книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

< Ф

X

Упражнение 6.7. Показать, что при п —2 для точек и направ­ лений, указанных на рис. 39, базисные полиномы имеют вид

Р1 = х2(3 - 2х) -1- 2ху{\ - х - у ) ,

Рг = у2(3 - 2у) + 2ху(1 - х - у ) ,

Рз = (1 - х - у)2(1 + 2х + 2у) + 2ху(I - х - у ) ,

Р12 = 2 * у ( 1 + х - у ) ,

1 1

Оба рассмотренных примера не обеспечивают непрерывность первых производных при переходе через границу конечного эле­ мента, но часто применяются на практике. Согласованные формы (обеспечивающие непрерывность производных) требуют привле­ чения неполиномиальных функций формы.

В заключение заметим, что решение разностной задачи

Глава 7

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

§ 1. М ЕТОД РАСПАДА РА ЗРЫ ВО В

Этот метод был предложен Годуновым [18] для решения задач газовой динамики. Рассмотрим его применение для плоской динамической задачи теории упругости. Уравнения движения имеют вид

Обозначим компоненты вектора скорости

+^(«>- а а)(С1},1-С .м -.).

_ т + 1

*У п - Ъ , к - Ъ = «"ХУ: п - $ , к - $ +■- ^ ( К Г л - * - С . , м > +

тр

ГР, 2 С - * , » - * = «Я ■-*,* -* + ^ ( ° 2 - 2ЬЖ Т ,к - ь - * С - и - * )+

+ р ( С - ^ - С - , , , - 1).

(1.9)

Для того, чтобы определить величины {Р } на границе ячеек, поступают следующим образом. Исходная система (1.5) разби­ вается на две подсистемы, одна из которых не зависит от у, а другая — от х :

дц_ 1 д&Ху

дх Р ду дУ 1 д<тяу = 0,

тР ду

д<?*у = 0, > (1.11)

дХ

д<гуу

дХ

д&хх

дХ

В системе уравнений (1.10) будем использовать последнее урав­ нение, а остальные четыре приведем к каноническому виду. Для этого первое уравнение (1.10) умножим на р, а третье разделим на а и сложим. Поступая аналогично с системой (1.11), получим

Уравнения характеристик для (1.12) имеют вид :

Если теперь вычтем упомянутые выше уравнения, то получим

Для (1.14) характеристиками будут

Рассмотрим значения некоторой величины Р в двух смежных

ячейках Рп+\,к-% и Рп-\,к-%- На линии хп = пкх произойдет распад разрыва, в результате чего в течение некоторого про­ межутка времени г на ней сохраняются постоянные величины Рп,к-%1 которые можно рассчитать следующим образом. Пусть

через точку п + ^,к —| проходит характеристика (1.13), а через точку п —|,Лг — \ — характеристика (1.15)1. Так как величины

р11 ■+- ^ г г и Р^ — а°гг (римановы инварианты) вдоль характе­ ристик сохраняют постоянное значение, то в точках границы на характеристиках выполняются соотношения

Отсюда

и п,к-к = д(Уп+к,к-к + ^ „ - 1 1ь_1)+

1 "*■ 2^0 °”** п+а.*-2 _ <Т®*

2 ^ ГГ П+2'*! - Т ’^'^хх П-1,*-^)-

Проводя аналогичные выкладки с характеристиками (1.13)г и (1.15)2, получим

На границе прямоугольника можно поступить точно так же, чтобы использовать граничные условия. Предположим для прос­ тоты, что граничные условия на левом конце заданы в напряже­ ниях. Тогда (1.7) могут быть заданы в виде

С другой стороны, вдоль характеристики, проходящей через точку т;,к— выполняются условия