Методичка по матану (1)

y

y x

2,13

1

x

1,26

0

1,59

0,84

Рис. 17

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y sinx2 на

5π

π;

отрезке

.

2

Решение.

Так как функция y sinx2 дифференцируема на интервале

5π

π;

, то критическими по первой производной будут только точки ста-

x 2xcosx

2

2

π

π

f

; 2xcosx

0;

x1

2 ;

x2

2

; x3 0.

Вычисляем значения функции в найденных точках стационарности функции

5π

и на концах отрезка π;

:

2

π

π

5π

2

f

1;

f

1; f 0 0;

f π 0; f

.

2

2

4

2

Отсюда видно, что наибольшее значение рассматриваемой функции на от-

5π

внутренних точках x1

π

резке π;

равно

1

и достигается

в двух

,

2

2

x2

π

5π

2

отрезка π;

, а наименьшее значение ее равно

и достига-

2

2

2

Итак, y

y

y

5

2

1,

.

2

наиб

2

наиб

2

наим

4

Задача 4.

Вычислить

приближенное

значение

функции y tgx при

Представим 44 52

как 45 8 и переведем градусную меру в радианную:

0,002327

рад. Имеем:

45 8

4

x

π

; x 0,002327;

f x

tgx

tg

π

1;

0

4

0

0

4

f x0

1

2;

f x f x0 f x0 x tgx0

1

x 0,995346.

cos2 x

cos2 x

0

0

f x

x4

;

f x f 0,5

1

;

x3 1

0

14

x3 x3 4

f x0

31

f x

;

f 0,5

;

x3

1 2

49

f x

6x2 x3 2

f x0 f 0,5 4

120

;

.

x3

1 3

343

Следовательно:

T

31

x

12

; T

x 2

130

x2

1

256

x

120

(рис.18).

1

49

49

2

343

343

343

y

x 1

0,5

x

1

T2 x

14

T1 x

y f x

Рис. 18

Геометрически

y T x

31

x

12

представляет собой

касательную к

1

49

49

графику данной функции в точке

1

;

1

, а y T x

2

130

x2 1

256

x

120

2

14

2

343

343

343

1

Вариант 6

1а)

2arctgx

0;

2 3

1;2 ;

3)

y

x

x

1

2x3

4)

y sinx,

x 44 ;

1б)

x3 12x 6 0;

y

x2 1

5)

y

x2 1

,

x

0,5.

2)

;

x

0

x

Вариант 7

2x

3)

y 2

x x

0;3 ;

1а)

e

2x 1 0;

1б)

x3 3x2 2.5 0;

4)

y tgx,

x 58 ;

y

x2 2x 3

5)

y

x2 2x 3

, x 0.

2)

;

x 2

0

x 2

Вариант 8

3;7 ;

1а)

5x 6x 3 0;

3)

y 3 2x2

1б)

x3 3x2 3.5 0;

4)

y arctgx,

x 1,1;

y

x3

5)

y

x3

, x 1.

2)

;

x2 3

0

x

2

3

1а)

arctg

x 1

2x 0;

Вариант 9

4

3)

y

x

4x

2;2 ;

x3 12x 10 0;

4)

y 4

,

x 254;

1б)

x

x3

5)

y

x3

, x 2.

2)

y

;

x 2 2

0

x 2

2

Вариант 10

1а)

2arcctgx x 3 0;

3)

y

x2

2;3 ;

x4 4

1б)

x3 4x2 2 0;

4)

y sinx,

x 62 ;

2)

y

x 1 x 2

5)

y x 1 x 2 , x0 1.

x

;

x

Вариант 11

1;4 ;

1а)

3x 2x 2 0;

3)

y 81x x4

1б)

2x3 9x2

6 0;

4)

y ctgx,

x 28 ;

2)

y

x 1 3

;

5)

y

x 1 3

, x 0.

x 1 2

x 1 2

0

35

Вариант 12

4x

1а)

2arctgx 3x 2 0;

3)

y

2;2 ;

2 x2

1б)

x3 12x 10 0;

4)

y arctgx,

x 0,8;

2)

y

x3

;

5)

y

x3

, x 11.

6 x 2 2

6 x 2 2

0

Вариант 13

x2

1а) 3x 2x 5 0;

3)

y 1

8

4; 1 ;

x

x3 3x2

y 3

2

3.5 0;

4)

, x 26;

1б)

x

π

π

5)

y 2x tgx, x

π

.

x

;

;

0

4

2

2