Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая термодинамика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

29.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 7032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

или,	положив— = 6 = const;
*	п
	1
	T k~'v = b.

К тому же заключению можно прийти, установив связь между различными константами. Так, например, выше было принято:

B '= B Cv= B k~

так	как В=пЬ,	то В'—Ьк хпк		т. е. в	уравнении
			TVh~x= B';
В'	пропорциональна		пк 1
	Константы А	и А'	вовсе не	зависят	от п, так как

А-1

А'=А *

•Я, как выше было принято,

А В__±_

nR — R •

Из этого следует, что те уравнения адиабаты, которыми устанавливается связь между р и Т, справедливы при любом

постоянном значении п.

Наконец, следует заметить, что уравнение T k~,v = b может быть непосредственно получено из (10-37), если иметь в виду,

что при n=const ds In V = d s In v. При этом (10-37) перепи- i

шется так: ds ln(Tk~lv)=Q или, если обозначить интеграцион ную постоянную через In b:

T k~lv= b .

Уравнения (10-43) подтверждают найденные ранее соотношбния и то положение, что на диаграмме р — I/ обратимая

адиабата круче изотермы. Так, дифференцирование (10-38) дает:

у_	< 0.	(10-44)
т

Из (10-41) и (10-40) получаем:

(10-45)

( OIL] —±J1L ~>JL	(10-46)
\ d t j s — T R ^ Т ’

Видеальном газе

ипоэтому из (10-45) заключаем:

аэто и показывает, что обратимая адиабата идеального газа круче его изотермы, так как

3°. Постоянство теплоемкостей ср и cv, принятое при вы воде уравнений (10-37), (10-38) и (10-43), носит приближенный характер; поэтому в последующем мы будем называть эти уравнения приближенными уравнениями обратимой адиабаты

идеального газа. Как было указано в § 10-2,							приблизитель
ное постоянство		теплоемкостей			с	и cv установлено			экспери
ментами и	вовсе	не вытекает			из	определения		идеального
газа.
Назовем	точным		уравнением обратимой адиабаты						идеаль
ного газа уравнение, которое выводится только							на	основании
первого начала и определения (10-3). Чтобы							получить это
уравнение,	следует		принять,	что су— функция			температуры.
Перепишем	(10-36'):
			_ JcL d st = d s \nV.						(10-47)
			D T	S	s

В предположении, что cv— функция температуры, интеграл

тоже некоторой функцией температуры. На-

зовем эту функцию

Тргда интегрирование (10-47)- даст:

lnV=<p(T)j-A,

(10-48)

DsW = d U = C vdst;

DsW = - p d sV.

Допустим, процесс начинается в состоянии 1, в состоянии 2. Тогда интегрирование (10-49) дает:

где. Л — константа интегрирования. При одном и том же зна чении п две различные обратимые адиабаты одного и того же идеального газа будут различаться значениями константы А.


Функция	ср(Т')	для	различных	идеальных	газов различна.
(10-48) и есть точное			уравнение	обратимой адиабаты			идеаль
ного газа. Оно тоже устанавливает зависимость						между V		к t
в обратимо-адиабатическом процессе; но форма						этой	зависи
мости окажется известной только тогда, если						известен		вид
функции <р(Г). Поэтому, пока функция <р(Т)					не	дана,	уравне
ние (10-48)	не	имеет	практического, значения.		В	вопросах		же,

имеющих принципиальный характер, предпочтение нужно ока зывать уравнению (10-48). Пример применения этого уравне ния дан в § 10-7.

10-6. РАБОТА ДАВЛЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ОБРАТИМО-АДИАБАТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ

Так как в обратимом процессе DWe= — pdV, то в случае обратимо-адиабатического процесса имеем:

dU =D W = — pdV.

В идеальном газе

dU = C vdt.

Таким образом, для элементарной внешней работы полу чаем, введя индекс s обратимо-адиабатического процесса:

(10-49)

(10-50) а кончается

					К * = и а - U {=\C vdt.		(10-51)
Так	как в		идеальном			газе U и Cv — функции	только тем
пературы		(n=const),			то (10-51) показывает, что
	[10-И]. Внешняя работа при обратимо-адиабатическом
процессе в				идеальном газе полностью определяется чис
лом		граммолей			п и начальной и конечной температурами
(/,	и	/2).
Так,	например,				если начальной температуре		t\ соответ
ствуют два значения объема: V\ и V{ (при одном и том же числе п
граммолей),			то	после		обратимо-адиабатического	изменения

температуры до t2 значения объемов будут соответственно V2 и V'r Из [10-И] вытекает, что в обратимо-адиабатических из

менениях		объема	от V\ до V2 и от	V\ до V 2’ внешняя	работа
будет	одинаковой.			Су постоянна, (10-51) при
В	том	случае,	если теплоемкость	Су постоянна, (10-51) при
нимает вид:
		К	, 2=С„ (h - t l ) = C v(Т2 - Т ,);		(10-52)

