Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая термодинамика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

29.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

| DWt—W^a2— работа давления системы в процессе 1а2.

\а2

j DQ = Q,a2 — количество тепла,						сообщенного	системе	извне
1а2		в	течение		процесса	1а2.

2°. Остановимся на этом различии между интегралами ти
пов	j &Q и j		dV Докажем несколько теорем.
а)	1а2	1а2					малая	величина,
		Пусть	d z — произвольная бесконечно
например:		dz = dV;		dz = dp;		dz = DWt =. pdV; dz = DQ;
dz—dW e— — fd V и т.				д.
j dz	означает		интеграл		вдоль линии 1а2, изображающей не-
1а2
который		процесс, ф dz			условимся обозначать		интеграл	вдоль

замкнутого контура, например контура какого-нибудь цикла, так что если 1а2Ь1 — контур цикла, то

Как известно из анализа, если линию 1аЬс2, вдоль которой производится интегрирование, разбить на участки lab и Ьс2, то интеграл вдоль всей линии равен сумме интегралов вдоль ее участков, т. е.

j dz = j dz - f j dz.

(5-32)

\abc2 lab bc2

Нам придется часто пользоваться тем, что

(5-33)

В тех случаях, когда желают указать не линию 1а2, вдоль которой производится интегрирование, а только ее начало и

конец, вместо j* dz пишут: j* dz.

!о2 I

[5-Л]. Если	z — призна'к		системы и имеет значения Z\
и г2 в состояниях 1 и 2, а			1а2 — произвольный	процесс,
переводящий	систему из		состояния 1 в состояние 2, то
J d z —z2— 2 b	т. е. j* dz	вполне определяется		состояни-
Ia2	1<з2	не	зависит от процесса	1а2.
ями 1 и 2 и нисколько

11 А. А. Акопян.


Действительно, если	z — признак системы, то		d z — прира
щение этого признака,	вызванное элементарным		процессом, а
I dz — конечное приращение в течение процесса			1а2.
IQ2	Но	так как в каждом состоянии z имеет
вполне		определенное значение, то это же

?приращение равно разности z2— z v Таким образом, независимо от процесса 1а2

						j*	dz =	z2— z x.
						\а2
				[5-М]. Если d z — какая-нибудь бесконеч-
Фиг.	5-25.		но	малая	величина			и j*	dz	зависит только
								1а2
ОТ	СОСТОЯНИЙ		1 и 2, то интеграл						вдоль контура
произвольного			цикла равен			нулю.
В самом		деле,	пусть неодинаковые процессы 1а2 и 1Ь2.
(фиг. 5-25) переводят систему					из	состояния			1	в состояние 2.
Так	как	по условию		интеграл			j* dz	вполне		определяется
состояниями		1 и 2	и нисколько не				1а2		от	процессов 1а2
состояниями		1 и 2	и нисколько не				зависит		от	процессов 1а2
и 1Ь2,	то v'
										(5-34)

С другой стороны, заменив процесс 1Ь2 процессом 2Ы , видим, что 1а2 и 2Ы вместе образуют цикл 1а2Ы.

Согласно (5-32)

j d z =

ШЬ\ la2 2ftI

или по (5-33)

На основании (5-34)

( dz = 0.

Ia2ftl

Но цикЛ 1а2Ы — произвольный, так как процессы 1а2 и

1Ь2 могут быть какими угодно. Следовательно, теорема до казана.

[5-Н]. Обратная теорема: если d z — какая-нибудь бес

конечно малая величина, а интеграл ^ dz вдоль контура

произвольного цикла равен нулю, то интеграл j* dz впол-

не определяется состояниями 1 и 2 и нисколько не зави сит от процесса 1а2. В этом случае dz является диффе ренциалом некоторой функции z.

Действительно,	пусть	1а2Ы — контур цикла. Разобьем его
на две части: 1а2	и 2Ы.	Тогда

$ d z =

§ d z= jfife-l-Jefc,

но

\a2b\

\a2

2bl

d z = — j dz,

2b\'1

1*2

поэтому

получаем:

5 d z = S dz-

Так как цикл 1а2Ы и процессы 1а2 и 1Ь2 вполне произвольны,

то теорема

доказана.

Здесь уместнр сделать два .замечания.

а)

Если интеграл J dz не зависит от процесса, то нет нужды

1а2

указывать этот процесс, и поэтому можно писать

2 —

Jdz

вместо 1п2{ dz.

