книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdf( 1.21)
( 1.22)
Аналогичным образом поступают с уравнениями (1.11) и ос тальными граничными условиями.
Для соблюдения условия устойчивости явной разностной схе мы нужно соблюсти требование
(1.23)
Численные примеры решения некоторых задач теории упругости читатель может найти в книге [129].
§ 2. РАЗНОСТНЫЙ М ЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим квазистатическую задачу М ДТТ (4.5), (4.6) (за дачу «А») § 4, гл. 5
*Уд(«) + А,- = О, |
(2.1 ) |
«.• Ь , = «,?, о-у(и)«7 |е2 = 5?, |
(2.2) |
где согласно (4.7) гл. 5
(2.3)
В той же гл. 5 в (4.12) сформулировано обобщенное реше ние задачи «А», которое совпадает с вариационным уравнением (формула (7.8) гл. 1).
Если существует лагранжиан для задачи «А» (формула(7.30) гл.1), то ее решение можно отыскать с помощью минимизации этого лагранжиана.
В гл. 5 мы рассмотрели некоторые итерационные методы, ис ходя из «континуальной» (неразностной) постановки задачи «А». В этом параграфе мы рассмотрим разностный подход к решению данной задачи, используя результаты, полученные в гл. 6.
Для простоты считаем сначала, что лагранжиан существует, а область V представляет собой прямоугольный параллелепипед, в котором введена регулярная сетка.
Про операторы Вр и итерационный параметр ур можно сказать все то, что было сказано про операторы Ат и параметры (Зт-
Если решение системы (2.8) при переходе от р-го приближения к р + 1-му вызывает трудность, можно внутри этой процедуры организовать еще один итерационный цикл. Обозначим
ги = ь^+1\ Н = Вр(г;(р)) - |
ур[Ат(ь ^ ) - д]. |
(2.9) |
Тогда получим |
|
|
(ш(«+1>) = !>,(«;(«>) - |
6ч[Вр(у,М) - Н] |
(2.10) |
и т.д.
Заметим, что внутренние циклы (2.8), (2.10), как правило, содержат небольшое число итераций соответственно Р и ^ (р = 0,1,..., Р, д = 0,1,..., <5). Так что в (2.7) и (2.9) можно положить
у(р) = и(т + 1) 1 „(0) = ц (т )) ц /д ) = „(?+!)_ „,(0) _ „(р). (2.11)
Числа Р и <3 находятся теоретически или численным эксперимен том из условия наилучшей сходимости внешнего цикла [95].
Упражнение 2.1. Показать, что трехступенчатый цикл (2.6), (2.8), (2.10) эквивалентен одноступенчатому
Ат(Е - Тр)~1ёт+^ = Ат(Е - Г р )-1ы<т ) - /и т(и<т)) - Л, |
(2-12) |
где разрешающий оператор Тр имеет вид |
|
Тр = 5р~15р-2 •••$о> |
(2.13) |
а каждый оператор перехода в (2.13) |
|
Зр — Е —урВр Ат, |
(2.14) |
где оператор Вр имеет вид |
|
в р = в р(Е - Т а )~ \ |
(2.15) |
где |
|
= 5д_!5д_2 . .. 5 0; 39 = Е —69Б ~ 1Вр, 9 = 0,1,.., . , д . |
■ |
(2.16) При переходе с одной ступени на другую в многоступенча том методе операторы обращения Ат, Вр, выбираются так, что каждая последующая группа проще для обращения, чем пре дыдущая. При таком упрощении мы добираемся, наконец, до
факторизованных операторов, которые легко обращаются с по мощью метода переменных направлений (см. § 2, 3 гл. 5), либо до операторов, которые обращаются непосредственно, например, методом быстрого преобразования Фурье.
Как мы видели, итерационные параметры 0т, ур, 6Ч легко находятся, если известны константы спектральной эквивалент ности соответствующих операторов (см., например, (148) гл. 5). Однако такие константы известны далеко не всегда. Поэтому ите рационные параметры часто вычисляются при выполнении самих итерационных процедур из условия, например, минимальных по грешностей [110]. Такой способ выбора итерационных параметров называется их адаптацией. Как уже было отмечено, разностная задача (2.4) реализуется на прямоугольной сетке, если область V является прямоугольным параллелепипедом. Для шара в сфе рической, а для-цилиндра в цилиндрической системах координат также может быть введена прямоугольная сетка. Бели для рас сматриваемого тела V введена криволинейная система координат, в которой может быть выбрана прямоугольная сетка, то область V называется канонической.
