книги / Общая термодинамика
..pdfтемпературным эффектом этого процесса. В зависимости от знака этого отношения температурный эффект называется по ложительным или отрицательным.
Предел этого отношения, т. е.
называется |
истинным температурным эффектом |
расширения |
в пустоту. |
|
|
Так как |
это расширение — изодинамический |
процесс, то |
можно поставить несколько более общую задачу отыскания истинного температурного эффекта любого изодинамического процесса.
Изодинамический процесс может состоять в расширении или сжатии, может быть адиабатическим или неадиабатиче ским, обратимым или необратимым, между тем как расшире ние в пустоту является именно изодинамическим, необратимым, адиабатическим процессом, происходящим без совершения внешней работы.
2°. Представим систему, зависящую от трех параметров: температуры, объема и массы (t, V, m), причем т = const.
Тогда (см. § 6-7, 1°)
U — f (pi — const, t, V)\
d U = ( - f ) d ‘ + ( - w ) d V
Ho, (6-36) и (7-46),
Поэтому в случае обратимого изодинамического процесса
(dU=0) имеем:
Cvdut + ( l - p ) d uV = 0 , |
(9-1) |
или
Всегда С0 > 0, поэтому знак температурного эффекта
1-^ -) изодинамического процесса противоположен знаку раз
ности I — р. Если эта разность положительна, то производная
( w - ) отРии'ательна. и наоборот.
3°. Определение знака разности I — р весьма облегчается при том выражении для скрытой теплоты I, которое может быть получено на основании второго начала термодинамики
Поэтому общие заключения, к которым приводит соотношение (9-2), будут рассмотрены в (§ 13-7) после изложения второго
начала.
Здесь же мы ограничимся примерами,
4в которых знак разности I — р можно установить, не имея окончательного выражения
|
|
скрытой теплоты |
I, |
или I |
исключается воЕсе. |
|||
--------------------Сравним |
обратимый |
адиабатический |
про- |
|
||||
Фиг. 9-1. |
|
цесс с изодинамическим процессом, в |
част |
|||||
|
|
ности |
с процессом |
расширения |
в пустоту, |
|||
являющимся |
|
то же адиабатическим, |
но |
необратимым |
про |
|||
цессом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем |
следующую теорему: |
|
|
|
|
|
||
[9-А]. Если в системе, характеризуемой тремя пара |
||||||||
метрами, |
изодинамический |
и |
обратимый |
адиабати |
||||
ческий процессы начинаются из одного и того же состоя |
||||||||
ния и |
вызывают |
одинаковое |
изменение объема, |
то в |
||||
конце изодинамического расширения температура будет выше, чем в конце обратимо-адиабатического расшире
ния, |
при сжатии же — наоборот. |
|
|
||||
Так как в обратимых процессах |
|
|
|||||
|
|
|
DQ = |
Cvdt + |
ldV, |
|
|
то в обратимом |
адиабатическом процессе (индекс s) |
|
|||||
|
|
|
Cv dst |
— О- |
|
(9-3) |
|
В изодинамическом же процессе (см. § 6-7,1°) |
|
||||||
|
|
|
Cv dut + |
( l - p ) d uV = 0. |
|
(9-1) |
|
Допустим, что изодинамический и обратимый адиабати |
|||||||
ческий процессы начинаются из |
одного и того же |
состояния |
|||||
А и вызывают |
одинаковое |
изменение объема dV (фиг. 9-1). |
|||||
Если |
приращения объема |
системы в обоих |
процессах одина |
||||
ковы, |
т. е. dsV=zduV — dV, |
то, вычтя (9-3) |
из (9-1), |
получим: |
|||
ИЛИ |
|
|
C . V f t - W - P d . V , |
|
|
||
|
|
dut — ds t — pdu V |
|
|
|||
|
|
|
|
(9-4) |
|||
Так как р и Cv положительны, то знак разности |
dut — ds t |
||||||
совпадает |
со знаком da V |
|
|
|
|
||
Пусть |
Va и ta — объем |
и температура в начальном состоя |
|||||
нии А; V — общий объем в конце |
изодинамического |
и обрати |
|||||
мого адиабатического процессов, a tu и ts — конечные темпе ратуры, соответствующие этим процессам.
