Образцы решения экзаменационных задач II

Образцы решения экзаменационных задач II.

Двумерные задачи оптимизации портфелей в моделях Блека и Марковица

Задача 1.

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂.

m1 =	1,0		2,0		0,8
m2 =	3,0		3,0

Найти портфель с наименьшим риском в моделях Блека и Марковица.

Решение. Задача состоит в нахождении портфеля x=(x₁; x₂) с минимальным риском

V[x] = c₁₁x₁² + c₂₂x₂² + 2c₁₂x₁x₂  min,

при условиях:

x₁ + x₂ = 1

в модели Блека и дополнительном условии неотрицательности x₁, x₂  0 в модели Марковица.

Найдем сначала матрицу ковариации активов:

c₁₁ = _² = 4; c₂₂ =₂² = 9; c₁₂ = _∙₂ ^∙_ = 4,8;

Тогда риск (вариация) портфеля имеет при заданных данных вид:

V[x] = 4x₁² + 9x₂² + 9,6x₁x₂

Используя замену x₂ = 1 - x₁ сведем исходную задачу к минимизации функции

V(x₁) = 4x₁² + 9(1-x₁)² + 9,6x₁(1-x₁) = 3,4x₁² - 8,4x₁ + 9 min

при условии 0  x₁ 1. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю получим

V´(x₁) = 6,8x₁ – 8,4 = 0 или 1,7x₁ = 2,1

Откуда получаем стационарную точку (нуль производной)

x₁^* = 2,1/1,7 = 1,2353;

и соответствующий портфель будет иметь вид

x₁^* = 1,2353; x₂^* = 1 - x₁= -0,2353

Полученный портфель является портфелем с наименьшим риском в модели Блека, но не является портфелем с наименьшим риском в модели Марковица!

Он имеет параметры: ожидаемую доходность

E* = 2x₁ + 3x₂ =1∙(1,2353) + 3∙(-0,2353) = 0,53

и риск (вариацию) –

V* = c₁₁(x₁)² + c₂₂ (x₂)² +2c₁₂ x₁x₂ =4∙(1,2353)²+9∙(-0,2353)²+9,6(1,2353)(-0,2353) = 3,81

Поскольку стационарная точка x₁^*=1,2353 не удовлетворяет условию 0  x₁ 1, то минимизируемая функция V(x₁) не имеет стационарных точек (нулей производной V´(x₁)) на отрезке [0, 1] и, следовательно она монотонная на этом отрезке и достигает наименьшее значение только на концах отрезка.

Так как V(0)=2 и V(1) = 4 , то ясно что V(x₁) достигает наименьшего значения при

x₁ = 0, так что портфелем с наименьшим риском будет портфель

x₁ = 0, x₂ = 1,

имеющий доходность Е[x] = 1 и риск (вариацию) V[x] = 4. █

Задача 2.

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂.

m1 =	1,0		2,0		0,8
m2 =	3,0		3,0

Найти портфель с максимальной доходностью, риск (стандартное отклонение) которого не

больше заданного ₀ = 2,5 в модели Блека и Марковица.

Решение. Задача состоит в нахождении портфеля x=(x₁; x₂) c максимальной доходностью

Е[x] = m₁x₁ + m₂x₂= 1x₁ + 3x₂ max,

при условиях

x₁ + x₂ = 1

и

V[x] = c₁₁x₁² + c₂₂x₂² + 2c₁₂x₁x₂ = 4x₁² + 9x₂² + 9,6x₁x₂ V₀= ₀² = 6,25

для модели Блека, где V₀- максимально допустимый уровень риска и дополнительном условии 0 ≤ x₁ ≤ 1 для модели Марковица.

Модель Блека. В предыдущей задаче мы нашли выражения для

Е[x] = m₁x₁ + m₂x₂= 1x₁ + 3x₂

и

V[x] = 4x₁² + 9x₂² + 9,6x₁x₂.

Замена x₂ = 1 - x₁ сводит задачу максимизации доходности

Е(x₁) = x₁ + 3x₂= 3 - 2x₁  max,

при условии

V(x₁) = 3,4x₁² - 8,4x₁ + 9 6,25,

которое принимает вид

3,4x₁² - 8,4x₁ + 2,75 0.