(5-35)

б)

Пусть

состояние

системы

определяется

параметрами

х, у,

В состоянии 1 эти параметры имеют значения

х и у ,,. .,

в состоянии

2 — значения

х2, у2,

Когда

мы говорим,

что

интеграл J* dz

или

jdz зависит только

от состояний

1 и 2,

это

1а2

x h

означает, что

интеграл вполне определяется значениями

У\,... ;

х2, у2, . . . параметров,

т. е. что

интеграл является

функ

цией <р ( * ь

у и

х2, у2,

.) параметров в

состояниях

и 2:

dz=\dz=z<?{xu г/,,

х2, у 2,

.).

(5-36)

1а2>Г

Из (5-34) и (5-36) вытекает:
[5-0]. Если вдоль контура			произвольного		цикла инте
грал § d .z —0, то 2 — признак			системы, a	dz	и J dz — эле-
ментарное	приращение	этого	признака		1а2
				и его конечное
приращение	в процессе	1а2.

Действительно, в этом случае при любом выборе нулевого состояния и процесса 102 по теореме [5-Н] и (5-34) имеем:

	j	d z = ld z + \dz,
	1а2		10	02
а согласно (5-33)	и (5-35)
J dz= ^ dz-\ - ^ dz—^dz					2	I
J dz= ^ dz-\ - ^ dz—^dz				- \ d z = \ d z - - J dz.
1а2	10	02	02	01	0	0
По (5-36)
§ d z = y		(х2, у2,		* и	Уи	•).
1а2
2						••).
j d z = f ( X 2,			у2,	Х0,	Уо,	••).
о
1					Уо, •••)•
j d z = ' f ( x u			у и	*о>	Уо, •••)•
о

(5-37)

(5-38)

Если считать, что состояние 0 , в котором параметры имеют значения х 0, у0, . .. , выбрано раз навсегда, то х й, у0, . .. будут постоянными, и поэтому правые части (5-37) и (5-38) можно рассматривать как функции только х2, у2, и Х\, у и т. е. положить

<Р(*2. У2> •••! *0. Уо< ••■)-'■{ (.Х2, У2> •••):

<р(*ь у и

* 0, Уо. • •)='И-*ь у и ■••)•

Следовательно, (5-37) перепишется так:

5 dz=\ dz=ty .{x2, у2, . ) — <К*ь i/ь •):

1а2 1

х, у,	. .	. — признаки системы,	поэтому ф(лг,		у, ... ) — тоже
признак		системы (параметр или функция состояния). Поэтому,
если	обозначить функцию ф (х,		у,	.) через «,	т. е. положить

Z =<|J (JC, у, ... ) , то можно утверждать, что z — признак системы:

dz=d'H x, у,	•)=■!*• +
2	(5-39)

jr fz r r j dz=ty(xa, у2, ...) — y {x lt y lt...) .

1 \а2

Равенства (5-39) выражают теорему [5-0].

Эта теорема широко применяется в термодинамике, в ча стности ею пользуются при изложении первого и второго начал термодинамики.

	З А Д А Ч И
6-1. В системах координат	р—V и Т—V изобразить обратимый цикл
1231, в котором в течение изобарного процесса		12 объем	системы увели
чивается, в изотермическом процессе 23 он уменьшается,			а в	изохорном
процессе 31 падает давление.	Установить знак	внешней работы		в течение
этого цикла.
Иметь в виду оба случая:
<V>°;	« ,< о

5-2. В координатных системах p—t и V—t представить обратимую адиа бату а с и изохору eb f, пересекающиеся в точке b.

Иметь в виду оба возможных случая:

< 0 .

5-3.

системе

координат

Q—t (по оси t откладывается

температура,

по оси Q — сообщенное

системе

количество

тепла)

изобразить

необратимый

процесс

„расширения в

пустоту"

идеального

газа

и его

обратимо-изотерми

ческое

расширение.

5-4. Теорема [5-3] выведена

в предположении, что в систе

ме координат р—V обратимая

адиабата круче изотермы. Выяс

нить, как изменится [5-3], если

предположить,

что, наоборот,

изотерма круче обратимой ади

абаты

системе

координат

p - V .

5-5.

Фиг, 5-26 изображает

обратимый цикл

Карно

12341.

а) Определить,

какие из

четырех линий

изотермы,

какие — адиабаты.

б) Изобразить

этот

цикл

в координатных

системах/—V n Q—t (по оси Q

откладывается сообщенное системе количество тепла).

в) Определить знак

внешней работы в течение этого цикла.