Тогда, проинтегрировав (9-4) от VА до V, получим:
v
Уа
или
( 9 ' 5 )
уа
Обратим внимание на индекс и, показывающий, что, инте грируя, нужно иметь в виду ту зависимость между р и V, которая имеет место в изодинамическом процессе.
При расширении
d V > 0 ;
уа
при сжатии |
|
|
|
d V < 0; |
j - |
^ < 0 . |
|
|
VA |
|
|
При выводе мы предполагаем, что изодинамический |
про |
||
цесс обратим. Так как в случае |
системы, зависящей от |
трех |
|
параметров при постоянной массе системы, ее состояние (а,
следовательно, и температура) |
полностью оп |
и• |
||||||
ределяется значениями внутренней |
энергии (У |
|||||||
5' |
||||||||
и объема V в конце процессов, то сделанный |
||||||||
|
||||||||
нами вывод будет |
справедлив |
и |
для |
необ |
|
|||
ратимых |
изодинамических процессов. |
|
|
|||||
Таким |
образом, |
теорема |
[9-AJ |
доказана. |
фиг. 9-2. |
|||
На фиг. 9-1 представлен тот, чаще встре |
|
|||||||
чающийся случай, |
когда в системе с тремя параметрами обра |
|||||||
тимо-адиабатическое расширение |
сопровождается |
падением |
||||||
температуры; S S 1— обратимая адиабата; |
UU* — изодинама. |
|||||||
На фиг. 9-2 изображен случай, когда обратимо-адиабати |
||||||||
ческое расширение |
вызывает |
повышение температуры. |
||||||
9-2. ДРОССЕЛИРОВАНИЕ
Другой необратимый адиабатический процесс, имеющий очень важное значение в технике, называется в физике про цессом Джоуля-Томсона, а в технике — дросселированием,
1°. Известно, что в направлении течения по закрытому каналу давление р текущей системы (жидкости, системы жидкость— пар, газа) падает. Так, если система течет слева направо (фиг. 9-3) и сечениям
^о» |
^2» ^з> ••• |
соответствуют давления р0, Ри р2 >Рз> •••, т° Р0> Р \ > Р 2> Р з - |
|
(в технической литературе вместо «падение давления» принят термин «перепад давлений»).
Быстрота падения |
зависит от природы текущей системы |
||
и ряда других |
обстоятельств. |
|
|
Прежде всего, чем |
глаже внутренняя |
поверхность канала, |
|
тем медленнее |
падает |
давление. |
|
Чем больше |
средняя скорость течения, |
тем быстрее падает |
|
давление. С уменьшением площади поперечного сечения трубы
|
возрастает быстрота |
паде |
|||
|
ния давления. |
|
|
||
|
Всякое |
течение, |
в кото |
||
|
ром при постоянной средней |
||||
|
скорости |
происходит паде |
|||
|
ние давления, необратимо. |
||||
|
Далее, |
в гл. |
11, мы уви |
||
Фиг. S-3. |
дим, |
что |
если в |
различных |
|
|
сечениях |
трубы |
скорости |
||
неодинаковы, то вместе |
с изменением |
скорости |
неизбежно |
||
будет изменяться и давление, а именно в сечении," где ско рость больше, давление будет меньше, и наоборот. Измене ния давления, вызванные только изменениями скорости тече ния, ничего общего не имеют с падением давления при по стоянной средней скорости течения и считаются обратимыми.
