книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfВ методе Ритца ищется приближенное решение квазистатической задачи (1.4), (1.5) й^) в виде
ЛГ « ^ ( ^ а ^ я а . я з ) = ^ С ак(1)<р<'а)(х1,х 2 ,х 3)+<р<'°) (а = 1,2,3), (2.2)
к=1
где <р<'а\1,х1)Х2,х3) (к = 0 ,1 ,..., Я ) — координатные функции, при чем <р^(1,Х1,Х2,хз) удовлетворяют кинематическим граничным
условиям (1.5), а ь т2,тз) (к = 1,2,..., Щ — однородным ки нематическим граничным условиям. Подставляя (2.2) в (2.1) и при равнивая вариацию функционала нулю: 6\У{и} = 0, получим сис тему линейных интегральных уравнений Вольтерры для определе ния «коэффициентов вариации» С«*(<) (а = 1 ,2 ,3 , к = 1,2,....IV). Однако при решении возникает трудность размещения в памя ти информации о ядрах релаксации. Лля преодоления этой трудности можно пользоваться приемом, который можно назвать
«укорачиванием памяти». Он состоит в следующем. |
Функция |
релаксации представляется в виде |
|
д(*) = н(1)Щ - и ) + к (и ), |
(2.3) |
где Й(< —<„) = 1 - /г(< - <*), а «время укорачивания» 1* выбирается из условия
Я ( * , ) - Д ( * о о ) < М ( 0 ) , |
(2.4) |
где ^оа — максимально известное время, 60 — наперед заданная точность. Тогда отличным от нуля в (1.9) будут только первые М о чисел К \ (« = 0,1,.. -, Мо), причем М о вычисляется из условия (2.4), т.е.
Км° < Д(*оо) + 6оЯ(0). |
(2.5) |
Решение динамических задач теории вязкоупругости при исполь зовании сеточных методов не вызывает заметных усложнений по сравнению с квазистатическими задачами. Более того, оказы вается, что явная схема для динамической задачи теории вязко упругости может оказаться устойчивой, в то время как анало гичная схема для соответствующей упругой задачи таковой не является [76]. Лля исследования разностных схем в случае дина мической задачи теории вязкоупругости может быть применено ^-преобразование.
§ 3. М ЕТО Д АППРОКСИМАЦИЙ
Рассмотрим квазистатическую задачу линейной теории тер мовязкоупругости для изотропной среды (5.47), (5.48) гл. 2.
Если свойства материала зависят от температуры, то истин ное время ^ следует заменить на приведенное I' согласно прин-
|
< |
|
ципу температурно-временной аналогии [33]: I' = / <Й/ат(*)- Как |
||
|
о |
|
видно, задаче |
теории вязкоупругости (см. (5.47). |
(5.48) гл. 2) |
соответствует |
некоторая задача теории упругости. |
Из сообра |
жений размерности решение этой задачи можно представить в виде (5.49) гл. 2.
Если рассматриваемый вязкоупругий материал таков, что ве личины и*, а значит и ш*, являются числами, то вязкоупругое решение получается непосредственно из выражения (5.49) гл. 2 заменой ц* на ц* = 2П* и вычислением соответствующих квадра тур. В противном случае каждую функцию <р(ш) аппроксимируют аналитическим выражением от и, заменяют ш на ш* и «расшиф ровывают» это выражение. Каждая сумма <р(и>) представляется в
виде конечной или бесконечной суммы вида |
|
|
N |
! |
|
= 5 3 |
” I + л:ш - |
(3-1> |
где /?,■— некоторые действительные неотрицательные числа, 0о = О [70]. После замены др на выражение д^ /*, входящее в
соотношение (3.5), расшифровывается следующим образом:
< |
|
9; г = I дрЦ-т)<1/(т). |
(3.2) |
о |
|
В работе [33] показано, что ядра др(1) могут быть найдены экспериментально из опыта на ползучесть исследуемого вязкоупругого образца, параллельно или последовательно к которому присоединяется пружина с жесткостью, заданной в зависимости от числа /?.
Задача сильно упрощается, если в представлении (3.2) число N конечное. Тогда вектор перемещений и является рациональной функцией параметра ш.
Это заведомо так в плоской задаче теории упругости, когда на границе заданы напряжения [74]. Если <р(ш) не является раци ональной функцией, то ее необходимо представить или аппрокси мировать некоторым аналитическим выражением от ш, например.
