Вопрос 3

3.Погашение задолженности (кредита) по сложной процентной ставке

В общем виде простейшая кредитная операция подразумевает участие двух лиц: кредитора — лица, предоставляющего средства (денежные средства и другие активы), и заемщика (дебитора) — лица, получающего заемные средства во временное распоряжение. При этом подразумевается увеличение полученных средств через определенный срок и оплата заемщиком полученного кредита в виде процентов.

Процессы выплат и поступлений представляют собой сбалансированную финансовую операцию. Сбалансированная операция имеет замкнутый контур, то есть последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности.

Графическое изображение процесса погашения задолженности содержит следующие величины:

P₀ — начальная сумма долга;

S₁, S₂, S₃, S₄, ..., S_nk — наращенные по сложной процентной ставке i суммы долга;

R₁, R₂, R₃, R₄, ..., R_nk — выплаты, покрывающие указанные проценты и часть основной суммы долга;

P₁, P₂, P₃, P₄, ..., 0 — оставшиеся суммы долга после выплат;

n₁, n₂, n₃, n₄, ..., n_k — моменты выплат.

С экономической точки зрения графическое изображение контура соответствует финансовой операции для сложной процентной ставки, в которой взяли кредит P₀ на срок n_k и проценты начисляются на невыплаченный остаток по ставке i за период. К моменту n₁ проценты на сумму P₀ составляют P₀·i. Очевидно, что величина R₁ должна быть больше P₀·i, иначе невыплаченная часть долга не будет уменьшаться. Разность R₁ –P₀·i идет на погашение основной суммы долга.

Невыплаченный остаток в начале второго периода (после первой выплаты) станет равен

Проценты на него к концу второго периода составляют 

Невыплаченный остаток после второй выплаты уменьшится на величину 

и станет равен 

Проценты на него к концу третьего периода составляют

Невыплаченный остаток после третьей выплаты равен

– R₃ и т.д.

В конце последнего n_k-го периода невыплаченный остаток (после раскрытия скобок в выражении за n_k – 1-й период) станет равен:

(19)

Из полученной формулы следует, что наращенная сумма долга равна сумме частичных платежей, наращенных к концу срока. Разделив правую и левую части выражения на получаем равенство: (20)

Для формирования умения применять полученную формулу предлагаем учащимся задачу 22.

Данный метод расчета по сложной процентной ставке используется при долгосрочном кредитовании, то есть сроком более года, и называется актуарным.

Вопрос 4

4. Сложная годовая процентная ставка, номинальная процентная ставка и формулы наращенных сумм по ним. Переменная сложная процентная ставка.

ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА

 Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу  вложений

годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка  в

периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень,  равную

числу периодов начисления (n), минус единица:

 

  rгодовая  =  (1 + r)n - 1.

 

   Пример 6

   По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход  2%  от  первона-

чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с  учетом  реин-

вестирования полученного дохода.

 

   rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.

   Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-

чих равных условиях инвестирования годовая процентная  ставка  с  учетом

реинвестирования выше.

   В общем случае годовая процентная ставка  с  учетом  реинвестирования

вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n  откуда

годовая процентная ставка