2°. Очевидно, при очень малых скоростях течения в канале
с постоянной |
площадью поперечного сечения и гладкими стен |
|||||
ками падение |
давления |
может |
стать |
пренебрежимо |
малым. |
|
Но если |
в трубе имеется |
значительное сужение (фиг. |
9-4), то |
|||
на этом участке падение давления станет значительным. |
||||||
Роль |
такого сужения |
может |
выполнять всякая вставленная |
|||
в трубу |
пористая диафрагма. |
Этого |
же можно достигнуть, |
|||
заложив |
некоторый участок трубы опилками, ватой и т. п. |
|||||
Пренебрегая падением |
давления в широких частях |
трубы |
||||
и длиной ее суженного участка, мы получим график давления, данный на фиг. 9-5.
Такое внезапное падение давления текущей системы назы вается дросселированием. Из сказанного в конце п. 1° следует, что дросселирование— процесс необратимый.
3°. При всяком течении положение частей системы в про странстве постепенно меняется.
Течение называется стационарным, если в одном и том же месте, последовательно занимаемом различными частями системы, температура, давление и все удельные величины
системы остаются неизменными. |
|
Пусть, например, рА, tA, VA, иА, . р в, tB, VB, ив, |
будут |
соответственно: давление, температура, удельный объем, удельная внутренняя энер гия в точках А и В про странства. При стационар ности течения рА может не
равняться р в, tA может быть не равна tB и т. д., но ни
одна из этих величин не должна быть функцией вре мени.
Когда скорость течения Р мала, всегда можно пред ставить температуру одина ковой во всех точках систе мы (для этого достаточно предположить, что труба с текущей системой помеще на в термостат). Мы можем также осуществить адиаба
тическое течение, т. е. такое, при котором система не обме нивается теплотой с окружающей средой: для этого доста точно сделать трубу из адиабатного материала.
Ниже |
дана |
теория |
дросселирования |
в |
предположении, |
что |
|
течение |
стационарное |
адиабатное, |
а его |
средняя скорость |
до |
||
и после |
падения давления пренебрежимо |
мала. |
|
||||
|
|
9-3. ТЕОРИЯ ДРОССЕЛИРОВАНИЯ |
|
||||
1°. Пусть |
течение |
происходит |
слева |
направо и А — тот |
|||
очень малый по длине участок трубы, в котором имеет место
падение давления. Часть си- |
|
л |
|
||||
стемы, |
расположенную |
слева |
1 |
2 |
|
||
от А, обозначим индексом /, В, |
4 |
||||||
|
t2,P2, V2, |
||||||
часть же, расположенную спра |
|
|
|||||
ва от А,—индексом 2 (фиг. 9-6). |
|
“2,h |
|
||||
Разобьем |
мысленно часть 1 |
|
|
|
|||
на очень тонкие слои. |
малой |
Фиг. |
9-6. |
|
|||
При |
пренебрежимо |
|
|
|
|||
скорости течения в этой части нет |
никаких |
оснований |
для |
||||
того, чтобы давление и температура |
в одном слое отличались |
||||||
от таковых |
же в другом. То же относится к части 2. |
Обо |
|||||
значим |
через р х, t x, |
р2 и t2 давления и |
температуры |
в частях |
|
/ и 2. |
|
|
|
|
|
Так |
как |
каждая |
удельная величина |
может быть |
рассмат |
риваема |
как |
функция давления и температуры, то |
значения |
||
этой удельной величины тоже будут одинаковы во всех слоях
одной и той же части. |
|
|
|
Итак, |
имея в виду |
стационарность сечения, можем напи |
|
сать: |
|
|
|
p,=const; f)=const; |
t>,=const; « ^ c o n s t; |
A ^const; |
|
p2=const; ?2=const; o2=const; u2=const; A2=const, |
|||
