книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfОдин из способов построения матрицы А заключается в том, что в качестве ее столбца берется решение второй краевой задачи теории упругости для области V с поверхностной нагрузкой, задаваемой в виде векторов
Зд = 1д + <*кгР.- (К = 1 , ... , * = т ) , (5-12)
где 1к — векторы, у которых все компоненты нулевые, за исклю чением К -й строки, где стоит единица.
Будем далее в этом параграфе считать, что суммирование по индексам, изображающимся -большой латинской буквой, про исходит от 1 до N1, а по индексам, изображающимся малыми латинскими буквами, — от 1 до т.
Векторы Р,- подбираются так, чтобы, во-первых, каждый из векторов был самоуравновешенным и, во-вторых, чтобы ко эффициенты а /а из условия самоуравновешенности находились однозначно. Лля этого, как нетрудно видеть, необходимо и дос таточно, чтобы
<1е4|(Р,-,ру)|^0. (5.13)
Упражнение 5.1. Показать, что из условия (5.13) вытекает, что система векторов Р,- принадлежит линейной оболочке, натянутой на векторы Ру. ■
Тогда матрица А будет составлена из столбцов (обозначим их II/с), получающихся при решении второй краевой задачи теории упругости с поверхностными силами (5.12). Отсюда видно, что матрица А будет, вообще говоря, зависеть от выбора векторов
Р,-. Покажем, однако, |
что если нагрузка |
8 является |
самоурав- |
новешенной: |
= «д1к , (3, Ру) = |
|
|
3 |
0, |
(5-14) |
то соответствующий вектор перемещения будет получаться сле
дующим |
образом: |
|
|
Ч = «дЧ д, |
(5.15) |
т.е. |
АЗ = «д А8 х - |
(5.16) |
|
||
В самом |
деле, имеем |
|
|
«дЗд = «д1д + «как,-Р,- = 8 + 8Ка к,-Р,-. |
(5.17) |
Но из условий самоуравновешенности нагрузок |
|
|
|
(Зд,Ру) = 0, (3, Ру) = 0 |
(5.18) |
Для плоской задачи теории упругости можно выявить явную зависимость матрицы А от упругих постоянных. В самом деле, для плоской деформации
1 —I/2 / |
|
и |
\ |
г,3, к = 1,2, |
(5.25) |
Ец = —д — ( о-у - ^-^ик€ц<тк, ) , |
|||||
а для плосконапряженного |
состояния |
|
|
||
^ |
(<?•} ~ |
ж н е ц е н ) , |
»,], к = 1,2. |
(5.26) |
|
Так как в односвязной области для плоского случая решение второй краевой задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных, то деформации Сц для односвязной области с коэф фициентом Пуассона и выражаются через деформации и е -
для той же области соответственно с коэффициентами Пуассона 1/1 и 1/2 по формуле
е0 = / ? 4 + ( 1 - / ? ) 4 , |
(527) |
где |
|
0 = |
(5.28) |
1^ - 1/1 |
|
Поэтому матрица А для коэффициента Пуассона V выражается через матрицы А 1 и Аг соответственно с коэффициентами Пуас сона 1/1 и 1/2 следующим образом:
А = РАр + (1 — /?)А2. |
(5.29) |
Заметим, что вычисление матриц влияния А требует значи тельных усилий. Однако сама идея использования этих матриц может быть применена к решению разностных уравнений типа
(2.6), (2.8), (2.10).
Вводя обозначения (2.7), перепишем уравнение (2.6) в виде
В ь = д, |
(5.30) |
где В = Ат. Разностная схема (2.6), а значит, и (5.30), получена нами вариационно-разностным методом. Поэтому во входные дан ные д входят значения и^т \ являющиеся основными граничными условиями, или величины 5^т\ представляющие собой естест венные граничные условия для оператора Ат (или В ). Если рассматриваемая область является канонической, то трудностей для обращения оператора В в (5.30) не возникает. Если же
область поделена на канонические блоки, стыкующиеся между со бой, по поверхности Г, не являющейся границей для всей области, то на такой поверхности, общей для, например, двух блоков, мы задаем величины /Д и 51 для одного блока и Йг, ^ для другого. Пусть для каждого из этих блоков известны матрицы влияния А% и А2 соответственно. Обозначим Оцг) и ^г(г) перемещения в узлах поверхности Г, возникающие при решении уравнений (5.30) для каждого блока.
