворяют ограничениям a_i ≤ w_i ≤ b_i где

a₁ = 0,1 a₂ = -0,5 a₃= -0,1 0

b₁ =3 b₂ =2,0 b₃= 4 8,4

Начальные цены акций А₁, А₂ и А₃ равны $100,00; $50,00; $80,00 а конечные - $120,00; $55,00; $60,00 соответственно. Какую максимальную прибыль (без учета комиссии и налогов) может получить инвестор с начальным капиталом 10000$, если он формирует допустимый портфель из акций А₁, А₂ и А₃ . Дивиденды не учитывать.

Решение. Найдем сначала доходности активов

r₁=$120/$100-1= 0,2; r₂=$55/$50-1= 0,1 и r₃=$40/$80-1 = -0,5

Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна

r_π = r₁w₁ + r₂w₂ + r₃w₃= 0,2w₁ + 0,1w₂ -0,5w₃ ; w₁ + w₂ + w₃ =1.

Поскольку доходность линейная функция весов (при заданных доходностях активов) то максимальное значение возможно только на граничных значениях этих весов. Это означает что начав с любого допустимого портфеля нужно максимальным образом увеличивать веса более доходных и на ту же величину (чтобы сохранить портфельное ограничение – сумму весов равной 1) уменьшать веса менее доходных активов.

Возьмем в качестве исходного портфель

w₁ = 0,1; w₂ = -0,1; w₃ =1.

Это, очевидно, допустимый портфель. Его доходность

r_π = 0,2∙0,1 - 0,1∙0,1 -0,5∙1= -0,49

Будем увеличивать вес w₁ (наиболее доходного актива) А₁ и одновременно уменьшать на эту же величину вес w₃ (самого низкодоходного) актива А₃ . Предельное возможное увеличение w₁ (с 0,1 до 3) составляет 3-0,1= 2,9 а предельное возможное уменьшение w₃ (с 1 до -0,1) составляет 1-(-0,1)=1,1. Это значит, что одновременно можно увеличить w₁ на 1,1 с 0,1 до 1,2, и уменьшить w₃ с 1 до предельного значения -0,1. Поэтому получился новый портфель

w₁=1,2; w₂ = -0,1; w₃ = -0,1

с доходностью

r_π = 0,2∙1,2 - 0,1∙0,1 +0,5∙0,1 = 0,28.

Поскольку уменьшать вес w₃ более невозможно, будем увеличивать вес w₁ актива А₁ (более доходного чем А₂ ) и одновременно уменьшать вес w₂ менее доходного актива А₁ . Предельное увеличение w₁ (с 1,2 до 2) составляет 2-1,2=0,8 а предельное уменьшение веса w₂ (с -0,1 до -0,5)

составляет -0,1- (-0,5) = 0,4. Поэтому одновременно возможно только увеличить вес w₁ на 0,4 с 1,2 до 1,6 и уменьшить w₂ на 0,4 с -0,1 до -0,5 предельного значения -0,5. В итоге получим портфель

w₁=1,6; w₂ = -0,5; w₃ = -0,1

с доходностью

r_π = 0,2∙1,6 - 0,1∙0,5 +0,5∙0,1 = 0,32.

Полученный портфель имеет максимальную доходность 0,32 или 32%. Поэтому наибольшая возможная прибыль составляет

I_max = $10000∙0.32= $3200.