где v, и, |
A— удельные |
объем, внутренняя |
энергия, теплосо |
держание, а под их постоянством нужно понимать неизмен
ность во |
времени. |
т х первой |
|
|
|
||
При |
течении |
масса |
части будет |
уменьшаться, |
|||
масса т2 второй |
части — возрастать, и так как |
система мате |
|||||
риально |
изолирована, то |
|
|
|
|||
|
|
т = т х+ |
m2=const; |
dm x= — dm2. |
|
(9-7) |
|
Объем, |
внутренняя |
энергия и |
теплосодержание |
части 1 |
|||
выразятся |
так: |
Vx—tnxvx\ Ux= m xux; H x= m xhx. |
|
(9-8) |
|||
|
|
|
|
||||
Аналогичные |
выражения получим для части 2; |
для вну |
|||||
тренней энергии и теплосодержания всей системы получим:
U = m xux+ m2u2;
H = m xh x-f- m2h2 = m, (ы, + p xvx) -|- m2 (и2 -f- р2о2) = |
(9-9) |
= U X+ PiVi~\~U2 +
При течении вместе с массой каждой части будут изме няться ее объем, внутренняя энергия и теплосодержание. При этом, так как все удельные величины постоянны, имеем:
dV x= vxdm x; d (Jx= u xdm x; dH x= h xdmx; |
|
dU = u xdm x-f u2dm2= d U x+ dU2, |
(9-10) |
d H = h xdmx-\- h2dm2—d (U! -+- p xVx)-\- d (U2 -f- p2V2). |
|
2°. Очевидно, при наличии „пробки" (опилок, пористой диа фрагмы, внезапного сужения диаметра трубы), вызывающей падение давления, перетекание через нее не может происхо дить само собой; необходимо каким-нибудь образом поддер живать стационарность течения. Проще всего представить себе для этого поршни В х, В2, изолирующие такую систему от окружающей среды и являющиеся непроводниками тепла (фиг. 9-6).
Вследствие внешнего давления |
на поршень |
В\ последний |
||||
движется с некоторой малой скоростью |
направо. |
Это |
вызы |
|||
вает постепенное перетекание системы из |
левой |
части |
в пра |
|||
вую. Увеличение массы правой части при |
постоянном |
удель |
||||
ном объеме v2 вызовет увеличение |
ее объема, и |
|
поршень |
В2 |
||
должен двигаться направо, преодолевая внешнее |
давление |
f 2. |
||||
Таким образом, оба внешних давления |
и f 2) |
совершают |
||||
работу. Перетеканию бесконечно малой массы dm соответ ствует элементарная внешняя работа
DWe — — f\dV\ — f 2dV2.
Предположим, что между поршнями и трубой трения нет. Тогда скорости поршней могут оказаться неизменными только при условии, что давления по обе стороны каждого
поршня равны, т. е.
U — Рь !г — Р2-
Поэтому
DWe = — P\dVx— p2dV2
или, так как |
по условию стационарности р\ и р2 |
постоянны |
и dpi — dp2 = |
0, то |
|
|
D W ^ - d f a V O - d i p M . |
(9-11) |
3°. Применим к рассматриваемому адиабатическому не обратимому перетеканию из левой части трубы в правую пер вое начало:
dU = DWe, так как DQ = 0.
Воспользуемся (9-10) и (9-11); тогда |
|
|
dU — dU 1 -(- dU2 — — d (p\V[) |
d (Рг^г)» |
|
или |
|
|
d(U\-\-p\V\)-\-d{U2 -\-p2V2) — 0, |
|
|
a no (9-10) |
|
|
dH — dH\ —}- dH2 — 0, |
) |
(9-12) |
или |
> |
|
H = Hi-\-H2 = const. |
] |
|
Этому равенству можно придать другой вид. В самом |
||
деле, вследствие (9-7) |
|
|
dH — (Л2 — Л,) dm2 = |
0, |
|
но при перетекании |
|
|
е?т2=т^0 |
|
|
и, следовательно |
|
(9-13) |
h2 = h\. |
|
|
(9-12) и (9-13) выражают характерное свойство изучаемого процесса,
[9-Б]. При адиабатическом стационарном дросселиро вании теплосодержание текущей системы постоянно, а следовательно, удельное теплосодержание перед дроссе лированием равно удельному теплосодержанию после него.