подставляя вместо Т2 и Г, их значения из формулы Менделе ева-Клапейрона, легко получим, помня, что R —cp — cv, значе ние интеграла (10-50):

							(ю-53)
это выражение		можно	получить и непосредственно,				восполь
зовавшись уравнением (10-43).					не от Тх и Т2,
В (10-52) внешняя работа				зависит			в отдель
ности	взятых,	а только	от	их разности		Т2— T\—t2 — 1\. По
этому	при постоянной		теплоемкости		Cv в	обратимо-адиабати

ческом изменении объема идеального газа внешняя работа вполне определяется приращением температуры. Например, обратимо-адиабатическим изменениям температуры от 670 до

620 и от	220 до 170° С соответствует одна и та	же внешняя
работа.	собой разумеется, что если Cv выражена
Само	собой разумеется, что если Cv выражена	в калориях,

то в (10-51) и (10-52) работа окажется выраженной тоже в ка лориях.

10-7. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ЦИКЛА КАРНО В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ

1° Пусть в обратимом цикле 12341 (фиг. 10-2)/2 и <34—изотер мы, температуры которых соответственно равны t\ (ТА) и га (Г3); 23 и 41 — адиабаты. Такой цикл называется циклом Карно. Обозначим скрытые теплоты процессов 12, 34 через Qi2 и Q34. Докажем очень важную теорему.

Если идеальный газ совершает обратимый цикл Карно, то

(10-54)

Согласно (10-6)

7 f = " R ln ( £ ) '

причем

Поэтому
	+	(10-55)
Теорема	(10-54) будет доказана, если	удастся показать,
что правая	часть (10-55) равна нулю.
	Р	/

Фиг. 10-3.

Воспользуемся для этого (10-48): нашими адиабатами яв ляются 23 и 41. Следовательно,

1п К 2= ( Р(7’2)Н -Л ; in К 3=ср(Г3) + Л

1п( £ ) = ' р(7'2>“ *<7,*>-

Таким же образом

1п ( £ ) = ' Р (7’4) - ' Р (7'|)-

Поэтому
1 п Ш +ln(£г)=,р {Т 2 ) ~ i p { Т а ) +					• (	Т 4 ) ~	г	{ Т ' у
Но Т2=Т\, так как		12 является изотермой; поэтому
		<Р(7’2)=<Р(7’,);
также 7’з= 7'4, так	как 3 4 — тоже		изотерма;			поэтому
		Ч(Т*) = Ч(Т»)-
Следовательно,	правая часть (10-55)				равна		нулю и		теорема
(10-54) доказана.						14
2°. Изотерма 12 начинается на			адиабате			14	и кончается на
адиабате 237 Наоборот, изотерма			34	начинается на					адиабате
23 и кончается на адиабате 14. Мы будем						говорить,			что 12 и
34— противоположно		направленные		изотермы				между двумя
адиабатами.

Втом случае, если обратимые адиабаты бесконечно близки,

аизотермы бесконечно малы (фиг. 10-3), то скрытые теплоты Q,2 и Q,4 будут бесконечно малыми.

Обозначив эти теплоты соответственно через DjQ и Z)8Q, имеем вместо (10-55):

			^	+	^ £ = 0 .		(10-56)
			•■1		‘ г
Наконец,		следует	указать,		что если обозначить		через DQ
и Т теплоту		произвольного		элементарного		процесса	и абсо
лютную	температуру,		то (10-55) и (10-56) можно представить
в таком	виде:
	[10-К]. В обратимом				цикле Карно,	совершаемом иде
альным		газом,
			\| ^ = 0 .				(10-57)

Здесь (j) означает „интеграл вдоль контура цикла".

В самом деле,

1 2 3 4

Так как		12 — изотермический процесс,				то	в первом	инте
грале	(7'=Т1=: const)
			j£>Q=Ql2 и
			1		1
			4
Таким	же	образом j*		. Каждый же		из	остальных	двух
		3	з
		3	1
интегралов		и		равен	нулю, так как		23 и 41 — адиа-
		2	4
баты и DQ= 0 на			всем протяжении этих процессов. Таким
образом, мы пришли к (10-57).
Если адиабаты			бесконечно		близки (фиг.	10-3), то

Q 12— D IQ; QS4— ^ SQ '

CDQ _ D tQ , D3Q _ n

3 > - г - т г + ^ 7 - 0 '

3°. Можно показать на примерах, что теорема (10-54) спра ведлива только тогда, если обе изотермы и обе адиабаты обратимы; в противном же случае

т ^ + ^ - 'С О .

(10-58)

Предположим, например,

что процессы 23,

34, 41 обратимы,

а изотермический процесс

12 является расширением в пустоту

и необратим. В этом случае

QJ2= 0 ;

будет

процессом

изо

термического

сжатия,

и поэтому Q34< 0 ;

следовательно,

р /

+ ^

о .

‘ i

Другой

пример. Пусть

цикле Карно

необратимо только

адиабатическое

рас

ширение 2<3'(фиг10-4) и пусть

необрати

мость вызвана тем, что внешнее давле

ние f < p .