Тогда имеем
[/1 — А х ^ ! + [/ц г), V? = Аг5г + С^г(г)- |
(5.31) |
При этом из условий непрерывности имеем на Г
(Д = йа, 51 + 52 = 0. |
(5.32) |
Тогда для определения вектора 51 получаем из (5.31) и (5.32) разностную систему
(Ах + Аг)51 = С^2(Г) —^1(г)> |
(5.33) |
которую можно решить описанным выше итерационным способом.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Сходимость итерационных методов, рассмотренных в § 2, обес печивается выполнением условий (5.4) гл. 5, накладываемых на определяющие соотношения.Для теории малых упругопластичес ких деформаций, рассмотренной в § 4 гл. 2, эти условия имеют вид
0 < 2/и К — * |
— * 2,1, |
(6.1) |
Су |
Су |
|
или |
|
|
Аш |
|
(6.2) |
0 ^ ш ^ ы + е „ ^ - ^ 1 - ч < 1, |
||
для случая мягкой характеристики, т.е. когда кривая <ти ~ еи (см. рис. 6) имеет выпуклость вверх. Если же рассматривается жесткая характеристика, т.е. кривая имеет выпуклость вниз, то соотношения (6.1) и (6.2) заменяются соответственно на
2/1 < — ^ |
— |
< 2/хт»! < 00, |
|
(6.3) |
|
Су |
и Су |
|
|
|
|
- о о < 1 - гд ^ |
и> + |
<1ш |
О, |
(6.4) |
|
еи 3 |
^ ш ^ |
||||
|
|
<* |
Ей |
|
|
причем |
|
|
|
„ , = “ Ш |
, Л?, = птах |
■ |
(6.14) |
Квазистатические задачи теории малых упругопластических деформаций могут быть решены методом, описанным в § 2, где в качестве операторов Ат в (2.6) выбираются функциональные производные оператора Ь теории малых упругопластических де формаций, в качестве операторов Вр в (2.8) — операторы Ламе
теории упругости, а в качестве операторов в (2.10) — опера торы Лапласа, обращаемые прямыми методами.
Подобным образом задачи теории малых упругопластических деформаций решались в работах [94, 95, 132, 133].
Глава 8
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
§ 1. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим изотропную линейную вязкоупругую среду, в ко торой связь между напряжениями и деформациями описывается соотношениями (5.12) и (5.13) гл. 2:
т)0(т)Л- = Г10 (1.1)
^ Я(г - т) <1е{)(т) ^ к ец , |
т)Щт) = к 1(9. (1.2) |
о |
|
Если используются соотношения (1.1), то удобно применить к ос новным уравнениям теории вязкоупругости преобразование Лап ласа, описанное в приложении II. Если же используются соотно шения (1.2), то более удобным является преобразование ЛапласаКарсона, которое каждой функции-оригиналу /(I) ставит в соот ветствие функцию-изображение /*(р) по формуле
00
Г(р) = р / ^ ‘/(ОЛ- |
(1.3) |
о |
|
Рассмотрим динамическую задачу изотропной линейной тео рии вязкоупругости, которая заключается в решении уравнений движения
Р«| |
+ - г д « , + ( г , + 1 г ) |
(1.4) |
при выполнении некоторых граничных условий, например,
+ <$1; ( г , |
- | г ) * П] |г2 = 5°, |
(1.5) |
и начальных данных: |
|
|
при 1 = 0 Щ = и , |
«, = ^ - |
(1.6) |
Тогда после применения преобразования Лапласа получим задачу в изображениях:
- Рц { - к = х : + 1 г* д«? + ( г ; + |
е% |
(1.7) |
«*|5, =(«?)* |
"*!=, = ($?)•• |
|
|
|
(1.8) |
Решив задачу (1.7), (1.8) в изображениях, нужно вернуться с по мощью обратного преобразования Лапласа к оригиналам, чтобы получить искомое решение. Если рассматривается квазистатическая задача теории вязкоупругости, то в формулах (1.7), (1.8) нужно положить р = 0, (7,- = О, V* = 0.
Заметим, что, хотя формально задача (1.7.), (1.8) напоминает задачу теории упругости, все же решение задачи теории вязкоуп ругости методом преобразования Лапласа вызывает определен ные трудности из-за сложности выполнения операции обратного преобразования Лапласа.
При применении преобразования Лапласа, так же как и при нципа Вольтерры, рассмотренного в § 5 гл. 2, большое значение имеет аналитическая форма задания ядер релаксации и ползу чести. Обычно экспериментально найденные значения этих ядер задаются дискретным набором значений, соответствующих неко торым фиксированным временам, чаще всего через равные про межутки времени. По этим экспериментальным значениям строят различными методами аналитические аппроксимации ядер в спе циальной форме. Известны такие аналитические представления Ю.Н. Работнова, М.А. Колтунова, А.П. Вронского, А.Р. Ржаницына [33, 90] и др. Такая аналитическая аппроксимация часто является источником дополнительных погрешностей, ибо трудно дать аналитическое выражение ядра, хорошо описывающее экспе риментально найденное на достаточно большом временном интер вале. В следующем параграфе указывается метод, не требующий аналитического описания ядер релаксации и ползучести. Для получения численного решения задачи теории вязкоупругости также нет необходимости производить аналитическую аппрокси мацию экспериментальных значений. Пусть, например, временной