книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

§ 2. М ЕТОДЫ , ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ

Пусть требуется решить квазистатическую задачу МДТТ, которая заключается в решении трех уравнений относительно вектора перемещения и:

при выполнении граничных условий

Как следует из результатов § 7 гл. 1, если оператор связи между напряжениями и деформациями является потенциальным, то за­ дача (2.1), (2.2) эквивалентна задаче о нахождении стационарной точки лагранжиана

Для приближенного решения задачи (2.1), (2.2) воспользуемся методом Ритца. Для этого ее решение будем искать в виде

п=1

где координатная вектор-функция ^°)(2)) удовлетворяет кинема­ тическим граничным условиям (2.2), а координатные функции

1р(п\х), п = I , ... , N, — однородным кинематическим граничным

Диагональные матрицы д(п) являются постоянными. Их требует­ ся определить из условия стационарности лагранжиана (2.3). Для этого образуем согласно соотношениям Коши тензор деформации

<«,/?= 1,2,3).

Затем подставляем полученные выражения в определяющие со­ отношения

и образуем потенциальную энергию

которая будет зависеть от неизвестных коэффициентов д(п). Для их определения получаем систему уравнений

(а = 1,2,3), п = 1,2,...,ЛГ.

Если рассматривается линейная упругая среда, то система (2.9) является линейной алгебраической. После решения каким-либо образом системы (2.9) приближенное решение задачи (2.1), (2.2) записывается в виде (2.4). Метод Ритца достаточно математичес­ ки обоснован [60], причем для его сходимости необходимо число N в (2.4) устремить к бесконечности. Однако на практике, ока­ зывается, не всегда получается тем лучший результат, чем взято большее число кооординатных функций. Оказывается, что при некотором достаточно большом N система Ритца (2.9) становит­ ся плохо обусловленной [60]. Поэтому важно в зависимости от применяемой ЭВМ и от желаемой точности решения исследовать вопрос о числе координатных функций.

Если решается задача М Л'ГТ в напряжениях, то необходимо удовлетворить шести уравнениям совместности, записанным в напряжениях,

и трем уравнениям равновесия

(которые могут быть удовлетворены только на границе тела Е). Кроме того, должны выполняться граничные условия, например, типа (2.2):

Задача (2.10)-(2.12) эквивалентна задаче о стационарной точке кастильяниана

если оператор связи между деформациями и напряжениями яв­ ляется потенциальным.

а на границе у = ±Ь — напряжения

Решить приближенно эту задачу, используя представление фун­ кции напряжения Ф в виде

где

Ф2 = (х2 - а2)2(у2 - б2)2* 2.

Упражнение 2.2. Решить приближенно смешанную задачу о прямоугольнике, когда на границе х — 0 и х — 1\ заданы посто­ янные перемещения

Рассмотрим смешанную задачу МЛТТ. Пусть даны уравнения

Пусть задан оператор связи между напряжениями и деформаци­ ями (2.7), причем деформации связаны с перемещениями соотно­ шениями Коши:

Этот метод называется методом Бубнова-Галеркина. Упражнение 2.5. Показать, что если

то соотношения (2.32) могут быть получены из условия минимума функционала

(2.37)

что совпадает с методом наименьших квадратов. ■ Упомянем здесь еще о методе наискорейшего спуска. Он

заключается в следующем. Выбирается некоторый вектор й(о), удовлетворяющий кинематическим граничным условиям. Подсчи­ тывается «невязка» по формуле

где д(°) — некоторая диагональная матрица с постоянными коэф­

фициентами. Подсчитываем по формуле (2.3) лагранжиан ^(«(х)), где

Тогда для определения д(°) получим систему трех уравнений:

и т.д.

Упражнение 2.6. На основании вариационного принципа Кастильяно сформулировать метод «наискорейшего подъема». ■

В последнее время широкое распространение получил метод Канторовича-Лейбница, который применим к телам, заключен­

Тогда решение ищется в виде

?=1

где <р^\х) — заданные координатные функции, которые удовлет­ воряют кинематическим граничным условиям, кроме, может быть,

области (2.43). Функции / (я> определяются из минимума лагран­ жиана (2.3). Уравнениями Эйлера для такого функционала будут обыкновенные дифференциальные уравнения.

Заметим, что метод Галеркина-Петрова в зарубежной литера­ туре часто называют методом взвешенных невязок.

§3. М ЕТОД Я-ФУНКЦИЙ РВАЧЕВА

Вметодах, описанных в предыдущем параграфе, мы сталки­ вались с ситуацией, когда некоторая функция II(ж) аппроксими­ ровалась выражением

где <ро(х), <р,(ж) — некоторые координатные функции, удовлет­ воряющие заданным кинематическим условиям. Например, на контуре Г в двумерной области

Если выбрать некоторую функцию и(х), такую, что внутри за­ данной области она сохраняет знак и не обращается в нуль, то, выбрав некоторую систему функций {^ .(2)}, получим представ­ ление (3.1) в виде

Здесь функции ф{(х), г = 1 ,2 ,..., не обязаны удовлетворять ус­ ловиям типа (3.2). Достаточно, что такому условию будет удов­ летворять функция ы(х):

Для контуров сложного вида построить функцию ы(ж) непросто. Универсальный метод ее построения для контуров, которые могут быть представлены в виде частей, каждая из которых задается в аналитическом виде, дал В.Л. Рвачев в [101,102]. Существо этого метода основано на использовании алгебры логики. Пусть Х \

и Х 2 — два множества, являющихся подмножествами множества Е. Множество, состоящее из точек, общих для этих множеств, называется их пересечением и обозначается Х \ П Х 2. Множество,

состоящее из точек, вошедших хотя бы в одно из множеств Х г или Х 2, называется их объединением и обозначается через Х \ 11Х 2.

Множество, дополняющее X до всего множества Е, называется дополнением множества X и обозначается С Х .

Характеристической функцией подмножества X множества Е называется функция е(х) (двузначный предикат множества X ):

Рассмотрим множество В2, состоящее из двух элементов: 0 (ложь) и 1 (истина). Булевой функцией п аргументов называется отображение вида Г : В2п —►В2у т.е. У = ^ (Х ь Х2, ... , Х П), где Х Ь . . . , Х П, У € В2. Всего булевых функций двух переменных 16. Из них четыре тривиальные:

Булеву функцию, соответствующую пересечению двух мно­

Эту функцию называют логическим умножением: У — истина

тогда и только тогда, когда Х[ — истина и Х 2 —истина.

Булеву функцию, соответствующую объединению двух мно­ жеств Х±и Х 2, назьюают дизъюнкцией и обозначают

Эту функцию назьюают логическим сложением: У — истина тогда и только тогда, когда Х\ — истина или Х 2 —истина.

Булеву функцию, соответствующую дополнению СХь обоз­ начают