книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

откуда

А = 1 —

<«»>

Следовательно, неявная схема является безусловно(абсолютно)- устойчивой, если ^ ^ 1/2. Перепишем схему (6.16) в виде

схему (6.19) методом прогонки уже нельзя, ибо Л представляет

Такой прием позволил нам представить оператор в левой части в факторизованном виде, т.е. в виде произведения двух одномерных операторов. Кроме того, мы полагаем, что г —»•0, и поэтому член, содержащий г2, можно отбросить в правой части. Тогда мы получим

[Е - г(1 - 0Ах][Я - г(1 - 0 Л 2]«т+1 = [Е + т*Л]«т + тдт. (6.21)

Заметим, что эта схема дает аппроксимацию уравнения (6.1) с точностью до 0(т, Л2) и, кроме того, имеется член в правой части

который не портит указанной аппроксимации.

Схема (6.21) позволяет ввести «расщепление», или промежу­

»том способ расщепления будет оказьшать влияние на вид гранич­ ного условия типа (6.30). Введем некоторый разностный оператор <Э, определенный на слое т. Тогда схему расщепления системы (6.21) можно, например, записать в виде

[Е- г(1 - ^)Л!]«т + ^ = {[Е + тЩ - [Е - т(1 - О Л ^ и " * + тдт .

и если в этом случае граничные условия типа (6.2) не будут зависеть от времени, то для «т+ а получаются граничные условия

(6.39)

Глава 5

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

§ 1 . ПРОСТАЯ ИТЕРАЦИЯ

Рассмотрим алгебраическую систему уравнений с двумя не­ известными

Пусть теперь 6 — так называемый машинный нуль. В зависимости от длины ячейки памяти ЭВМ это число колеблется в пределах 10-8 -г 10-12. Если решать систему (1.1) классическим способом на ЭВМ, то получим

где 61, 62, 63 — ошибки округления числа в ячейке памяти ЭВМ. Из (1.3) видно, что результат существенно зависит от соотношения чисел 61, 62, 63 и с. Так, например, если числа 6%, 6а и е одного порядка, то значение Х2, вычисленное на ЭВМ по формуле (1.3), может принимать практически любое значение.

Важно отметить, что ситуация, разобранная на простом при­ мере (1 .1), возникает часто при решении большого числа уравне­ ний, ибо на практике чем больше уравнений содержит алгебраи­ ческая система, тем ближе значения определителя этой системы к машинному нулю. Таким образом, решать алгебраическую

систему большого числа уравнений по правилам Крамера прин­ ципиально невозможно.

Но соотношения (1.6) могут быть записаны в виде разностного

Р

т.е. уравнения теплопроводности (4.15) гл. 4, где (3 играет роль не времени, а некоторого параметра, который называется итера­ ционным параметром.

Подобие итерационной схемы (1.7) явной схеме при решении уравнения теплопроводности наводит на мысль, что сходимость итерационного процесса будет иметь место не при всяком зна­ чении /?. В самом деле, рассмотрим итерационную схему для решения системы (1.1)

4 га+1>= 4"*> -0(4"*> + *<"*>-1)|

4 т+1) = 4 т ) - я»*™) + ( 1 + ф (2т) - 1 ) .

Положим для простоты е = 1//?и в качестве нулевого приближения выберем

Для девяти верных знаков необходимое число операций в зависи­ мости от итерационного параметра 0 дано в табл. 1.1.

Запишем систему (1.4) в виде

а итерационную схему (1.6), которая носит название схемы прос­ той итерации, — в виде

Очевидно, что если процесс (1.11) сходится, то он сходится к решению и* системы (1.10). Введем понятие вектора ошибки V:

Тогда для вектора ошибки (1.11) следует

Полагая в (1.13) т = 0,1,..., получим

0(1) = (Е + 0А)&°\

0<2>= (Я + /?Л)2»(о),

(1.14)

5<т ) = (Е + 0А)т&о).

Пусть оператор А (т.е. невырожденная квадратная матрица) имеет собственные векторы <р(ч) и собственные значения А(?), д = 0 ,1 , ... , IV:

где А', А" — наименьшее и наибольшее собственные значения. Отсюда следует, что наибольшей эффективности от простой ите­ рации следует ожидать при

(1.20) является простейшей ми­ нимаксной задачей. Для ее решения рассмотрим все возможные

случаи расположения чисел А' и А" (рис. 30):

Требуется, чтобы во всех случаях (} < 1. Рассмотрим случай (1.21). Очевидно, что 1—/?А' > 1—/?А" и <2 < 1 при всех допустимых

Положим, например, /(*) = хг и в качестве нулевого приближения выберем аг(°) = 0,9. Точное решение х* = 0. Пусть требуется найти решение с точностью 6. Тогда при итерационном параметре 0 = 1 необходимое число итераций п для достижения заданной точности 6 представлено в табл. 1.2.

При тех же условиях для итерационного параметра 0 = 2 справедливы результаты, представленные в табл. 1.3.

Из приведенного примера видно, что маленькие значения ве­ личин ||аг(т+1) —аг(т )|| и ||Я(т )|| при больших т свидетельствуют лишь о медленной сходимости.

где

= 3(ж(«))2’

то при тех же условиях, что и в предыдущем случае, точность 0,01 достигается после 12 приближений, а затем на каждый по­ рядок точности затрачивается 5 приближений. Например, для достижения 6 = 10-5 требуется 28 приближений.

Этот пример наводит на мысль изменять некоторым специаль­ ным образом итерационный параметр на каждом шаге итерации.

Рассмотрим снова линейную систему (1.10) и итерационную схему (Ричардсона)

Назовем матрицей перехода матрицу 5 т , с помощью которой осуществляется переход от вектора ошибки на т -м шаге итерации к вектору ошибки на т + 1 шаге: