Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая термодинамика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

29.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 7031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Или еще общее:

Как

бы ни

отличались

состояния

и 2

идеального

газа,

U2 = U|,

если

t2 — t\.

идеальном

Поэтому во всяком изотермическом процессе

газе сумма внешней работы

и полученного

извне

тепла

равна

нулю.

Действительно,

согласно

первому

началу

dU = DQ-\-DWe,

и на основании

[10-Б]

deU =

следовательно,

DtWg-\- DtQ — 0.

(10-5)

В обратимом

процессе

DWe =

~ pdV; по (10-1) при / =

const

pdtV=z

nRTdt 1п И,

и (10-5)

дает:

Dt Q — tiRTdt In V,

|ИЛИ

( 10-6)

Q,2 = nRT In

({£-).

В случае же необратимого изотермического процесса усло

вие p —f

не имеет

места,

и тогда чем

меньше внешнее

дав

ление (при расширении),

тем

меньше

абсолютное

значение

внешней

работы

и полученное

системой

извне

количество

тепла.

2°. Пусть п = const, t и

х — параметры

идеального

газа,

причем

качестве

х могут

быть

приняты

объем

V, давление

р и т.

д.

Из (10-4) следует:

(а г ), = °:

<'°-7>

в частности,

если

положить

х =

V, х == р,

то

Здесь целесообразно обратить внимание на следующее. Когда за параметры идеального газа приняты п, t и х , то, например, если х = V, из утверждения, что внутренняя энер гия идеального газа зависит только от п и t, вытекает неза висимость внутренней энергии от объема и наоборот. Однако,


говоря о независимости				внутренней		энергии		идеального		газа
от объема, часто вовсе				не упоминают о			том, какие		признаки
приняты	за другие два параметра. Между тем независимость
внутренней энергии от объема имеет						место только			в том слу
чае, когда за другие два параметра						приняты		n u t .
Разберем этот вопрос в общем случае. Пусть за параметры
приняты	не п,	t,	х, а у, z,		х.	Тогда		п = f ( (у, г,		х),
t —	z> х) и из	(Ю-4)		следует;
В правой части этого равенства						оба	слагаемые		отличны
от нуля,	и поэтому		вообще		^ 0 .

Примем за параметры п, р, V, т. е. положим у — п\ z = p ;

х= V Тогда

ипоэтому

Как будет показано, см. (10-13),

по уравнению состояния

и, следовательно,

Этот результат можно получить из соотношения

Имея в виду, что

снова находим:

Конечно, [10-Б] можно высказать			еще	и так:
[10-В]. Если	U = const,	то и	t — const, т. е. в		идеаль
ном газе всякий	изодинамический процесс будет				и изо
термическим.
Эта мысль математически		может	быть	выражена	следую
щим образом:

( £ • ) „ = о;

в частности	при	х =	V;	х = р	имеем:
								( 10- 10)
Наконец,	по	(10-4)	при п =		const	U	зависит только от t, и
поэтому		(dU.\		_ n d - f ( T ) _ d U
		(dU.\		_ n d - f ( T ) _ d U				( 10- 11)
		\'dt Jv ~			dt *	dt	’	( 10- 11)
		\'dt Jv ~			dt *	dt	’

т. е. частная производная внутренней энергии по температуре

является	полной	производной.
3°. Согласно		§ 7-8	\ = L1	— Р-. Поэтому	из (10-8) выте-
кает, что	в случае идеального			газа
			1 =	р ,	( 10- 12)

т. е. скрытая теплота обратимого изотермического изменения объема идеального газа равна его давлению.

(10-10) непосредственно выражает равенство нулю темпе ратурного эффекта всякого изодинамического процесса и, в частности, расширения в пустоту в идеальном газе.

Наконец,

				= С
Поэтому, положив в		(10-11)		х = V,	имеем:
		СZf =	п	d t (Т) _	dU_	(10-13)
		СZf =	п	dt	dt	(10-13)
Здесь Cv — теплоемкость			n	граммолей		идеального газа	при
постоянном	объеме;	cv = ^ -----молярная				теплоемкость	при
V = const.	Таким образом		[см. 10-3) и (10-4)],

с„

dt (t)

т. е

[10-Г]. Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме — функция одной только темпера туры.

Теплоемкости газов определяются экспериментально с большой точностью. Экспериментами установлено, что в до вольно широком интервале температур теплоемкость cv газов

слабо зависит от температуры.

На этом основании молярную теплоемкость cv идеальных

газов нередко считают постоянной величиной. Поступая так, нужно, однако, помнить, что это нисколько не вытекает из определения [10-А], а является результатом экспериментов и носит приближенный характер.

Зависимости (10-13) и (10-14) приводят к следующим важ ным результатам, справедливым только в случае идеальных газов:

du = cvdt;

(10-15)

dU — Cvdt,

причем cv ^> 0; Cv ^> 0 всегда. Следовательно, из (10-15) выте кает, что dU и dt — всегда одного знака, т. е.

[10-Д]. Молярная внутренняя энергия идеального газа — возрастающая функция температуры.

Интегрирование (10-15) дает:

	(10-16)
U = f a	t + A; U2- U x= ^Cvdt,
	1
где а и Л — контакты	интегрирования; А — па, a ^cvd t—функ

ция одной только температурь;, легко определяемая, если молярная теплоемкость cv известна как функция темпера

туры. Эта последняя часто дается в виде степенного ряда:

cv — со~Ь схТ-\-с2Т2-{- ...-\-спТп,

(10-17)

в котором коэффициенты с0, с х, с2,..., сп постоянны, Из (10-16) находим:

и = с0Т -[-	cnTn+ l	- f a .	(10-18)
	я -f 1

В этом выражении интеграционная константа а эксперимен тально неопределима. Поэтому, пользуясь (10-16), нельзя определить значение молярной внутренней энергии идеального

газа при заданной		температуре.
Весьма	важно	подчеркнуть,			что выражения (10-15) для
dU, du и выражения (10-16) для				U2— Ui и и2— определяют
приращения внутренней энергии				при любом (обратимом,			необ
ратимом,	изохорном,		изобарном,		адиабатном...) процессе, вы
зывающем изменение			температуры.
10-3. СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА, ВЫТЕКАЮЩИЕ
	ИЗ ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ				(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
1°. По	определению .теплосодержания
			H = U +		pV
Согласно	(10-1)		H = U +			nRT,
							19)
	а молярное		теплосодержание			h = и -)- RT ,1
							(\|0'

или по (10-4)

h = <?(T)±RT.

Правая часть этого равенства — функция температуры, которую можно обозначить через ф(7').

Таким образом,

[10-Е]. Молярное теплосодержание идеального газа— функция одной только температуры:

			h = u + RT=ty(T).		_		(10-20)
Полное	теплосодержание			п граммолей	идеального газа
			H —nh—п (и -(- RT)=nty (Т);				(10-21)
(10-20) и (10-21)			сходны с (10-3) и (10-4).		Поэтому	из	(10-20)
и (10-21)	можно		получить	соотношение,	аналогичное		[10-Б].
Так		(продолжая считать In постоянным),				имеем		из
( 10-21):
[10-Ж]. В идеальном газе всякий изотермический про
цесс	будет		и изэнтальпическим, т. е. //=const					при
£=const,		и	наоборот,	изэнтальпический процесс			будет
и изотермическим.
Считая, что за параметры приняты п, t, х, будем							иметь
формулы,	аналогичные полученным в § 10-2:
							( 10-22)

20 А. А. Акопян.

Умножив обе части (10-30) на /г, получаем зависимость между теплоемкостями Ср и Cv идеального газа, взятого в количестве п граммолей:

Cp= C v+		nR.	(Ю-31)
Заменив в выражениях
DQ=Cvdt + ldV	и	D Q - C d t + bdp
I и b соответственно через р	и — V, получим 'для идеального
газа:
DQ=Cvd t ± pdV;			(10-32)
DQ=Cpdt — Vdp,			(10-33)
причем Cv=rtcv\ С = пс а ср и		функции одной	только
температуры.

*Ю-4. НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ СООТНОШЕНИЙ

1°. Прежде чем вывести уравнения обратимой адиабаты идеального газа, полезно рассмотреть несколько общих соот ношений.

Представим себе, что ABDE — обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (фиг. 10-1) и при переходе из со стояния В в бесконечно близкое состоя ние D приращения объема и внутренней

энергии равны:

	VD		VB—dV			UD- U B=dU .
	В	обратимом адиабатическом						про
	цессе DQ=0, DWe= — pdV, и поэтому
					dU = — pdV,		(10-34)
	т. е. dU и dV должны иметь различ
	ные знаки. С				другой	стороны, как		ска
	зано	в	конце		§ 10-2,	в идеальном		газе
U — возрастающая	функция температуры,					и поэтому dU и dt
имеют один знак.				s
Таким образом,	введя индекс				обратимо-адиабатического
процесса, имеем: dsV и dst		должны			иметь	различные	знаки.
Следовательно,
	(	^	<	0:			(Ю-35)

мы видим, что при адиабатическом расширении идеального газа температура падает, а при сжатии — возрастает.

2°. Т ак ж е легко можно показать, что на диаграмме р — V обратимая адиабата идеального газа, действительно, оказы вается более крутой, чем изотерма. Пусть (фиг. 10-1) р—точка


пересечения		обратимой	адиабаты		ABDE	с	изотермой			сфу,
а	точки е й	Е лежат на	одной	изохоре.		Точки		(5 и Е лежат
на	адиабате	и Vr£ > V rp;	поэтому	на	основании			(10-35) tE<C.t
Точки р и е принадлежат изотерме;					следовательно,				t = t ^ По
предыдущему tE< ite и ТЕ<^Та				или	согласно		формуле			Кла
пейрона-Менделеева PEVE<C.ptVx. Но Е е — изохора,									и поэтому
VE= V t. Следовательно,			рЕ <1ре, т. е. правее				точки		(5 пересе

чения с изотермой обратимая адиабата идеального-газа рас полагается ниже изотермы; значит, обратимая адиабата круче изотермы.

10-5: УРАВНЕНИЯ ОБРАТИМОЙ АДИАБАТЫ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

1°. Рассмотрим какое-нибудь из выражений для DQ в об ратимом процессе, происходящем в системе с тремя.-парамет- рами. Так, например, приняв за параметры произвольной си


стемы	m=const,	Н и t, имеем по (7-27):
			DQ=Cvdt -\-ldV,
где Cv и I — функции m,				V, t (m=const).
Положив D Q =0,			находим Cvdjt -\-ldsV—0, откуда						следует,
что в .обратимо-адиабатическом					процессе		dst	и 'dsV	не явля
ются	независимыми		бесконечно		малыми		и,	следовательно,
при m=const, t и Н не могут быть независимыми									друг от
друга: один из этих признаков становится функцией									другого.
К аналогичным результатам мы бы пришли, рассмотрев
другие'выражения для DQ.
Таким образом,			если	принять за		параметры			m =const
и какой-нибудь		другой признак х,			то в	обратимо-адиабатиче

ском процессе'все остальные признаки у окажутся функциями

m и	х, т. е.
	y = f(m , х),	(10-36)
или,	так как m=const, то у=<р(х).	(10-36)
или,	так как m=const, то у=<р(х).

Уравнения типа (10-36) называются уарвнениями обратимой адиабаты рассматриваемой системы.

2. В этом параграфе выведены уравнения обратимой адиа баты идеального газа постоянного состава, причем вместо массы рассматривается число п граммолей.

В обратимом адиабатическом процессе

nRTdsV

dU = C vdst=

Разделив обе части на nRT и помня, что

с„, dt — dT,

получаем:

- f d s \nT + dslnV=Q . R -*■

Если предположить, что ct,=const, это

вид:

СУ ds[^ j-ln T ) + d s \ nV = ds \ n (r*

(10-36')

уравнение примет

к ) = 0 ,

(10-37)

откуда, интегрируя, находим:

Т V = B ,	(10-38)

где В — интеграционная константа, которая, очевидно, прямо пропорциональна числу п граммолей. Эта константа меняет свое значение при переходе от одной адиабаты к другой. Очевидно (10-38), можно написать и так:

		T V Cv - В ' .						(10-38')
Пользуясь уравнением Клапейрона-Менделеева (10-1), можно
в (10-38) исключить V,		а в	(10-38') — Т. Тогда					получим:
	Т R п — = В ;			p^-		V Cv=B'.
	Р			nR
Обозначив	через	A,	B'nR		через		D и	помня, ЧТО co-
гласно (10-30)	cp= c v-\- R, имеем:
	— + 1 —			—	+ 1 — fp .			(10-39)
	R 1 l - R ’ cv				+ 1		cv *
Предыдущие равенства			примут вид
			кр
		Т *р ~ '= А ;						(10-40)
			С м
			ср					(10-41)
		pV		=D .				(10-41)
(10-40) иногда	удобно	представлять				в виде:
	р РТ-'=А'\				I— л		'■р	(10-40')
	р РТ-'=А'\			А'=А				(10-40')

3°. Обыкновенно в уравнениях обратимой адиабаты иде-

ального

газа

показатели

выражают

через

отноше-

ние теплоемкостей:

; величину k

часто называют пока-

& = —

зателем

адиабаты.

При с

=const,

с п и

отношение

являются

по-

— = k тоже

’

с,7,

стоянными.

Согласно

(10-39)

* =

f +

;

(10-42)

Экспериментами (и кинетической теорией газов) установ

лено, что

численное

значение k

зависит

от

числа

атомов

в молекуле

газа:

уменьшается

при

увеличении

числа

ато

мов

в молекуле.

случае

одноатомных

газов

£ = 1 ,6 6 (5

3);

для

большин

ства двухатомных газов значение k близко

1,40;

если

мо

лекула

газа

трехатомна, то

£=sl,33, и т. д.

Введя

полученные

выше

выражения

уравнения

-щ- в

(10-38) — (10-41),

придем X обычному виду уравнений

обрати

мой

адиабаты идеального таза:

Т к~1 V -B\

к
1 es-,	JI 1
К	JI 1

pV *= D ;

TVk~'=B'-,

	к - 1	(10-43)
Тр	к =А'\	(10-43)
Тр	к =А'\
1
рк V=D'.

Пользуясь уравнениями адиабаты (10-43), нужно помнить, что константа в правой части уравнения пропорциональна

числу п граммолей,	возведенному			в	ту же степень,	что	и V
в левой части. Таким образом, В				и	D' пропорциональны		п,
В' пропорциональна	пк~\	a	D — пропорциональна пк
Проще всего убедиться		в	этом,	положив V = n v ;		тогда,	на-
	)

пример, уравнение Т к~1V примет вид:

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 7031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf
#
12.11.20232.15 Mб5Общая физика. Электричество и магнетизм.pdf
#
12.11.20232.24 Mб9Общая химическая технология. Лабораторный практикум.pdf