Из решения системы (4.3) находим в каждой точке тела значения А,-, /?. При этом если выражение (4.2) записано правильно, то во всех точках величина /3 будет одинакова. Затем положим Ф2(<) = 1; а остальные Ф/(*) и / — равными нулю и т. д. После этого записываем решение задачи теории вязкоупругости. Из выражения (4.2) имеем
|
I |
|
и {1,х,у,г) = А1(х ,у ,г)^ 1{1) + А2{х ,у ,г) ^ д1/2{1 - |
г)</Фх(г)+ |
|
^ |
О |
|
* |
|
|
+ А 3(х, у, г) ! д2(1 — т) ЛФ^т) + А^(х,у,г) ^ др(1 - |
т) </Ф1 (т)+ |
|
О |
о |
|
г |
* |
|
+А ъ(х,у,х) ^ |
1г(1-т)(1Ф1(т)+Ав(х,у,2) ! ш(1 - |
т)</Фх(т). (4.4) |
Некоторые конкретные задачи можно найти в [72, 74, 76]. Точность вязкоупругого решения можно определить с помощью следующей оценки:
где
6(3 = 0 - 0 0 , / = 9рФ, /о = 9 0 О^, |
(4.6) |
причем в качестве 60 можно принять максимальное отклонение, подсчитанное из таблиц, от ро = 1/2.
§ 5. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКО УП РУГО СТИ
Пусть требуется решить накоторую краевую задачу для неод нородной вязкоупругой среды. У равнения движения имеют вид
о’У,} + |
= р |
(5.1) |
где X — вектор объемных сил, и — вектор перемещения, р(х) — плотность материала. Пусть заданы некоторые граничные ус ловия
а?]<Г]кПк + ЬЦи, = 5?(х,1), |
(5.2) |
где на каждой части поверхности Е заданы матрицы а^, Ьц и контактные усилия 5р . Пусть, кроме того, заданы начальные данные при 2 = 0:
«, = ВД, ^ = |
(5-з) |
Подставляя определяющие уравнения в уравнения (5.1) и (5.2), получим систему трех уравнений относительно компонент вектора перемещения
[Су*|(2)«*,»Ъ + Х * = |
(5 4 ) |
и граничные условия
а%С]ШЩ,пПк + и1 = 5?- |
(5-5) |
Таким образом, соотношениями (5.3), (5.4), (5.5) дается постановка динамической неоднородной задачи линейной теории вязкоупру гости в перемещениях (задача «Д »). Аналогично можно дать постановку квазистатической задачи. Она заключается в реше нии уравнений
[с)>*1(г)«(м)Ъ + |
= о |
(5.6) |
при удовлетворении граничным условиям (5.5). |
Назовем эту |
|
задачу задачей «До». |
|
|
Рассмотрим теперь метод малого параметра для решения неоднородных задач линейной теории вязкоупругости. Пусть нам известна температура как функция координат и времени Т(х,1). Тогда мы можем считать также известной универсальную функцию ат(х,1) температурно-временной аналогии (§ 5 гл. 2). Эта функция в достаточно большом диапазоне температур для многих полимерных материалов хорошо описывается формулой Вильямса-Л андер а-Ферри
1п ат = - с?(г-т,) |
(5.7) |
С 1 + Т - Т д ' |
|
где Тд — так называемая температура приведения, а коэффи циенты С { и С| определяются экспериментально для многих полимеров. Для дальнейшего удобно ввести функцию /:
/(**,<) |
1 |
(5.8) |
вт(йь,*)
Таким образом, нам известна /(гк)2) как функция координат и времени.
Подставляя разложения (5.14) и (5.15) в уравнения равновесия и граничные условия и приравнивая величины при одинаковых сте пенях Л, получим последовательность однородных задач линейной термовязкоупругости.
В работе [71] решена задача о вязкоупругой трубе, армиро ванной снаружи тонкой упругой оболочкой. Там же рассмотрен вопрос о сходимости метода малого параметра.
§ 6. ВЯЗКО УП РУГИ Е КОМПОЗИПИОНЫЕ СРЕД Ы
Рассмотрим материал, имеющий периодическую структуру, т.е. составленный из элементарных ячеек, например, параллеле пипедов с характерной длиной стороны I. Пусть теперь все тело имеет характерную длину Ь. Наряду с безразмерными координа тами х всего тела (отнесенными к Ь) введем в каждой элементар
ной ячейке так называемые «быстрые» переменные ^ = х /а , где а — параметр, равный 1/Ь. Тогда тензоры ядер релаксации и ползучести, которые в рассматриваемом случае являются перио дическими функциями координат, можно считать зависящими от
координат С Ковариантную производную от некоторой функции / по «быстрым» переменным^ будем обозначать через/р, тогда как за ковариантной производной цо переменной я,- оставим прежнее обозначение Будем обозначать через (/) взятое каким-либо
образом усреднение от функции /(а?,^) по переменным Заметим, что так как в композиционной среде тензоры ядер
релаксации и ползучести могут быть разрывными функциями координат, то решения задач «Л » и «До», сформулированных в § 5, следует понимать в обобщенном смысле.