5-6.

системе,

обратимая

адиабата которой представлена

на фиг. 5-27,

совершается цикл Карно, в течение которого внешняя работа отрица тельна.

Изобразить этот цикл в координатной системе t—V.

5-7. В системе координат	V—t изобразить		изобару и обратимую		адиа
бату чистой воды от 0 до 10° С.
5-8. Определить на диаграмме р—V работу			давления системы в течение
процесса 12, изображенного на фиг. 5-28.
5-9.	Показать,	что внешняя работа в течение цикла
окажется отрицательной,			если среднее	давление	при
расширении будет		меньше среднего		давления	при
сжатии.
Указание. Воспользоваться диаграммой давление—
объем;	в координатной системе у—х средняя ордина
та Ут равна

5-10. Пользуясь зависимостью (5-27), вывести соотношение

(w)p = {w )+ c*(w)

и показать, что в случае идеального газа

т > т ,

Указание. DpQ и DtQ — элементарные количества сообщенного системе тепла в изобарном и изотермическом процессах.

Р А З Д Е Л

В Т О Р О Й

Г Л А В А Ш Е С Т А Я

ПЕРВОЕ НАЧАЛО

&-I. ОБ ОДНОМ ОБЩЕМ СВОЙСТВЕ ЦИКЛОВ. ВЕЧНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ ПЕРВОГО РОДА

1°. Прежде чем приступить к изложению первого начала, обратим внимание на одно общее свойство циклов.

Для краткости введем обозначения 1

(6- 1)

где Q и We — количество тепла, полученного системой извне и внешняя работа в течение всего цикла.

Наблюдения показывают, что когда ни одна из величин Q и Wе не нуль, то они всегда имеют разные знаки, т. е. во вся

ком цикле внешняя работа и тепло, полученное извне, противо положны по знаку.

Рассмотрим, например, двухпроцессный цикл (§ 5-13,2°),

совершаемый идеальным	газом и состоящий	из процессов
1а2 „расширения в пустоту"	и 2Ы обратимого изотермического
сжатия. В процессе 1а2, как известно, Q\|a2= 0 ;		We]a2= 0 .

Во всяком процессе сжатия внешняя работа положительна, поэтому We2bX ]> 0. Мы знаем, что теплота изотермического

обратимого сжатия идеального газа отрицательна; следова тельно, Q2M -<0. Таким образом, в рассматриваемом цикле

Фиг-ЬФгм— Qa.1 < 0 :

т. е. Q и Wе различны по знаку.

Другой пример. Пусть в идеальном газе совершается обра тимый Цикл (фиг; 6-1), в котором 12 — изобарное расширение; 34 — изобарное сжатие, а 23 и 41 — процессы изохорного увеличения и уменьшения давления.

1 Обоснования этих обозначений даны в § 4-3, 2°.

Так как цикл обратим и совершается против часовой

стрелки, то	внешняя	работа	выражается площадью контура
		цикла	на	диаграмме		р — V и положи
iP		тельна:	K = ( P *-P i)(^2 -V i)-					(6-2)


		Примем,		что	теплоемкости			Ср и Cv
		идеального		газа постоянны. Тогда, обоз
		начив через t\, t2, t3, t4 температуры
		газа в	состояниях		1, 2, 3, 4		и через Ть
	v	Т2, Т3, Т4 соответствующие					абсолютные
фиг. 6- 1.		температуры, имеем				(ввиду		постоян-
		ства С	):
	*2
	Q^—^Cpdt—Cp (t2			ti)=C p (Т2		Г]).
Таким же образом можем написать:
	Т3У, Q23= C V(T3			Т2);	Qi i—Cv (Tl		Т4).
Полученное идеальным газом извне количество тепла в те
чение всего	цикла
Q = C P (Т2 - тл+ Т4 - Т 3) +				с р (Г, -	г 2+ Г , -		Т4)=

= { С р - С у){Т 2- Т х+ Т4- Т 3).

Это выражение можно несколько преобразовать, пользуясь тем, что в нашем цикле

Ра~Рь Ра=Р*> У з= ^ 2> y 4= V t,

а на основании уравнения Клапейрона-Менделеева Тогда

Т	Т	___Pi (^2		^1) .	'Т			nR
У2	У1		n R	*	J A	nR		nR
и				С „ — С„
			О -	С „ — С„
			О -	Р п
			4	nR
или согласно		(6-2)			Q = — Cpn R v		We.	(6-3)
			Cp ^>Cv, поэтому				Q _Q	v 1>0 и из (6-3)
Как известно,			Cp ^>Cv, поэтому			дробь	Р nR	v 1>0 и из (6-3)

следует заключить, что в цикле 12341 Q и Wt, безусловно, противоположны по знаку.

