Методичка по матану (1)

то x0 не является точкой перегиба функции.

Выполнение пп.1, 2 рекомендуется сопровождать постепенным построением

графика функции.

Характерные точки (точки пересечения графика функции с осями коорди-

нат, точки экстремума, точки перегиба графика функции) используются при по-

строении графика функции в качестве «опорных» точек.

При выполнении п.3 в целях уточнения графика функции (если в этом есть

необходимость) находят дополнительно отдельные точки графика.

При построении графиков функций полезно также иметь в виду, что, зная

луплоскость симметрично оси ординат;

y f x b – параллельный перенос графика функции y f x на расстоя-

ние, равное b в положительном направлении оси ординат при b 0 и в отрица-

тельном – при b 0;

y f x a – параллельный перенос графика функции y f x на расстоя-

ние, равное a , в положительном направлении оси абсцисс при a 0 и в отрица-

тельном – при a 0;

y kf x k 0 – «растяжение» k 1 в k раз (при 0 k 1 сжатие в 1 раз) k

графика функции y f x относительно оси ординат;

y f kx k 0 – «сжатие» k 1 графика y f x относительно оси абс-

цисс в k раз («растяжение» относительно оси абсцисс в 1 раз графика функции k

при 0 k 1).

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой

y x.

Решение третьей задачи

Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке

[а; b] рекомендуется проводить по схеме:

1)найти область определения X функции y f x и проверить, выполняет-

ся ли условие a; b X ;

2)найти все критические по первой производной точки для заданной непре-

рывной функции на интервале a,b ;

3)найти значения функции в этих критических точках и в граничных точках

xa и x b.

Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наимень-

шим) значением функции f x на отрезке a,b .

22

Если непрерывная функция f x имеет на отрезке a,b лишь одну точку локального максимума (или лишь одну точку локального минимума), то это зна-

чение является наибольшим (соответственно наименьшим) значением f x на

отрезке a,b .

Если функция f x на отрезке a,b монотонна, то наибольшее и наименьшее

значения функция достигает в граничных точках.

Отметим, что функция, непрерывная на отрезке, хотя бы в одной точке этого

отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной точке – наименьшее.

Решение четвертой задачи

При вычислении приближенного значения функции с помощью дифферен-

чем меньше x. Эта погрешность при x 0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем x.

Решение пятой задачи

При построении в окрестности точки x0 аппроксимирующих полиномов

T1 x и T2 x и фрагмента графика функции y f x рекомендуется воспользо-

ваться определением полинома Тейлора и его свойствами:

полиномом Тейлора степени n функции f x , x X , в точке x0 X на-

зывают многочлен

23

В частности, при n 1и n 2

f x T1 x f x0 f x0 x x0 ;

Геометрически полином Тейлора первой степени y T1 x представляет со-

бой касательную к графику функции y f x в точке x0, а полином Тейлора вто-

рой степени y T2 x – параболу, проходящую через точку x0 и имеющую в этой точке общую касательную с графиком функции y f x и одинаковую с ним

24

ρ1 . k

Решение типового варианта

индивидуального задания

Задача 1. Комбинированным методом хорд и касательных найти один из корней уравнения x3 2x2 4x 7 0 с точностью до 0,01.

Решение. Произведем дополнительные вычисления:

f x 3x2 4x 4, f x 6x 4.

Отделим корни аналитически. Определим интервалы возрастания и убывания

Все данные запишем в таблицу знаков функции f x .

Символы и обозначают возрастание и убывание функции на данном промежутке соответственно.

Уравнение имеет три действительных корня:

Будем искать значение корня x2 . Уменьшим отрезок изоляции корня:

f 2 8 8 8 7 1 0;

f 0 7 0, f 1 2 0.

Примем за интервал изоляции корня отрезок 1;2 . Для любой точки этого отрезка f x 0, т.е. функция убывающая; f x 0, т.е. график функции во-

гнутый (рис.16).

y

x4хорд 1,4765 0,0473 0,4765 1,4765 0,011 1,4655;2,0473

26

Найдем длину отрезка a4;b4 :

x4кас x4хорд 1,4655 1,4625 0,003.

Длина отрезка меньше требуемой погрешности 0,01.

Искомый корень x 1,46.

x4

Задача 2. Исследовать функцию y x3 1 и построить ее график.

Решение. Областью определения функции, как это следует из ее аналити-

ческого выражения, является вся числовая ось, кроме точки x 1, т.е. область оп-

ределения функции состоит из двух неограниченных интервалов ;1 и 1; .

Так как область определения функции несимметрична относительно начала координат, то исследуемая функция не является ни четной, ни нечетной; она так-

же не является периодической.

Точка x 1 является для данной функции точкой разрыва 2-го рода, а беско-

нечные интервалы ;1 и 1; являются для нее интервалами непрерывно-

сти.

Выясним вопрос о существовании вертикальной асимптоты. Очевидно, что

функции пересекает координатные оси в точке 0;0 .

Исследуем поведение функции при x и x . Имеем

лой при x , поэтому горизонтальных асимптот график данной функции

27

не имеет.

Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот y k1x b1 и

y k2x b2 графика функции при x и x .

Так как

«–», при переходе x через точку x3 34 слева направо f x меняет знак с «–»

28

на «+». Следовательно, точка x1 0 является точкой максимума, причем макси-

мальное значение функции f 0 0, а точка x3 34 является точкой минимума,

причем минимальное значение функции f 34 43 34 .

Результаты сводим в табл.2.

В нижней cтроке табл.2 символ 0 означает монотонное возрастание от

до 0, а символ 0 – монотонное убывание значений функции от 0 до

; для других интервалов – аналогично.

Для нахождения возможных точек перегиба, интервалов выпуклости и во-

гнутости вычислим вторую производную функции и приравняем ее нулю:

tgα f x1 f 32 113 1,33.

Результаты сводим в табл.3.

Таблица 3

В нижней строке табл.3 символ означает вогнутость графика функции, а

символ означает выпуклость графика функции на соответствующем интервале.

Принимая во внимание все полученные результаты, строим эскиз графика исследуемой функции (рис. 17).

30