Это неравенство имеет решением отрезок отрезок [x₁^-, x₁⁺] , где

,

корни квадратного уравнения 3,4x₁² - 8,4x₁ + 2,75 = 0.

Поскольку линейная функция Е(x₁)=3-2x₁ убывает на этом отрезке, то максимальное значение она принимает на левом конце, т.е. в точке x₁=0,3884. Соответствующее максимальное значение доходности будет равно Е(x₁^-) = 2,22.

Итак, оптимальный портфель в модели Блека будет портфель

x₁=0,3884; x₂=0,6116;

Модель Марковица. Поскольку оптимальный по Блеку портфель удовлетворяет условию Марковица (0 ≤ x₁ ≤ 1), то этот портфель будет оптимальным и в модели Марковица.

Задача 3.

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂.

m1 =	1,0		2,0		0,8
m2 =	3,0		3,0

Найти портфель (u₁, u₂) с максимальной полезностью в модели Блека и Марковица, для инвестора с

коэффициентом неприятия риска равным  = 10.

Решение. Задача состоит в максимизации

U[x] = E[x] – (/2)V[x]= m₁x₁ + m₂x₂ -(/2)(c₁₁∙x₁² + c₂₂ ∙ x₂ ² +2c₁₂ x₁x₂) max,

при условии

x₁ + x₂ = 1,

где  - заданный коэффициент неприятия риска.

В модели Марковица добавляется условие неотрицательности x₁, x₂  0 или, что то же самое условие 0  x₁ 1.

Модель Блека. Замена x₂ = 1 - x₁ в случае а) сводит задачу максимизации полезности

к максимизации функции

U(x₁) = (3 - 2x₁) - 5∙(3,4x₁² - 8,4x₁ + 9)

Дифференцируя U(x₁) по x₁ и приравнивая производную к нулю получим уравнение

U´(x₁) = -2 - 5∙(6,8x₁ – 8,4) = -34x₁ + 40 = 0,

откуда

x₁=40/34 =1,1765 и x₂ = -0,1765

- оптимальный портфель в модели Блека с наибольшей полезностью U_макс= -18,47.

Модель Марковица. Так как стационарная точка x₁= -6/7 не лежит на единичном отрезке [0, 1] то оптимальное значение для модели Марковица нужно искать в граничных точках x₁ = 0 и x₁ = 1. Поскольку U(0) = -42 а U(1) = -19 то оптимальным будет портфель x₁ = 1 и x₂ = 0 с наибольшей полезностью U_макс=-19. █

Задача 4.

Заданы следующие параметры рынка из двух активов А₁ , А₂.

m1 =	1,0		2,0		0,8
m2 =	3,0		3,0

Найти уравнение минимальной границы - параболы V=a₂E² + a₁E + a₀ на плоскости доходность-риск (E,V) как функцию параметра E, в модели Блека и Марковица.

Решение. Задача состоит в нахождении явного выражения зависимости риска (вариации) V портфелей с минимальным риском среди всех портфелей с заданной доходностью Е как функцию V(Е) этой доходности.

Ожидаемая доходность есть

E[x] = m₁x₁ + m₂x₂ = x₁ + 3x₂

а ожидаемый риск есть

V[x] = c₁₁ (x₁)² + 2c₁₂ x₁x₂ + c₂₂ (x₂)²= 4x₁² + 9x₂² + 9,6x₁x₂

Замена x₂ = 1 - x₁ приводит к выражениям

E = 3 - 2x₁

и

V = 3,4x₁² - 8,4x₁ + 9

Выражая из первого равенства x₁= (3-Е)/2 и подставляя в выражение для V получим

V = 3,4[(3-Е)/2]² - 8,4(3-Е)/2 + 9 = 0,85E² -0,9E + 4,05

В модели Блека Е принимает любые значения, т.е. это уравнение полной параболы на плоскости (E,V). В модели Марковица доходность удовлетворяет неравенствам m₁  E m₂

Поэтому решением будет уравнение куска параболы

V = 0,85E² - 0,9E + 4,05; 1 E 3.