Связные компоненты

Пусть задан неориентированный граф. Граф называется связным, если любые две несовпадающие вершины графа соединены маршрутом. Очевидно, что для связности графа необходимо и достаточно, чтобы произвольная фиксированная вершина графа соединялась маршрутом с каждой из оставшихся вершин этого графа.

  Отношение связности рефлексивно (вершина всегда связана сама с собой), симметрично (из связности вершины  с вершиной  следует связность вершины  с вершиной ) и транзитивно (если вершины ,  и вершины ,  связаны, то связаны и вершины ,). Таким образом, отношение связности для вершин есть отношение эквивалентности. Поэтому существует такое разбиение множества вершин графа на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), что все вершины в каждом подмножестве связаны, а вершины из различных подмножеств не связаны. Каждое такое подмножество вершин графа вместе с ребрами, инцидентными этим вершинам, образует связный подграф. Следовательно, неориентированный граф представим единственным образом в виде объединения непересекающихся связных подграфов. Эти подграфы называют связными компонентами рассматриваемого графа. Связный граф является своей единственной компонентой связности. На рис.4.21 изображен граф, который имеет три компоненты связности.

  Теперь обратимся к ориентированному графу. Если в орграфе существует маршрут, связывающий вершины  и , то говорят, что вершина  достижима из вершины . Любая вершина считается достижимой из себя самой. Вершина орграфа называется источником, если из нее достижима любая вершина орграфа.

  Связность ориентированных графов определяется в принципе так же, как и неориентированных, те есть без учета направления дуг. Специфичным для орграфа (или смешанного графа) является понятие сильной связности.

Орграф называется сильным (или сильносвязным), если любые две его вершины достижимы друг из друга. Орграф называется односторонним (или одностороннесвязным), если для любой пары его вершин, по меньшей мере, одна из них достижима из другой.

 

    Рис.4.22                           Рис.4.22                               Рис.4.22          

Орграф называется слабым (или слабосвязным), если связным графом является его неориентированный дубликат. На рис. 4.22 изображен сильный орграф, на рис. 4.23 - односторонний, а на рис. 4.23 - слабый. Поскольку вершина графа достижима из себя, то одновершинный орграф будет одновременно и сильным, и односторонним, и слабым. Каждый сильный орграф является односторонним, а каждый односторонний - слабым. Очевидно, что две любые несовпадающие вершины сильного орграфа принадлежат некоторому контуру.

  Маршрут, содержащий все вершины орграфа, называется остовным.

Теорема 4.5. Орграф является сильным тогда и только тогда, когда в нем есть остовный контур, является односторонним тогда и только тогда, когда в нем есть остовный путь.

      Отношение взаимной достижимости вершин орграфа рефлексивно, симметрично и транзитивно. Как отношение эквивалентности оно разбивает множество вершин орграфа на классы эквивалентности, объединяя в один класс все вершины, достижимые друг из друга. Вершины, входящие в такие классы, вместе с дугами, им инцидентными, обе концевые вершины которых принадлежат этому же классу, образуют подграфы, называемые сильными (или сильносвязнными) компонентами орграфа.

      Орграф называется несвязным, когда его неориентированный дубликат не является связным графом.

      Орграф, изображенный на рис. 4.25, имеет четыре сильные компоненты с множествами вершин , , , . В орграфе могут быть дуги, не входящие ни в одну из его сильных компонент, например, дуги , ,  и  у орграфа на рис. 4. 25.