Случай, когда область V является совокупностью каноничес ких областей, т.е. может быть разбита на подобласти (блоки) Уа , каждая из которых является канонической, будет рассмотрен в § 5, а пока сделаем несколько замечаний для случая, когда один из блоков Ур каноническим не является. Отобразим Ур на канони ческую область V ;, т.е. введем взаимно однозначное соответствие
между локальными координатами ха (а = 1,2,3) области Уа и локальными координатами х* области V*:
*в = < (* 1 .* 2 ,* з ).
Можно также установить взаимно однозначное соответствие меж ду узлами сетки в Ул и V*, причем в V* введена прямоугольная сетка
|
= Лог*'ог (а = 1) 2,3, 1ог — 0 ,1 ,..., |
(2.18) |
Так как лагранжиан обладает свойством аддитивности, то для |
||
области Уф |
он может быть составлен по правилам, рассмотрен |
|
ным в § 4 |
гл. 6 для прямоугольной сетки. Лля |
такой сетки и |
составляются разностные уравнения типа (2.4).
Итак, переход от неканонического блока к каноническому по требует, возможно, введения дополнительной ступени в итераци онном цикле вида (2.6), (2.8), (2.10).
Решению пространственных задач теории упругости описан ным в этом параграфе методом посвящены работы [92, 93, 133].
Решение задач терии упругости в напряжениях в постановке, описанной в $ 8 гл. 1 (48, 78], в том числе и методом функций штрафа, обсуждается в монографии [95].
§ 3. М ЕТО Д Ы ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛОВ
Одним из методов решения задач теории упругости является метод источников. Он заключается в следующем. Так как тензор
перемещения Кельвина [/{к\х, {■) удовлетворяет уравнениям Ламе
всюду, за исключением точки х = |
то выражение |
|
|
|
N |
|
|
|
^(Л°(2) = |
йь = ^(1)(5,!(*)) |
(3.1) |
|
1= 1 |
|
|
(где |
означает, что точка |
фиксирована) также удовлет |
|
воряет уравнениям Ламе всюду, за исключением точек х |
- 4(к), |
||
к = |
1 ,..., А. Расположим точки |
на некоторой замкнутой по |
|
верхности Е', называемой вспомогательной поверхностью. Тогда если упругое тело, заключенное в объеме V, расположено строго
внутри вспомогательной поверхности Е', то функции вида ф ^ \ х) (3.1) удовлетворяют уравнениям всюду в V. Если рассматрива ется первая краевая задача теории упругости, то на границе Е тела V нужно, чтобы
N |
|
^ 2 С кМ у ) = и°(у), у € Е, |
(3.2) |
4=1
где Ск — некоторые постоянные, а и0 — заданный на границе вектор перемещений. Если же решается вторая краевая задача, то нужно, чтобы
N |
|
$ > т 0 / ) = 5°(у), |
У € Е, |
4=1 |
(3.3) |
Фк(х) = <г(фк), |
|
где й к также некоторые постоянные, а 5° — заданные поверхнос
тные силы. Если |
N = 0 0 , то система |
является полной |
[53], но система |
таковой не является, |
ибо произвольное |
смещение тела как жесткого целого ортогонально ко всем фун кциям этой системы. В последнем случае нужно рассмотреть систему {& г}21_5, где ф0, ф-\, ф -2, ф -з, Ф -4, Ф-ь — произволь ная линейно независимая система векторов смещения тела как жесткого целого. Такая система оказывается линейно независи мой и полной в Х/2*(Е). Доказательства этого положения даны в [45]. Присоединенные векторы смещения тела как жесткого це лого в ходе вычисления не участвуют, ибо, как известно, вторая
краевая задача определяет вектор перемещения с точностью до произвольного вектора жесткого смещения. Для приближенного решения задачи теории упругости полагают N конечным и оп ределяют величины С* и Дь, к = 1 ,2 ,..., ЛЛ, методом коллокаций или методом наименьших квадратов.
В § 3 гл. 2 выведены интегральные уравнения задачи теории упругости. Для первой краевой задачи, когда на границе тела Е заданы перемещения и°, решение ищется в виде
и, = I Р[к\ у,х)рк(у)<П:у + и-, |
(3.4) |
2 |
|
«; = - У ‘ с/Р)(5,^)Х1( 0 ^ . |
(3.5) |
V |
|
При этом для плотности р(у) имеется интегральное уравнение
*Р<(у) + ^ Р {к\у,ч)Рк(г)) |
= «,9(у) ~ «<(Ю> |
(3-6) |
2 |
|
|
где х = \ для внешней краевой задачи и х = — | для внутренней. Для второй краевой задачи теории упругости, когда на гра
нице Е заданы поверхностные силы 5®, решение ищется в виде
«.• = ^ Р{к\х,г))Рк(ч) |
+ «И |
(3-7) |
2 |
|
|
а для плотности р(т)) имеется интегральное уравнение |
|
|
*Р.(Ю + ^ Р {к)(ч,у)Рк(п)<1%ч = 5?(у) - |
(3.8) |
|
2 |
|
|
где х — | для внутренней краевой задачи и х = —| для внешней. Заметим, что важным обстоятельством для исследования син гулярных интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости является тот факт, что интегральные опе раторы в (3.6) и (3.8) являются взаимно сопряженными. С. Г. Михлин [59] доказал, что к полученным сингулярным интегральным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. В. Д. Купрадзе [44] установил, что интегральные уравнения (3.6) и (3.8) имеют только действительные характеристические числа, по абсолют
ной величине меньшие единицы.