4°. Сопоставим особенности процесса расширения в пустоту и дросселирования.
Процесс расширения в пустоту состоит в необратимом адиабатическом (без внешней работы) изодинамическом уве личении объема системы:
d l/ > 0 ; U = const; DQ = 0; DWe = 0.
Дросселирование — это необратимое адиабатическое уменьше ние давления при постоянном теплосодержании:
d p < i 0; H = const; DQ = 0.
Обычно при дросселировании внешняя работа отлична от нуля.
Действительно, по (9-11), (9-10) и (9-7)
QWe = (plVl — p2v2)dm 2.
Так как й п ц ф 0, то DWe может обратиться в нуль только, если
Pfll = P2V2>
этот случай имеет место, если газ строго подчиняется закону Бойля-Мариотта.
9-4. ИЗМЕНЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ДРОССЕЛИРОВАНИЕМ
1°. Так как изменение только одного признака системы невозможно, то вызываемое дросселированием уменьшение давления должно сопровождаться изменением некоторых дру гих признаков системы: удельного объема, температуры, сте пени сухости и т. д.
В системах, зависящих от трех параметров, легко устано вить эти изменения. Пусть за параметры такой системы при няты масса т = const, давление и некоторый признак х у -не зависящий от р. При таком выборе параметров произвольные изменения dp и dx вызовут элементарное приращение тепло содержания (см. § 6-7, 1°):
Представим себе изэнтальпный процесс, в котором проис ходит падение давления. Так как при этом Н = const, то предыдущее равенство запишется так:
|
- ) d Hp = 0. |
(9-14) |
Таким |
образом, очевидно, что в таком |
процессе эле |
ментарные |
приращения dHo и dHx перестают |
быть незави |
симыми и должны удовлетворять условию (9-14). В этом уравне-
нии частные производные |
/дН \ |
_ .idH |
|
|
не |
могут одновре |
||||||
^ дх ■), |
■ т |
, |
|
|||||||||
менно обратиться |
в нуль, |
так как это означало бы, что |
теп |
|||||||||
лосодержание |
не |
зависит |
ни от р, ни от |
х, |
т. |
е. |
не зависит |
|||||
от состояния |
системы. Так как |
всегда |
dHp < i 0, |
то из |
(9-14) |
|||||||
|
|
dHx =\), |
|
|
|
дН \ _ |
|
|
|
|
|
|
заключаем: если |
то |
И( Ф ), = |
|
0, |
и, |
наоборот, |
если |
|||||
( | ^ = 0, то |
и dHx = 0 [так |
как |
|
и |
|
не |
М0ГУТ |
|||||
одновременно |
обратиться |
в |
нуль]. |
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V = |
o |
; |
( - f - ) t = o |
|
|
|
|
(9-15) |
||
имеют место одновременно или вовсе не имеют места. Соглас
но § |
6, 7, 1° всякое |
состояние может быть достигнуто |
обра |
||
тимым путем. |
|
|
|
||
Таким образом |
|
|
|
||
|
[9-В]. Дросселирование не вызывает изменения пара |
||||
|
метра х только в тех состояниях, в которых частная |
||||
|
производная |
|
равна нулю. |
|
|
2°. Примем, например, за параметр х температуру t. |
|
||||
Тогда или справедливы оба равенства |
|
||||
|
|
|
|
dHt — 0; ^ ф ^ — 0, |
|
или ни одно из них не имеет места. |
|
||||
Так как |
теплосодержание идеального газа |
|
|||
|
|
|
|
H = U + pVz=U -\-nRT |
|
и U — функция п |
и t, то Н — тоже функция п и / (и |
вовсе |
|||
не зависит |
от р). |
Следовательно, |
|
||
|
|
dHt = |
|
(£),= о |
|
и, |
значит, |
0 |
(по [9-В]), т. е. |
|
|
[9-Г]. Дросселирование идеального газа не вызывает изменения его температуры.
19 А. А. Акопян.