Решение задачи «Д» ищется в виде асимптотического раз ложения
|
|
|
|
■■■>.(г) |
|
( 6. 1 ) |
|
|
|
|
|
ЗтР |
|
|
|
|
р + « = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ядра N(1 ,<,г) являются периодическими функциями быстрых |
|||||||
координат |
причем |
= V |
|
|
|
|
|
Подставляя (6.1) в уравнения (5.1), получим |
|
|
|||||
|
|
,А дРЦ,-,*..■■>,(*) |
+ * ( = |
0. |
(6.2) |
||
|
р+?хг-1 |
кя+2^ |
дтР |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, исходную задачу «Д » локальной неоднородной теории вязкоупругости мы сведем к задаче нелокальной однород ной теории вязкоупругости.
Для определения эффективных характеристик необходимо рассмотреть две вспомогательные задачи. Первая из них (задача I) заключается в решении неоднородной задачи теории вязкоуп ругости и состоит в рекуррентном определении периодических
ядер |
как следует |
из (6.2): |
|
|
[с,7т „(О |
, . * , +51„1и = |
^ з |
Задача II с о с то и т в определении величин Л*(р) и Л<р);
..*,+2(<>Г) - |
|
|
к +1)т). |
|
|
|
Г(6.4) |
н; Н 1 . к , „ м = ^ ^ . . . к ^ г ) - { р |
( Ь ^ |
\ |
+а(Ь ,т )). |
|
|
|
(6.5) |
Уравнение (6.2) можно переписать в виде |
|
|
|
д г р |
+ Х |
- |
о д2щ |
+ Х { - |
Р0~ д ^ |
||
Р+«=1 |
|
|
|
где введено обозначение |
|
|
|
: - Л ’ <2) |
|
|
(6.7) |
*Ч |
|
|
|
Решение задачи (6.6), (5.2), (5.3) может быть получено методом малого параметра:
V^= 5 3 «*«>.•** |
(6.8) |
а=0 |
|
Подставив это разложение в соотношение (6.6) и приравнивая величины при одинаковых степенях а, получим рекуррентную ■последовательность задач линейной теории вязкоупругости для анизотропной однородной среды:
I |
Ш |
(6.9) |
Ьцгппи>т>п} + |
||
а$ЬЛтпю М П1+Ь%у>}к} = 5?{к} |
(6.10) |
|
с начальными условиями: |
|
|
при 1 = 0 |
|
(6.11) |
мы уже в нулевом приближении в данном случае можем полу чить микронапряжения, обусловленные композиционной структу рой материала.
. Для нахождения перемещений г>,-(5с,() нужно решить динамичес кую задачу линейной анизотропной теории вязкоупругости «Д 1»
г |
. у |
|
(6.20) |
ПЦк№,1+Л{ = Р о-д^ , |
|||
|
к1т1>1,тПк + ЬцУ} = |
(6.21) |
|
с начальными условиями: |
|
|
|
при 1 = 0 |
г), = [/,(5), |
* |
(6.22) |
-^ - = У({х) |
|||
или квазистатическую |
задачу «До» |
|
|
|
+ Х{ = |
0 |
(6.23) |
при выполнении граничных условий (6.21). Прежде чем применять различные методы для решения задач «Д 1» и «До» необходимо определить эффективную плотность р0, эффективные ядра релак
сации Л|'уы(<,г) и ядра |
Это сделать просто для сло |
||
истой композиционной среды, т.е для случая, когда |
т) |
||
и |
зависят-от одной координаты, например |
В этом |
|
случае |
имеем |
|
|
|
*, г) = |
I, т) + (Л,-,-*(?, 1,-г)), |
(6.24) |
|
Сз |
|
|
|
I, т) = [ {^>3|3(^ТЗтз){РгпЗпЭрпЪх) ) ~ С*з}зС)зу } «^3, |
||
|
{ |
|
(6-25) |
где под С~3} 3((,1,т) понимаются ядра, являющиеся резольвентны
ми по отношения к ядрам С,-3,-з(^Д, г). В |
частности, если эти |
ядра являются ядрами разностного типа, |
то в формулах (6.25) |
надлежит поменять величины типа С на величины С и функции
1) найдутся из решения системы интегральных уравнений Вольтерры
« |
|
I с,зи(* - т) <Юй)3(т) = 6ц- а 3*з(|)с;3‘ 3(0). |
(6.26) |
о