Заметим, что при применении методов потенциала решение трехмерной задачи теории упругости, по существу, сводится к решению двумерных интегральных уравнений (3.6) и (3.8). У рав нения (3.6) и (3.8) можно переписать в виде
М Ю + «у |
Г**(Р>3)»$)^ |
= а Ш ) , |
(3-9) |
|
2 |
|
|
|
|
р,(у) + а ! |
Кгк(у, ч)Рк(г}) |
= ад{(у), |
(3.10) |
|
2 |
|
|
|
|
где |
|
К1к(у,г1) = 21*к)(Ц,у), |
|
|
Г«(М ) = 2/*[Ь)(М ), |
|
|||
Л = 2(и?-и{), |
р, = 2(5? -/0 ^ Ы , |
|
||
причем для первой внешней и второй внутренней краевых задач теории упругости а = 1, а для первой внутренней и второй внешней краевых задач а = —1.
К решению уравнений (3.9) и (3.10) можно применить итераци онный метод. Решение ищем в виде ряда
МП) = Х 2 а"р<п)(у)> |
(3.12) |
п=0 |
|
причем для первой внутренней краевой задачи теории упругости
Л ) |
= -Му), |
|
|
|
р1")(5) = / г ,*(!/^)рГ |
1)« ) ^ ч, |
п = |
1,2,..., |
(3-13) |
2 |
|
|
|
|
а для второй краевой задачи теории упругости |
|
|||
р,-0)(Р) = <*&(у), |
|
|
|
|
Р*П)(5) = ^ Я Ы & ч)р1П-1)0?)<*Еч, |
п = |
1,2,... , |
14) |
|
|
||||
где а = 1 для внешней задачи и а = —1 — для внутренней. Из-за наличия сингулярных членов в уравнениях (3.9) и (3.10)
необходимо построить регулярные представления, позволяющие
Вершины многоугольников называются основными точками и обозначаются ут ( т = 1 , 2 Центры тяжести многоуголь ников называются опорными точками и обозначаются через т?„ (п = 1 ,2 ,... ,ЛГ). Таким образом, N — число криволинейных многоугольников, М — число основных точек.
Зададим нулевое приближение плотности во всех основных
точках |
согласно (3.13) |
р\°\ут) |
= -/ .(у т ), * = 1,2,3, |
или сог |
ласно |
(3.14) р \ ^ \ у т ' ) = |
< * 0 »(У т )- |
Значение п л о т н о с т и в |
опорных |
точках р < °^ п) определяем как среднее арифметическое значений плотности в вершинах рассматриваемого криволинейного прямо угольника
Р^Чпп) = = |
^2р\°\пд), |
(3.18) |
Рп ? =1
где /?„ — число вершин п-го прямоугольника. Далее переходим к
вычислению значений плотности р ^ (у т ) в основных точках. Для этого используем соотношения (3.13) или (3.14) и регулярные пре дставления (3.15) или (3.16) для сингулярных интегралов. Тогда каждое слагаемое в интегральной сумме будет представляться как произведение подынтегрального выражения, вычисленного в опорной точке, на площадь области, соответствующей данной опорной точке (меру данного элемента). Определив таким об
разом значения р\Х\ у т ) во всех основных точках, вычисляем по формуле (3.10) значение плотности в опорных точках и т.д.
Описанный алгоритм можно модифицировать, выбирая различ ным образом множество основных и опорных точек.
§4. М Е ТО Д Ы М О Н ТЕ-КА РЛО
Воснове методов Монте-Карло (методов статистических испы таний), применяющихся в различных областях вычислительной математики, лежит так называемое моделирование статистичес кого эксперимента с помощью Э ВМ и регистрация числовых характеристик, получаемых из этого метода. Как правило, ошиб ка метода не может быть достаточно хорошо оценена заранее и чаще всего находится путем определения средних квадратичных для моделируемых величин.
Идея самого распространенного метода заключается в пост роении случайного процесса, характеристики которого являются искомыми величинами для некоторой детерминированной зада чи [119]. При этом приближенное определение этих величин происходит путем приближенного вычисления статистических ха рактеристик, связанных с введенным случайным процессом.