2°. Этот результат носит совершенно общий характер: в лю бом цикле, в какой бы системе этот цикл ни совершался, если

Г е> 0 , то Q < 0 ,
и	(6-4)
We< 0 при <3> 0 .
Отсюда и выт,екает:
We—0, если Q = 0 .	(6-5)
Машины, способные преодолевать различные силы, т. е.
вызывать такие перемещения, в результате	которых преодо

леваемые силы совершают отрицательную работу, называются двигателями.

Как будет видно из дальнейшего, работа тепловых двига телей (паровых машин и турбин, двигателей внутреннего сго рания и т. д.) происходит так, как будто рабочее тело (тепло


носитель) совершает			цикл.
В течение цикла двигателя внешняя работа должна быть
отрицательной, а по (6-4) это возможно					только		в случае,
если Q — тепло, полученное двигателем извне в течение цикла,
положительно. По (6-4) и (6-5) циклы, в течение						которых Q < 0
или Q = 0, не		могут	быть	циклами двигателя,		так	как в пер
вом случае		We ~>0,	во	втором We= 0 , а	в цикле		двигателя
должно быть		We <C.0.			*
Получение теплоты и сообщение ее двигателю требуют за
траты	материалов и создания различных				приспособлений, по
этому	наиболее удобным			двигателем был	бы	тот,	в котором

оказалось бы возможным осуществление цикла с отрицатель ной внешней работой (We <^0) вовсе без затраты теплоты.

Такой воображаемый двигатель называется „вечным двига телем первого рода*1. Из (6-5) следует, что осуществление вечного двигателя первого рода невозможно.

6-2. ФОРМУЛИРОВКА ПЕРВОГО НАЧАЛА ТЕРМОДИНАМИКИ. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ

1°. Из (6-4) следует, что отношение	W
	всегда отрица-

тельно.

Это обстоятельство, несколько дополненное, может быть положено в основу первого начала. Его можно сформулиро вать следующим образом.

[6-А]. При любом цикле, совершающемся в любой си стеме, отношение внешней работы к количеству получен-

ного извне тепла в течение цикла отрицательно

Это отношение зависит только от тех единиц, которыми измеряются работа и тепло (и вовсе не зависит ни от характера цикла, ни от природы системы, совершающей цикл).

Экспериментами		установлено, что если		теплоту	измерять
^						w
большими калориями (к к ал ), а работу — килограммами, то						=
= — 426,6 кгм1ккал.
Положим,	we
Положим,	что -Q -— — J. Число J называется механическим
эквивалентом	тепла	и равно	абсолютной	величине	внешней
работы в килограммометрах за			такой цикл,	в течение	которого

полученное системой извне количество тепла равно 1 к к ал . Как уже сказано, при переходе от одних единиц к другим

численное значение механического				эквивалента		тепла	изме
няется. Так,	например, 10,33 кгм = 1л. ат; следовательно,
		л ' ат1к к а л —^1.49 л. ат у к ал .
Очевидно, всегда можно выбрать такие единицы для изме
рения работы	и тепла, чтобы J =		1.	Так,	например, если		вме
сто 1 ккал ввести для измерения				тепла	новую	единицу,		со
ставляющую		большой калории,		т. е. приблизительно				рав
ную 2,343 к ал , 1 $		1 к к а л —426,6	н. е. (я. е. — новая единица),
и мы имеем:
	426,6	кгм1ккал—А^	^	ме — 1	кгм/н.е.

Конечно, таких единиц для измерения тепла и работы, при которых численное значение J равно единице, можно пред ставить себе сколько угодно.

В таких единицах

Q ~

Следовательно, всегда возможен такой выбор единиц ра боты и тепла, при котором в любом цикле, совершающемся в любой системе, сумма внешней работы и извне полученного тепла равна нулю:

We+ Q = 0 .		(6-5')
Но по (6-1)
Q =§D Q ;	We= § D W e.
Поэтому (6-5') может быть	переписано	так:

§DQ + §DW t = 0

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб1Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб2Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf
#
12.11.20232.15 Mб5Общая физика. Электричество и магнетизм.pdf
#
12.11.20232.24 Mб6Общая химическая технология. Лабораторный практикум.pdf