Тогда линия

процесса

23'

рас

положится

между продолжением 22’ изо

термы

обратимой

адиабатой

и пересечет

изотерму

3'34

точке

3',

Фиг. 10-4.

расположенной

правее

точки

Ввиду

этого

изотерма 3'34

окажется

длиннее,

чем изотерма 34,

соот

ветствующая обратимой адиабате 23, и поэтому |Q3M|>|Q34l- Но 3'34 и 34 — процессы обратимого изотермического сжа тия; следовательно, скрытые теплоты Q34 и Q34 отрицательны,

поэтому

—^3'4<^^34>

Таким	образом, если по	(10-54)	- } - ^ = 0 ,	то в рассма-
триваемом	случае	‘ 1	‘ 3
триваемом	случае
	Q12	, Q3 4 ^ о
	т, + 1 Г ^
	10-8. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ (10-57)
1°. Теорему (10-57) о цикле Карно			можно	распространить

на любой обратимый цикл, совершаемый идеальным газом, т. е. можно доказать, что в любом обратимом цикле, совершаемым

идеальным газом, имеющим постоянный	химический состав,
= 0	(10-59)

<*• Назвав процессы аф хи а аЬ3 одинаково направленными (а аф ,

и Ь3а3 — противоположно направленными), можно сказать, что соотношение (10-60) имеет место в идеальном газе для любых элементарных обратимых одинаково направленных прэцессов между двумя обратимыми адиабатами.

2°. Перейдем теперь к обратимому, совершенно произволь ному циклу, совершаемому идеальным газом. Пусть А1ВЗА— контур этого цикла (фиг. 10-6). Проведем сеть бесконечно близких друг к другу обратимых адиабат а ха3, Ьф3 . За исклю чением адиабат А'АА" и В'ВВ" все остальные пересекают кон тур цикла в двух точках. Точки А и В делят весь контур на две части: Д1В и ВЗА. Имеем:

-4 1 В	взл
Заменяя обратимый процесс	ВЗА процессом АЗВ, получим:

Л1В АЗВ

Величины, относящиеся к части А1В цикла, обозначим ин дексом 1 (D)Q; Т\), величины же, относящиеся к линии АЗВ, индексом 3 (D3Q; Т3).

Тогда

(’ D Q _ (*D 1Q.		г D Q _	Г РлО
J	Т - J тх > J т -		J	Т3
-41В	-41В	А зр	АЗВ

поэтому

’

-41В

-43В

Но, как видно из фиг. 10-6, Z>(Q, и D3Q — теплоты элементарных обратимых, одинаково направленных процессов (например, аф\ и а3Ь3) между адиабатами (а^д, Ьфзу, вследствие этого по (10-60) подинтегральное выражение равно нулю, и поэтому

= 0.

Это и есть теорема (10-59). Она имеет весьма важные при менения при обосновании второго начала (гл. 14).

10-9. ПОЛИТРОПИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

1°. В приближенных уравнениях обратимой адиабаты идеаль ного газа (§ 10-5)

					к
pV k= D ;			TV *~'=B; Тр k~l =A .
k — величина постоянная			и,	следовательно,		показатели сте-
пени k, k — 1, —		k
пени k, k — 1, —		— постоянны-
Рассмотрим	уравнение
			pVl= D			(10-61)
и вытекающие	из	него	pVl= D
и вытекающие	из	него			х
					х
		ТУХ~1= В ;		Тр	Х~'=А,
где постоянная	k = c p: cv		заменена		произвольной постоянной Я.
Сравнив с уравнениями изотермы
		pV=const; 7=const,				(10-62)

видим, что первые два уравнения (10-61) переходят в уравне

ния (10-62) при			Я=1 (так как		при этом Я— 1=;0 и Vr0= l ) .
Положив		в (10-61)		Я=0, получим:
				p= D ;				(10-63)
Но D=const,			B=const и по			уравнению Клапейрона-Менде-
Т	о		Т	о	Следовательно, оба			уравнения
леева у		, или С - = В = ^ - .
(10-61)	при Я=0		представляют			уравнение	изобары.	Возведем
первое	из	уравнений		(10-61)	в	степень	1	_!
							Y > "тогда	р *• V—
-L	2-							1
= D X; р х = 1 при Я=оо; предполагая £>=оо, находим								V—D x =
=const.								Q

Таким образом, равенства (10-61), являющиеся при X = k= —

уравнениями обратимой адиабаты идеального газа, становятся уравнениями изотермы, изобары или изохоры, если постоян ному показателю X приписать соответственно значения

		X—1; Х—0] Я=оо.
Ввиду	этого интересно рассмотреть уравнения			типа (10-61)
в предположении,		что показатель X может	иметь	любое	по
стоянное	значение	от — оодо-(-оо. Линии, выражаемые в этом
случае уравнениями (10-61), называются			политропами,		про-

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 7032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб5Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf
#
12.11.20232.15 Mб5Общая физика. Электричество и магнетизм.pdf
#
12.11.20232.24 Mб9Общая химическая технология. Лабораторный практикум.pdf