Методичка по матану (1)

УДК 517

Доро 69

Рецензенты:

докт. физ.-мат. наук, проф. С.Р. Насыров (Казанский государственный университет);

докт. физ.-мат. наук, проф. Ф.Н. Гарифьянов (Казанский государственный энергетический университет)

Доро 69 Дорофеева С.И. Приближенное решение уравнений. Исследование функций и построение графиков. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. 40 с.

ISBN 978-5-7579-1108-3

Пособие охватывает учебный материал, соответствующий действующей программе по математике для технических вузов.

Приведены методы приближенного решения уравнений и основные теоретические сведения, необходимые для исследования функций.

Предлагается 30 вариантов заданий для индивидуальной самостоятельной работы студентов. Даются практические рекомендации к выполнению задания. Подробно рассматривается решение типового варианта.

Предназначаются для студентов 1-го курса инженерно-технических специальностей всех форм обучения.

Табл. 3 Ил. 18 Библиогр.: 5 назв.

УДК 517

Введение

Многие задачи науки и техники, как известно, приводят к исследованию

функциональных зависимостей (функций). Исследовать заданную функцию

y f x с областью определения X – это значит изучить ее поведение при изме-

нении независимой переменной x X . Применение дифференциального исчисле-

ния к изучению функцией является одним из самых важных приложений диффе-

ренциального исчисления.

При исследовании функций часто используют ее наглядное геометрическое изображение. Такое представление особенно полезно при обсуждении качествен-

ных вопросов поведения функций. График функции (множество точек на плоско-

сти с координатами x, f x , x X в декартовой системе координат xOy) на-

глядно иллюстрирует изменения функции, ее характерные свойства и особенно-

сти. В некоторых случаях график удобнее строить в полярной системе координат.

При построении графиков функций ó f x необходимо знать с требуемой точ-

ностью точки пересечения графиков функций с осями координат, т.е. решать уравнения f 0 y0 и f x 0.

Цель работы – помочь студентам: 1) научиться исследовать функции, задан-

ные аналитически; 2) строить графики этих функций; 3) находить, пользуясь дифференциалом, приближенные значения функции; 4) аппроксимировать (ло-

кально, в окрестности данной точки) наилучшим образом заданную функцию по-

линомами (первой степени, второй степени, …, n–й степени).

Постановка задач индивидуального задания

Каждый из вариантов индивидуального задания предполагает ознакомление с необходимым теоретическим материалом, решение вычислительных задач, про-

ведение исследования функций и построения графиков.

Содержание задания:

1.Найти корень уравнения (решить уравнение).

а) Отделить корень графически и найти его методом половинного деления

(метод проб, метод «вилки») с точностью до 0,01.

нимум) заданной непрерывной функции y f x на данном отрезке a,b .

4.Вычислить приближенное значение заданной функции y f x в данной точке x x1, пользуясь дифференциалом функции.

5.Найти полиномы Тейлора первой T1 x и второй T2 x степеней для за-

данной функции y f x в данной точке x0; построить в окрестности этой точки фрагменты графиков функции y f x и аппроксимирующих ее полиномов y T1 x , y T2 x .

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Решение первой задачи

Найдем корень, используя приближенное решение уравнений. Точные реше-

ния уравнения f x 0 не всегда могут быть найдены. Будем искать действитель-

ные значения корней с помощью численных методов при заданной точности.

Решение состоит из двух этапов:

1)отделение корней, т.е. определение отрезков, внутри которых находится только один корень;

2)уточнение корней до заданной степени точности.

Отделение корней можно провести графически или аналитически, учитывая,

что если непрерывная монотонная функция на концах малого отрезка a;b прини-

мает значения разных знаков, то внутри этого отрезка содержится корень уравне-

ния f x 0. Для решения уравнений, содержащих тригонометрические, лога-

рифмические, показательные функции, удобно пользоваться таблицами математи-

ческих справочников [1].

на два равных: a;x1 и x1;b .

Из этих отрезков выбираем тот, на концах которого функция f x принима-

ет значения разных знаков и также делим его пополам. Процесс деления пополам продолжается до тех пор, пока не получится отрезок an;bn , длина которого

b a меньше заданной точности ε. 2n

Окончательно за приближенное значение корня принимают число an bn .

2

5

f 1 1 1 0,632; f 0 1. e

Середина отрезка: 1 0 0,5; f 0,5 0,5 0,606 0,106. 2

f 0,75 0,75 0,472 0,278.

f 0,594 0,594 0,554 0,04 и a5;b5 0,594; 0,562 .

Длиной отрезка a4;b4 будет 0,594 0,562 0,032 ε, поэтому продолжим

деление и найдем середину отрезка: 0,594 0,562 0,578.

2

Значение функции: f 0,578 0,578 0,5599 0,018.

6

f 0,57 0,57 0,565 0,005; a7;b7 0,57; 0,562 , длина отрезка a7;b7

равна 0,008 ε.

За приближенное значение корня берем середину этого отрезка: ξ 0,566 с

учетом заданной точности ξ 0,57.

Способы уточнения корней на отрезке a;b предполагают, что для функции f x выполняются условия:

1)f x непрерывна на a;b вместе с производными первого и второго

Условия 1 и 2 гарантируют, что на a;b находится хотя бы один корень, а из условия 3 следует, что на данном интервале функция монотонна и поэтому корень будет единственным.

Далее будем предполагать, что условия 1–3 выполняются.

Метод хорд. Метод заключается в многократном процессе замены кривой хордой и отыскания точки пересечения хорды с осью абсцисс (рис. 2).

y

y f x

B

Пусть корни уравнения f x 0 отделены и выбран отрезок a;b . Пусть x –

точное значение корня.

7

Точку x1 найдем из системы уравнений (*) и (**):

b a f a

x1 a f b f a

b a f b

x1 b f b f a

для f x 0, f x 0 или f x 0, f x 0;

Последовательность a, x1, x2 , …, xk ,… стремится к искомому корню урав-

нения f x 0.

Вычисления ведутся до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятич-

ные знаки, которые нужны для реализации заданной степени точности вычисле-

ний.

Оценка погрешности:

f x x3 2x2 3x 5 0.

8

Оценка погрешности:

Замечание. На каждой итерации объем вычислений в методе касательных больше, чем в методе хорд, так как приходится вычислять не только f x , но и f x , зато сходимость метода значительно выше. На практике чаще всего при-

меняют комбинированный метод (хорд и касательных).

Комбинированный метод. Ограничения, наложенные на функцию f x ,